1、1高中理科数学解题方法篇（定点定线定值问题）1.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 CxC31（）求椭圆 的标准方程；（）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点） ，且以 为直径的圆过l:ykxmCAB， AB椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l【参考答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab，3,1ac2,13acb2.4(II)设 ，由 得 ，12(,)(,)AxyB23ykxm22()84(3)0kxm， .2264(34)0mkk240212128(),.3mxxk2212121123(4)(
2、)()().mkykx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， ，(,0)DABDk121yx(最好是用向量点乘来) ，12124yxx，22234)(3)604mkmk，解得 ，且满足 .2716012,7k2340km当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:()lykx(,0)当 时， ，直线过定点7m7.综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2(,).2.已知椭圆 )0(1:2bayxC过点 )23,(，且离心率 21e。（）求椭圆方程；（）若直线 :kml与椭圆交于不同的两点 M、 N，且线段 的垂直平分线过定点2)0,81(G，求 k的取值范围。解：（） 离心率 21e， ，即 （1）
3、；2134ba2ba又椭圆过点 )3,(，则 ， （1）式代入上式，解得 ， ，椭圆方程为 。292423b2143xy（）设 ，弦 MN 的中点 A12(,)(,)MxyN0(,)xy由 得： ，234km2234841kxm直线 )0(:xyl与椭圆交于不同的两点，即 （1）226341)0k243k由韦达定理得： ，121228,3mkxx则 ，002 2244,3 4k mxykk直线 AG 的斜率为： ，2234138AGKmk由直线 AG 和直线 MN 垂直可得： ，即 ，代入（1）式，可得2134kA2348km，即 ，则 。2234()38k210k50k或3.过抛物线 （ 0
4、）上一定点 0） ，作两条直线分别交抛物线于 ，2ypx0(,)Pxy 1(,)Axy，求证： 与 的斜率存在且倾斜角互补时，直线 的斜率为非零常数2(,)BxPABAB3【解析】设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 PAPAKBPBK由 相减得，211ypx200ypx101010()2()yypx故 1010PAK10同理可得， 2020PBypxy20()x由 倾斜角互补知：,APABK 1020pyy 由 相减得，2ypx211yx212121()()yypx 2120ABpK直线 的斜率为非零常数题型：动弦过定点的问题例题 5、 （07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在
5、x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（ A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的mkxyl：圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。l分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线 与椭圆 C 相交于mkxyl：A，B 两点，并且椭圆的右顶点和 A、B 的连线互相垂直，证明直线 过定点，就是通过垂直建立 k、m的一次函数关系。解（I）由题意设椭圆的标准方程为21(0)xyab，3,1ac2,13acb24（II）设 ，由 得12(,)(,)AxyB21y
6、kxmPBAOyx4，22(34)84(3)0kxm，61k240km（注意：这一步是同类坐标变换）2121284(3),3xx（注意：这一步叫同点纵、2212121123(4)()()()kykmkxx横坐标间的变换）以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，(,0)D1ADBk， ，121yx21124yxx，2223(4)(3)604mkmk，解得 ，且满足2716012,7k2340km当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:()lykx(,0)当 时， ，直线过定点27m7,7综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2(,0).练习 1.直线 和抛物线 相交于 A、 B，以 AB 为直径
7、的圆过抛物线的顶点，证明：kxyl： 2ypx直线 过定点，并求定点的坐标。m：分析：以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA OB，若设 ，则 ，12(,)(,)xyB120xy再通过 ，将条件转化为22121211()()()ykxkxm，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到 ，2()0km 12x，解出 k、m 的等式，就可以了。12x解：设 ，由 得， ， （这里消 x 得到的）12(,)(,)AyBx2ykxp20ypm则 （1）2480pk5由韦达定理，得： ，1212pmpyykk，则 ，212 2()mxkA以 AB 为直径的圆过抛物线的顶点 O，则 OA O
8、B，即 ，120xy可得 ，则 ，212112()0yyyk2()kmpk即 ，又 ，则 ，且使（1）成立，20kmp此时 ，直线恒过点 。2()lyxkpx： (2,0)p例题 6、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 是椭圆的右21yab()ab(23,0)顶点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且 ， ，如图。0ACB2AC(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)若椭圆 E 上存在两点 P、 Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCAO0A2C又 (3,)点 C 的坐标为 。(,)A
9、 是椭圆的右顶点，(2,0)，则椭圆方程为：3a621xyb将点 C 代入方程，得 ，(3,)24b椭圆 E 的方程为21xy(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称，3x设直线 PC 的斜率为 ，则直线 QC 的斜率为 ，从而直线 PC 的方程为：kk，即3()ykx，1由 消 y，整理得：2()30ykx是方程的一个根，2(1)6(1)91830kxkx29833PxA即21()Pk同理可得： 2983(1)Qkx()3(1)PPQyxkxk()23PQxk 23(1)k229839183()()PQkx 236(1)k3PQyx则直线 PQ 的斜率为定值 。17方法总结：本题第
10、二问中，由“直线 PC 与直线 QC 关于直线 对称”得两直线的斜率互为相反数，3x设直线 PC 的斜率为 k，就得直线 QC 的斜率为-k。利用 是方程的根，易得点 P 的横坐标：22(13)6(1)9830kxxk，再将其中的 k 用-k 换下来，就得到了点 Q 的横坐标：298()P，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。213()Qkx接下来，如果分别利用直线 PC、QC 的方程通过坐标变换法将点 P、Q 的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算 、 ，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决PQyPx此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交
11、，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。练习 1、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭:(2)lxt l圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 ， ,则得 。32cea3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由1
12、(,)M2(,)N1AM1k1AM1(2)ykx消 y 整理得24ykx22121(4)640kx是方程的两个根1x和 21164k8则 ， ，21184kx124ky即点 M 的坐标为 1221(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppyktyt，21t直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt又 ，t40t椭圆的焦点为 (3,)，即4t4t故当 时，MN 过椭圆的焦点。3t方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一个根，结合韦22121(4)64
13、0kxk达定理得到点 M 的横坐标：，利用直线 A1M 的方程通过坐标变换，得点 M 的纵坐标： ；21184kx 12yk9再将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标2164kx12k用 1x， 228(,)14k本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到 ，1AM12kt由直线 MN 的方程 得直线与 x 轴的交点，即横截距 ，将点 M、N 的坐标代121yyxx 212xy入，化简易得 ，由 解出 ，到此不要忘了考察 是否满足 。4t34t 43tt3、已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小
14、值Ex为 ，离心率为 212e（）求椭圆 的方程；（）过点 作直线 交 于 、 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ， 为定,0EPQxMPQ值？若存在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由M解：（I）设椭圆 E 的方程为 ,由已知得： 。 。 。 。 。2 分2xy1abac12椭圆 E 的方程为 。 。 。 。 3 分a2c12bac12xy（）法一：假设存在符合条件的点 ，又设 ，则：M(m,0)12P(,)Q(x,y)12 121MP(xm,y)Q(x,y)PQm。 。 。 。 。 5 分221当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，则l lyk()由 得2yk(x1)22
15、k(x)07 分222(4()221214kk,x1212 2y()kx()所以 9 分224kMPQm11 2(m41)k()对于任意的 值， 为定值，所以 ，得 ，kP 254所以 ； 11 分57(,0)46当直线 的斜率不存在时，直线l 121212l:x,x,y10由 得5m47MPQ16综上述知，符合条件的点 存在，起坐标为 13 分5(,0)4法二：假设存在点 ，又设 则：(,0)12P(x,y)Q12MP(xm,y)Q(x,y)= . 5 分122P(xm 21)当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ，l lty由 得 7 分2yxt12(t)yt101212,tt21
16、2221122()t)tt(y)tt1 4ytt9 分222tmMPQ 22()tm41设 则()t4111 分222(m)t41(t)0204154716M(,0)当直线 的斜率为 0 时，直线 ，由 得：l l:y5M(,)5257MPQ(2)()416综上述知，符合条件的点 存在，其坐标为 。 。 。 。13 分(,0)4定点 定值过定点问题直线 与曲线 相交与 两点，求证2xyxy2BA,OBAOBAppbk 求 证 ：）过 （两 点相 交 与和 抛 物 线直 线 ,02,)1(变式： 过 定 点 ， 并 求 定 点 坐 标证 明 ： 直 线 。两 点 ，相 交 与和 抛 物 线直 线
17、 bkxy BABxy,2 ）过 （求 证 ： 点 。为 直 径 的 圆 过以 0,2,2pABOy ）过 （求 证 ： ,|,|,2 BAOx11如图，抛物线 上有两点 A（ ） 、B（ ） ，且 0，21xy1,yx2,yxOAB又 （0， 2） ，OM（1）求证： AB1.（07 山东理）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（ A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的mkxyl：圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。l
18、解：(I)由题意设椭圆的标准方程为21(0)yab，3,1ac2,13acb2.4x(II)设 ，由 得 ，12(,)(,)AxyB23ykmx22()84(3)0kxm， .2264(34)0mkk240212128(),.mxx2212121123(4)()()().mkykkxx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，,0DABDk， ，121yx2112()4yxx，2223(4)(3)604mkmk，解得27160，且满足 .2,7k230k当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；m:()lyx(,)xAyO BM12当 时， ，直线过定点27km2:()7lykx2(,0).7综上可知，
19、直线 过定点，定点坐标为 ,.2. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。21(0)xyab32（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点:(2)lxt P 为直线上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与l 椭圆交于M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？ 并证明你的结论。（I）由已知椭圆 C 的离心率 ，32cea ,则得2a。3,1cb从而椭圆的方程为214xy（II）设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ，由1(,)M2(,)N1AM1k1AM1(2)ykx消 y 整理得24ykx2211
20、4640kx是方程的两个根，1和则 ， ，21164kx21184kx124ky即点 M 的坐标为 ，212(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k12(),()ppyktyt，21t直线 MN 的方程为： ，121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212y 4xt13又 ，2t402t椭圆的焦点为 (3,)，即 故当 时，MN 过椭圆的焦点。4t4t43t3.（2010 江苏）18.（16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为xoy1592yxA,B，右焦点为 F，设过点 的直线 TA,TB 与椭圆分别
21、交于点 ， ，其中),(mtT ),(1M),(2N0m.0,21y设动点 P 满足 PF2PB 2=4,求点 P 的轨迹设 x1=2,x2= ，求点 T 的坐标13设 t=9,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点( 其坐标与 m 无关)圆过定点4.（08 江苏）18设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴xoy2fxbxR有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C（）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论解：（）令 0，得抛物线与 轴交点是（0，b） ；xy令 ，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b02f
22、b（）设所求圆的一般方程为 2xyDEF令 0 得 这与 0 是同一个方程，故 D2，F y20xDFbb令 0 得 0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1Ey所以圆 C 的方程为 .2(1)xy（）圆 C 必过定点（0，1 ）和（2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边0 1 20（b1）b0，右边0，所以圆 C 必过定点（0，1） 14同理可证圆 C 必过定点（ 2，1） 5.已知椭圆 ,点 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点 作椭圆的切线 ,交 轴与点 直线24xyPPly,A过点 且垂直与 ,交 轴与点 试判断以 为直径的圆能否经过定点？若能,求出定点坐标;若不能,
23、lPl.BA请说明理由.解:设点 ,直线 的方程为 代入 ,00(,),)xyl00(),ykx214xy整理得 .2 200348(4()1kkxkx是方程的两个相等实根,0x028,3y解得 或根据 求导解得0.4ky234()x直线 的方程为 令 ,得点 的坐标为l 00().y0A2043(,).yx又 点 的坐标为22001,431,3xyx03(,).y又直线 的方程为 令 ,得点 的坐标为l 0(),yxB0(,)3y以 为直径的圆方程为AB003()(),yx整理得 由 得203()1.yx21,xy1.0xy以 为直径的圆恒过定点 和AB(,0)(,.6.如图，点 A，B，C
24、 是椭圆2164xy的三个顶点，D 是 OA 的中点，P、Q 是直线 4x上的两个动点。（）当点 P 的纵坐标为 1 时，求证：直线 CD 与 BP 的交点在椭圆上；（）设 F1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点， 12PF，试判断以线段 PQ 为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。高考资源网 w。w-w*k若不是,请说明理由.,AB,kR解析:由已知得 直线 的方程为 由 消去 得(1,0)Fl(1).ykx2(1),ykxy设222()4(),kxk12(,)(,)ABy则 1212,.kx125,(,)4Mxy12125()4xy22125()()4k222112()()6kkx2225()
25、4()16kk由此可知, 为定值.2457.671MAB10.（07 湖北理科）在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py（p0）相交于 A、B 两点。（）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。 （此题不要求在答题卡上画图）依题意，点 N 的坐标为 N（0,-p）,可设 A（x 1,y1）,B（x 2,y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p,与x2=2py 联立得 消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.2pkxy由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.19于是 21xpSSACNBAN 21214)(xpx .84kk.2min0pSABN与与（）假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=a,AC 的中点为 径的圆相交于点与ACtO,P、Q，PQ 的中点为 H，则 与2, 1pyxOPQ .212)(21pyxACO21py,11apya 222HP= 11)(4)(4pyapy ,2a=2)(PHQ.)()(42apya令 ，得 为定值，故满足条件的直线 l 存在，0paPQp与,其方程为 ，即抛物线的通径所在的直线.2y
