1、平行线判定和性质 一、重点和难点： 重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。 难点：平行线的性质与平行线的判定的区分 掌握推理论证的格式。 二、例题： 这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。 上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。 另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系
2、来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。 例 1已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。 （1）1 和2 是内错角，1=2， （2）AD/BC， 1=2（两直线平行，内错角相等） （3）1=2，AB/CD（两直线平行，内错角相等） 分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手；对（3）考虑平行线的判定和性质。 解：（1）因为没有直线 CD/AB 的条件，不能得出内错角1，2 相等的结论。 （2）因为1，2 不是 AD，BC 被 AC 所截得的内错角，所以得不出1=2 的结论，应改为： CD/AB，1= 2（两直线平行，内错角相等） （3）理由填错了，
3、应改为： 2，CD/AB （内错角相等，两直线平行） 例 2如图，1=2，3=4，试向 EF 是否与 GH 平行？分析：要判断 EF 与 GH 是否平行，只要能找到与 EF， GH 有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。 解：1=2（已知） 又CGE=2（对顶角相等） 1=CGE（等量代换） 又3=4（已知） 3+1=4+CGE（等量加等量，其和相等） 即MEF= EGH， EF/GH（同位角相等，两直线平行）。 说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。 例 3如图写出能使 AB/CD 成立的各
4、种题设。分析：应先找和 AB，CD 这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB/CD。 解：使 AB/CD 成立的题设有： （1）根据同位角相等，判定两直线平行有：EAB= EDC，FDC=FAB（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：3=4 或 7= 8。（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：BAD+ ADC=180 或ABC+BCD=180。 例 4已知如图，AB/CD，1=3，求证：AC/BD 。分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为 AB/CD，所以可知1=2，又因为1=3，可推出2=3，能判定 AB 与CD 平行
5、。 证明：AB/CD（已知） 1=2（两直线平行内错角相等） 又1=3（已知） 2=3（等量代换） AC/BD（同位角相等，两直线平行）。 例 5已知如图，AB/CD，AC/BD，求证：1= 3。分析：因为1 和3 的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此不可能利用题设中的平行直线关系，经过一次推理得到结论。由图形中1 与2 是内错角位置。而2 与3 是同位角位置，而1 与3 都与2 有关，由已知条件中 AB/CD，推出1= 2，AC/BD 又推出2= 3。通过等角进行转化。 证明：AB/CD（已知） 1=2（两直线平行内错角相等） 又AC/BD （已知） 2=3（两直线平行，同位角
6、相等） 1=3（等量代换） 例 6已知如图1=2，BD 平分ABC，求证：AB/CD 证明：BD 平分ABC （已知） 2=3（角平分线定义） 1=2（已知） 1=3（等量代换） AB/CD（内错角相等两直线平行）。 例 7已知如图，AB/CD，1=2，求证：BD 平分 ABC。 证明：AB/CD（已知） 1=3（两直线平行内错角相等） 又1=2（已知） 2=3（等量代换） BD 平分ABC （角平分线定义） 说明：上面的例 4 和例 5，例 6 和例 7 都是同一个图形中将已知条件和求证的结论适当调换，可培养灵活运用知识的能力。 例 8已知如图，1+2=180，A= C，AD 平分BDF，求
7、证：BC 平分DBE。分析：只要求得EBC=CBD，由1+2=180推出1=BDC ，从而推出 AE/FC，从而推出C= EBC 而C= A 于是可得A=EBC。因此又可得 AD/BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出EBC=DBC。 证明：2+BDC=180 （平角定义） 又2+1=180（已知） BDC= 1（同角的补角相等） AE/FC（同位角相等两直线平行） EBC=C （两直线平行内错角相等） 又A=C（已知） EBC=A（等量代换） AD/BC（同位角相等，两直线平行） ADB=CBD（两直线平行，内错角相等） ADF= C（两直线平行，同位角相等） 又DA 平分BDF （已
8、知） ADB=ADF （角平分线定义） EBC=DBC （等量代换） BC 平分DBE（角平分线定义） 说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。 把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。 例 9如图，已知直线 a,b,c 被直线 d 所截，若1=2，2+3=180，求证：1=7 分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。1 与7 是直线 a 和 c 被 d
9、 所截得的同位角。须证 a/c。 法（一）证明：d 是直线（已知） 1+4=180（平角定义） 2+3=180，1=2（已知） 3=4（等角的补角相等） a/c（同位角相等，两直线平行） 1=7（两直线平行，同位角相等） 法（二）证明：2+3=180，1=2（已知） 1+3=180（等量代换） 5=1，6=3（对顶角相等） 5+6=180（等量代换） a/c （同旁内角互补，两直线平行） 1=7（两直线平行，同位角相等）。 三、证明角相等的基本方法 1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题： （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的补角相等； （3）对顶角相等； （4）
10、两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。 以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。 例 10，如图1=2=C，求证B=C。分析：题设中给出三个相等的角，其中2 和C 是直线 DE 和 BC 被 AC 所截构成的同位角，由2=C 则 DE/BC。再看题中要证明的结论是B= C ，由于C=1，所以只要证明1= B
11、，而 1 与B 是两条平行直线 DE，BC 被直线 AB 所截构成的同位角，1=B 是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径： 证明：2=C（已知）， DE/BC（同位角相等，两直线平行）， 1=B（两直线平行，同位角相等）， 又1=C（已知）， B=C（等量代换）。 例 11、已知如图，AB/CD，AD/BC，求证：A= C，B=D 。 分析：要证明A=C，B=D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例 10 一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由 AB/CD，且 AB 与 CD 被直
12、线 BC 所截，构成了一对同旁内角，B、C，因此B+ C=180o，同时B 又是另一对平行线 AD、BC 被直线 AB 所截，构成的一对同旁内角B、A ，B+ A=180 o，通过B 的中介，就可以证明得A=C。同理，也可得到B=D，整个思路为： 证明：AD/BC （已知）， A+B=180 o（两直线平行，同旁内角互补）， AB/CD（已知）， B+C=180 o（两直线平行，同旁内角互补）， A=C（同角的补角相等）， 同理可证B= D。 例 12、已知如图，ADBC 于 D，EGBC 于 G，E= 3，求证：1=2。 分析：要证明1=2，而从图中所示的1 和2 的位置来看，根据题设或学过
13、的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下1、2与周边各角的关系，我们看到直线 AD 与 GE 被直线 AE 所截，形成同位角1、E；被 AB所截，形成内错角2、3；而题设明确告诉我们3=E ，于是目标集中到证明 AD/GE，根据题设中 ADBC ，EGBC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序： 证明： ADBC 于 D（已知）， ADC=90 o（垂直定义）， EG BC 于 G（已知）， EGD=90 o（垂直定义）， ADC=EGD（等量代换）， EG/AD（同位角相等，两直线平行）， 1=E（两直线平行同位角相等）， 2=3（
14、两直线平行内错角相等）， 又E=3（已知）， 1=2（等量代换）。 四、两条直线位置关系的论证。 两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。 1、学过证明两条直线平行的方法有两大类 （一）利用角； （1）同位角相等，两条直线平行； （2）内错角相等，两条直线平行； （3）同旁内角互补，两条直线平行。 （二）利用直线间位置关系： （1）平行于同一条直线的两条直线平行； *（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。 例 13、如图，已知 BE/CF，1=2，求证：AB/CD 。 分析：要证明 AB/CD，由图中角的位置可看出 AB 与 CD 被 BC 所截得
15、一对内错角ABC和DCB，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置关系显示，ABC=1+EBC，BCD=2+FCB，条件中又已知1= 2，于是只要证明EBC=BCF。 证明： BE/CF（已知）， EBC=FCB（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）， 1+EBC=2+FCB（等量加等量其和相等）， 即ABC= BCD（等式性质）， AB/CD（内错角相等，两直线平行）。 例 14、如图 CDAB，EFAB，1=2，求证：DG/BC。 分析：要证明 DG/BC，只需证明1=DCB ，由于1=2，只需证明2= DCB，2与DCB 又是同位角，只需证明 CD/EF。根据题设 CDAB ，EFA
16、B，CD/EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。 （1） （平行线的判定） （2）CD/EF 2= DCB（平行线的性质） （3） 1=DCB DG/BC（平行线判定） 在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。 证明：CDAB 于 D（已知）， CDB=90 o（垂直定义）， EFAB 于 F（已知）， EFB=90 o（垂直定义）， CDB= EFB（等量代换）， CD/EF（同位角相等，两直线平行）， 2=DCB （两直线平行，同位角相等） 又1=2（已知）， 1=DCB （等量代换）， DG/BC（内错角相等，两直线平行）。 说明：从以上几例我们可以发现，证
17、明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。 2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个： （1）两直线垂直的定义 （2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于 90o 而得到。） 例 15、如图，已知 EFAB，3=B，1=2，求证：CDAB。 分析：这是一个与例 14 同样结构的图形，但证明的目标却是两条
18、直线垂直。证明CDAB，根据 “一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EFAB，只要证明 EF/CD，要证 EF/CD，结合图形，只要证明2= DCB，因为1=2，只需证明DCB= 1，而DCB 与1 是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG/BC，要证明 DG/BC 根据平行线的判定方法只需证明3= B ，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次： 3=B DG/BC DCB=2 （1）平行线判定 （2）平行线性质 CDAB （3）平行线判定性质 （4）垂直定义 证明：3=B（已知）， DG/BC（同位角相等，两直线平行） 1=DCB （两直线
19、平行，内错角相等）， 1=2（已知）， DCB= 2（等量代换）， DC/EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法： 接 DC/EF（同位角相等，两直线平行）， 又EFAB（已知）， CDAB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。） 3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明 E、O 、F 三点共线，通常采用EOF=180 o，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。 五、一题多解。 例 16、已知如图，BED=B+D。求证：AB/CD。 法（一）分析：要证明 AB/CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线
20、八角”，又不存在与 AB、CD 同时平行的第三条直线或与 AB、CD 同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和 AB、CD 中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到 AB/CD。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着 E 点展开的，因而选择 E 点作 AB 的平行线是较为理想的位置。 证明：过点 E 作 EF/AB， B=1 （两直线平行，内
21、错角相等）， BED=1+2（全量等于部分之和）， 2=BED-1（等式性质）， 又BED=B+D（已知）， D=BED-B（等式性质） 2=D（等量代换） EF/CD（内错角相等，两直线平行）， EF/AB（作图）， AB/CD（平行于同一直线的两直线平行）。 说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画出。法（二）分析：如果在 E 点的另一侧添置 AB 的平行线（如图），同样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。 证明：过点 E 作 EF/AB（
22、如图）， B+1=180 o（两直线平行，同旁内角互补）， 1+2+BED=360 o（周角定义）， BED=B+ D（已知）， B+D+ 1+2=360 o（等量代换）， D+2=360 o-（B+ 1）（等式性质） =360 o-180o（等量代换） =180 o EF/CD（同旁内角互补，两直线平行）， EF/AB（作图）， AB/CD（平行于同一直线的两条直线平行）。 注意：在添置辅助线 EF 时，只能过 E 点作直线 EF 平行于直线 AB、CD 中的一条，而不能同时平行于 AB 和 CD。 从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分：即已知AB/CD，能否得
23、到 BED= B+D 的结论，仍然像例 16 法（一）那样添置 AB 的平行线EF，可得到B= BEF ，又由于 AB/CD，则 EF/CD。于是又有D=DEF，很显然B+ D=BEF+DEF=BED。可知，交换原命题的题设和结论部分，仍然得到一个真命题。测试选择题1下列结论中正确的个数是（ ）个。 （1）在同一平面内不相交的两条线段必平行； （2）在同一平面内不相交的两条直线必平行； （3）在同一平面内不平行的两条线段必相交； （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2 如图，若1 与2 互补，2 与4 互补，则（ ）。 （A）de （B）bc （
24、C）ab （D）ac 3两条直线被第三条直线所截得的角中，角平分线互相垂直的是（ ）。 （A）内错角 （B）同旁内角 （C）内错角或同旁内角 （D）同位角 4 若两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（ ）。 （A）相等 （B）相等或互补 （C）相等且互补 （D）互补 5如图，BD 平分ABC，DEAB，CED=80，则EDB 的度数是（ ）。 （A）30 （B）40 （C）60 （D）90 答案与解析 答案：1、B 2、D 3、B 4、B 5、B中考解析平行线及平行公理 考点扫描: 1了解平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行的传递性进行推理； 2会用直尺和三角板过已知直线外
25、一点画这条直线的平行线； 3理解学过的描述图形形状和位置关系的语句，并会根据语句画图 名师精讲: 1平行线的定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线平行是相互的直线AB 与 CD 是平行线，记作“ABCD”（或 CDAB）,读作“AB 平行于 CD”(或者“CD 平行于AB) 平行线是具有特殊位置关系的两条直线，定义中“不相交”是平行线的基本特征，“在同一平面内”是其前提，离开这个前提，不相交的两条直线，就不一定平行了这是因为在空间里存在着既不平行又不相交的两条直线，如正方体的棱中有既不相交也不平行的直线 在同一个平面内，两条直线的位置关系有且只有两种：相交或平行 2平行公理及其推理
26、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理是几何中的重要公理，它强调了过直线外一点与这条直线平行的直线的存在性和唯一性 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行也可叙述为：平行于同一直线的两条直线平行这说明平行线具有传递性 3利用直尺和三角板画平行线是几何画图基本技能之一，注意掌握“一落、二靠、三移、四画”的基本方法 平行线的判定 考点扫描: 会用同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补判定两条直线平行 名师精讲: 平行线的判定是指根据两条直线之间的某种位置或数量关系，断定这两条直线平行平行线判定有以下几种方法： 1平行线的定义
27、：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 2平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 3平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行； 4平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行； 5平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行； 6垂直于同一条直线的两条直线平行（课本第 74 页的例题） 一般地，用平行线的定义来判定两条直线平行比较困难，所以通常不用这种判定方法另外，“垂直于同一条直线的两条直线平行”课本中没有明确指出作为一种判定方法，把它作为判定直线平行的根据时，要加以证明运用平行线的判定方法时，要根据已知条件及图形的特征，选用不同的判定方法 平行线的性质 考
28、点扫描: 会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算 名师精讲: 平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置及数量关系平行线的性质有： （1）平行线永远不相交（定义）； （2）两直线平行，同位角相等（性质公理）； （3）两直线平行，内错角相等（性质定理 1）； （4）两直线平行，同旁内角互补（性质定理 2） 平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论： （1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的 （2）性质定理说的是如果两条直线平行，它具有什么性质 由此可见，判定定理与性质定理是因
29、果关系倒置的两类定理（称为“互逆”定理） 中考典例: 1（北京海淀区）已知：如图，ABCD，CE 平分ACD，A110，则ECD 的度数等于（ ） A、110 B、70 C、55 D、35 考点：平行线的性质，角平分线 评析：因为A 与ACD 是同旁内角，又 ABCD，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可知A+ACD=180当A110时，ACD=70 又 CE 平分ACD，所以ACE=ECD= ACD=35 ，故应选 D 2（福建福州）如图，已知：l 1/l2，1=100，则2= 考点：平行线的性质 评析：1 与3 是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”的性质：可知1=3=100又2
30、 与3 是邻补角，所以2=180 100=80 真题专练: 1（山西省）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，且 a/b，若 1=118，则 2 的度数为_ 2（龙岩市）如图 ABCD，若ACD=69 ，则CAB= _ 3（苏州市）如图 ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，ED 平分BEF, 若1=72，则2=_ （3） 4（仙桃市）如图直线 L1L 2、L 3分别与 L1，L 2相交,则1 与2 的关系为（ ） （4） A、1=2 B、1+2=180 C、1+2=90 D、1+ 2=360 5（镇江市）如图 l1l 2, 是 的 2 倍, 则 等于 （ ） A：60 B：
31、90 C：120 D：150 6（临沂市）如图 ABCD，那么1+2+3=（ ） A、180 B、360 C、540 D、720 7（呼和浩特市）如图 DEBC，EFAB，图中与BFE 互补的角共有（ ） A、3 个 B、2 个 C、5 个 D、4 个 答案：1、62； 2、111； 3、54； 4、B； 5、C； 6、B （提示：过 E 作 EFAB（或连结 AC） 利用平行线间的同旁内角互补可知1+AEF=180 3+CEF=180 1+2+3=360； 7、D （提示：图中1、2、3、4 都与BFE 互补） 空间的平行关系 考点扫描: 通过长方体的棱、对角线和各面之间的位置关系，了解直线
32、与直线的平行、相交、异面的关系，以及直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系 名师精讲: 平面内存在两条直线不相交的情况，在空间也存在直线与平面、平面与平面不相交的情况，空间的直线与平面不相交，就说它们是互相平行的同样空间平面与平面不相交，也应当说它们是互相平行的如图 272，把棱 AB 向两方延长，面 ABC D向各个方向延展，它们也不会相交，就说棱 AB 与面 ABCD互相平行，图中面 ABCD 与面 AB CD 无论怎样延展，它们总也不会相交，就说面 ABCD 与面 ABCD互相平行 注意：几何中的平面是无限延展的 学习本节课，要能看懂简单的立体图形，对于长方体、正方体、能辨清哪些是面，哪
33、些是棱，能找出哪些棱与面是平行的，哪些面是互相平行的 中考典例: （安徽省）如图，长方体中，与棱 AA平行的面是_ 考点：直线与平面平行 评析：长方体共有六个面，其中上、下两个面分别与 AA相交，前、左两个面过直线AA只有右、后两个面平行于直线 AA应填面 BBC C 和面 CCDD 说明：在长方体中一条棱与两个面平行；与两个面垂直 真题专练: 1（温州市）如图立方体 ABCDABCD中，和平面 ABCD 平行的平面是（ ） A、平面 ADDA B、平面 BCCB C、平面 ABBA D、平面 ABCD 2（上海市）学校的操场上跳高横杆与地面的关系属于（ ） A、直线与直线平行 B、直线与直线
34、垂直 C、直线与平面平行 D、直线与平面垂直 答案：1、D 2、C 探究性活动：制作长方体形状的包装纸盒 说明：本节不做考试内容，主要是培养学生动手能力和空间思维能力专题辅导易错分析 1两条直线平行是两条直线的第二种位置关系，它的定义是用两条直线不相交来定义的。但在空间两条不相交的直线不一定平行，如图中的 AB 和 CD 既不相交也不平行，所以平行线的定义中必须说“在同一平面内”这个条件。 2平行公理是几何学中的一个重要公理，这个公理是说明，经过直线外一点作直线，可以存在一条直线与已知直线平行，并且只有唯一的一条直线与已知直线平行。这是研究平行线的判定和性质的基础，应该熟练地掌握。例如由平行线
35、的公理推出了一个结论“平行于同一直线的两直线平行”也是平行的一个判定方法。在学习平行线性质时也要用平行公理来推导。由于经过直线外一点作平行线的“存在性”和“唯一性”,因而解决了平行线作图的可行性和确定性。3平行线的判定和平行线的性质要区分开。 平行线的判定讲的是两条直线具备什么条件时，它们互相平行，起的是判定作用。 平行线的性质讲的是已知两条直线在互相平行的前提下，图形会具备什么性质。 懂得了如何应用，就可以分清它们的区别。做到对判定及性质:会文字叙述；会画图形；会用数学式子表示；会用来作题；知道平行线的性质公理和判定公理是互逆的。 例如平行线判定（1） （1）文字叙述：两条直线被第三条直线所
36、截，如果同位角相等，那么两直线平行。 （2）画出图形（如图） （3）数学式子： 直线 AB，CD 被 EF 所截（已知） EMB= END（已知） AB/CD（同位角相等，两直线平行） （4）会用：当知道了两个同位角相等。就可以判定两条直线是平行的。 又如平行线的性质（1） （1）文字叙述：两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。 （2）画出图形（如图） （3）数学式子表示： 直线 AB，CD 被 EF 所截， AB/CD （已知） 1=2（两直线平行，同位角相等） 4. 利用平行线的性质和判定定理证题时，应注意不要出现下列错误： 1不管有无两直线平行的条件，见到同位角，内错角，就说它们相等，同旁内角互补； 2分不清内错角是哪两条直线被第三条直线所截得的，结果导致判断错误； 3分不清哪个是性质定理，哪个是判定定理，造成盲目的下结论，乱填理由。
