1、第 1 页（共 8 页）第九讲 三角形的边与角三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类熟悉以下基本图形、并证明基本结论：(1) l2=3+4；(2) 若 BD、CO 分别为ABC 、ACB 的平分线，则BOC
2、=90+ 21A；(3) 若 BO、CO 分别为DBC、ECB 的平分线，则BOC=90 A；(4) 若 BE、CE 分别为ABC、ACD 的平分线，则E= 21A注： 中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边 上或外部代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)例题求解 【例 1】 在ABC 中，三个内角的度数均为整数，且A2)小段，每段的长为不小于 l的整数如果其中任意 3 小段都不能拼成三角形，试求 n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的 n
3、 段 第 3 页（共 8 页）(第 17 届江苏省竞赛题)思路点拨 (1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为 x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口(2)因 n 段之和为定值 150，故欲 n 尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列学力训练1若三角形的三个外角的比是 2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 (2003 年河南省竞赛题)2一条线段的长为 a，若要使 3al，4a+1，12a 这三条线段组成一个三角形，则 a 的取值范围是 3如图，在ABC 中，两条角平分线 CD、BE 相交于点 F，A60，则D
4、FE 度4如图，DC 平分ADB，EC 平分AEB，若DAE，DBE，则DCE (用 、 表示) (山东省竞赛题)5若 a、b、c 为三角形的 三边，则下列关系式中正确的是( )A 022bc B 022bcaC D (江苏省竞赛题)6ABC 的内角 A、B、C 满足 3A5B，3C2B，则这个三角形是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定7如图，ABC 内有三个点 D、E、F，分别以 A、B、C、D、E、F 这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为( ) A360 B900 C1260 D1440 (重庆市竞赛
5、题)第 4 页（共 8 页）8如图，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的外角平分线交于 E 点，连结AE，则AEB 是( )A50 B45 C40 D35 (山东省竞赛题)9如图，已知31+2，求证：A+B+C+D18010如图，已知射线 ox 与射线 oy 互相垂直，B，A 分别为 ox、oy 上一动点，ABx、BAy 的平分线交于 C问：B、A 在 ox、oy 上运动过程中，C 的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变， 说明理由11已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是 4，但它不是最短边，这样的三角形共有 个12三角形的三个内角分别为 、，且 ，=2，则
6、的取值范围 13已知ABC 的周长是 12，三边为 a、b、c，若 b 是最大边，则 b 的取值范围是 14如图，E 和 D 分别在ABC 的边 BA 和 CA 的延长线上，CF、EF 分别平分ACB 和AED，若B70，D=40，则F 的大小是 15已知ABC 中，B=60，CA，且(C) 2(A) 2+(B) 2，则ABC 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定( “希望杯”邀请赛试题)16不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值 k的取值范围是( ) 第 5 页（共 8 页）A 143k B 13k C 1
7、k2 D 12k17已知三角形的三边的长 a、b、c 都是整数，且 abc，若 b=7，则这样的三角形有( )A14 个 B28 个 C 21 个 D49 个18如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的 2 倍，那么这个三角形一定是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D直角或钝角三角形19如图，已知 DM 平分ADC，BM 平分ABC，且A27，M33，求C 的度数20不等边ABC 的两条高长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长(美国数学邀请赛试题)21将长度为 2n(n 为自然数，且 n4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三 角形，记(a，b，c)为
8、三边的长，且满足 abc 的一个三角形(1)就 n4，5，6 的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)；(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为 2n(n 为自然数且 n4)时，对应(a，b，c)的个数一定是 n3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出 n12 时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；(3)试将 n=12 时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)22阅读以下材料并填空平面上有 n 个点(n2)，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?(1)分析：当仅有两个
9、点时，可连成 1 条直线；当有 3 个点时，可连成 3 条直线；当有 4 个点时，可连成6 条直线；有 5 个点时，可连成 l0 条直线(2)归纳：考察点的个数 n 和可连成直线的条数 S 发现：(1)分析：当仅有两个点时，可连成 1 条直线；当有 3 个点时 ，可连成 3条直线；当有 4 个点时，可连成 6 条直线；当有 5 个点时，可连成 1 O 条直线；第 6 页（共 8 页）(2)归纳：考察点的个数 n 和可连成直线的条数 Sn，发现：点的个数 可连成直线条数2 1=S2= 13 3=S3=4 6=S4= 25 10=S5= n 21)-n(3)推理：平面上有 n 个点，两点确定一条直
10、线取第一个点以有 n 种取法，取第二个点 B 有(n1)种取法，所以一共可连成 n(n1)条直线，但 A B 与 BA 是同一条直线，故应除以 2，即 Sn= 1)-n(4)结论：Sn= 21)-(试探究以下问题：平面上有 n(n3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?(1)分析：当仅有 3 个点时，可作 个三角形；当有 4 个点时，可作 个三角形；当有 5 个点时，可作 个三角形(2)归纳：考察点的个数 n 和可作出的三角形的个数 Sn,发现：(填下表)点的个数 可连成三角形个数3 45n(3)推理： (4)结论： 第 7 页（共 8 页）(甘肃省中考题)第 8 页（共 8 页）
