1、高数易错点总结1. 在什么情况下导函数在 x=a 处的右极限等于函数在 x=a 处的右导数？答：当函数在 x=a 处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如 y=2x+1(x1),虽然导函数在 x=1 处的左右极限都存在且相等但函数在 x=1 处的右导数不存在。对于导函数在 x=a 处的左极限等于函数在 x=a 处的左导数也有类似结论。2 对于 E(|X-Y|)与 E(X-Y)在 X-Y0 的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，
2、对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成 y=x 的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在 y=x 的上方为 f(x,y)*(y-x),下方为 f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式 D(X)=E(X 的平方)-E(X)的平方，所以 D(|X-Y|)与 D(X-Y)在 X-Y0 易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y 小于 0 的情况下也有类似结论。对于 Z=max(X,Y) 求 E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在 y=x 的上方为 f(x,y)* x，下方为 f(x,y)* y。对Z=min(X,Y
3、)同理可推。避免了先求 FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和 FZ(z)=1-(1- Fx(z)* (1- FY(z),再对 z 求导的麻烦。3 为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。答：用反证法，假设 f(x)存在原函数 F(x),因为 F(x)处处连续,所以 F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在 x=a 处的右极限= F(x)在间断点 x=a 处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以 F(x)在 x=a 处的左导数=F(x) 在 x=a 处的右导数= F(x)的导函数在 x=a 处的函数值，换句话说就是 f(x)在 x=a 处的左极限=
4、 f(x)在 x=a 的右极限= f(x)在间断点 x=a 处的函数值， （因为 F(x)连续，所以 F(x) 在 x=a 处的左右导数等于它在 x=a 处导函数的左右极限） ，这样 f(x)在 x=a 处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。考察分段函数 f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) x 不等于 0, f(x)=0 当 x=0 时，当 x趋于 0 时 f(x)的左右极限都不存在，所以 x=0 是 f(x)的第二类间断点。但 f(x)有原函数 F(x)=x 平方* sin(1/x) x 不等于 0，F(x)= 0 当 x=0 时。4 对于被积函数或微分符号内有两个变量 x
5、 与 y 的定积分该如何积分？答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数 t=y-ax（截距式参数） t=y 除 x (斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或 y 与x 的函数关系确定 y 与 x 的取值范围，从而就可以算出 t=y-ax 或 t=y 除 x 的取值范围(a 为一次函数的斜率 )。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于 t 的定积分。从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即 r 与角度（逆时针
6、方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。5 关于复合函数连续与可导的问题答：对于 y=g(f(x),只要 u=f(x)在 x=a 处极限存在， y=g(u)在 u=b b=f(a)处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果 y=g(u)在 u=b b=f(a)处可导，u=f(x)在 x=a 处不可导，则 y=g(f(x) )在 x=a 处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在 u=bb=f(a)处不可导，u=f(x)在 x=a 处不可导，则 y=g(f(x) )在 x=a 处可以可导。比如内函数为 u=f(x)=x+（x 的绝对值） ，外函数为 y=g(u)=u+
7、（u 的绝对值） ，虽然 u=f(x)在 x=0 处不可导，y=g(u)在 u=0 处不可导,但是 y=g(f(x)在 x=0 处可导。6 可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例答：狄利克雷函数，因为此函数当 x 趋于有理数时极限等于 1，趋于无理数时极限等于 0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。7 如果一个函数在一个点 x0 处可导，能不能推出它在 x0 的某一领域内可导?答：不能，反例，f(x)=x 平方，当 x 为无理数。 f(x)=0，当 x 为有理数，先考察在 x=0 处的可导性。当函数从无
8、理数趋于 0 时，导数为 x 平方除 x，为 x。又 x=0，所以导数为 0。当函数从有理数趋于 0 时，导数为 0 除 x，为0。所以函数在 0 处可导。当 x 不为 0 处（设为 x0 处）的导数，分两种情况，一是在有理数处的导数，当函数从无理数趋于 x0 时，导数为 x 平方除 x，为 x，当函数从有理数趋于 x0 时，导数为 0 除 x，为 0，不相等所以不可导。二是在无理数处的导数，当函数从无理数趋于 x0 时，导数为 0 除 x，为 0，当函数从有理数趋于 x0 时，导数为负 x 平方除 x，为负 x，不相等所以不可导。8 如何求两条异面直线的公垂线？答：思路一：根据给出的两条空间
9、直线 L1 与 L2 的方程（可以是一般方程或是对称方程） ，求出它们的方向向量 S1=m1,n1,p1, S2=m2,n2,p2.然后根据公式求出这两个向量的垂直向量 S3=m3,n3,p3，然后取包含 S3 的第一个平面上的一点（x,y,z ） （任意一个未知的代数点）与 L1 上一已知点a1,b1,c1,做向量 S4=x-a1,y-b1,z-c1,根据 S4, S1, S3 三向量共面，混合积等于 0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。同理取包含 S3 第二个平面上的一点（x,y,z） （任意一个未知的代数点）与 L2 上一已知点a2,b2,c2,做向量 S5=x-a2,y-b
10、2,z-c2,根据 S5, S2, S3 三向量共面，混合积等于 0，列出一个行列式，把它化为一个平面的一般方程。联立这两个平面的一般方程，就得到了公垂线的一般方程。思路二：设两个参数 t 与 m, t 为起始点的参数，m 为步长参数，把 L1 先化为对称式方程，并设它等于 t，然后写出 x=x(t)，y=y(t),z=z(t)，再在 L1 上取一起始点 A x(t), y(t), z(t)然后根据公式求出这两个向量的垂直向量 S3=a,b,c，(a,b,c 是三个具体的数)沿此向量取一步长 m，,则 A 点沿公垂线平移的向量改变量为 S=am,bm,cm,则终点为B x(t) -am, y(
11、t) -bm, z(t)-cm,把它带入到 L2 的方程里去，便可求出参数 t 与 m的值，这样便可求出公垂线的方程。9 注意第一类广义积分与上限或下限为 0 的第二类广义积分审敛法的区别分析：前者是无穷限积分，把函数与 x 分之一的 p 次方做比较，当 p1 时，由审敛公式极限等于 0 或常数时，积分收敛。当 p=1 时，由审敛公式极限等于无穷大或常数时，积分发散。需要注意的是此时 a=0，(x-a)分之一的 p 次方变成了 x 分之一的 p 次方，所以此处很容易出错，最重要的是要看一下被积函数在 x=0 处是否有界，有界属于前者，无界属于后者。审敛时 p 的取值范围正好相反。10 证明任何
12、一个 n 阶排列都可以经过有限次对换变成自然排序，且变换次数与这个 n 阶排列具有相同的奇偶性。证明：根据数学归纳法，设一个排列为 k 阶排列，先证明任何一个 n 阶排列都可以经过有限次对换变成自然排列。当 k=1 时，结论显然成立。假设当k=n-1 时结论也成立，即 j1j2 到Jn-1 可以变成 123 到 n-1。则对于 k=n，当 jn=n 时，结论显然成立。当 jn 不等于 n 时，则第一步先把 jk(k 为 1 到 n-1 的任意一个整数)它的值为 n,与 jn 做对换，接下来的对换方法如同 jn=n 时，因为一个 n 阶排列可变为自然排列，所以自然排列也可以变为这个 n 阶排列，
13、且变换次数相同，又因为自然排列是偶排列。且一个偶排列经过奇数次对换变成奇排列，经过偶数次对换变成偶排列，所以命题得证。11 隐函数求导的三大法则一 等式两边对 x 求导二 利用隐函数求导公式三 等式两边取全微分12 关于二重积分的保向性的理解分析：因为积分区间相同，被积函数有大小比较关系，所以把两个积分相减，得到的式子大于零，就意味这两个曲顶柱体相减得到的一个上下面都是曲面的柱体，它在 xoy 面上方大于零，在 xoy 面下方小于零。保向性在定积分与三重积分也成立。对于不等式两边同时取极限也成立。13 如果 lim(n 趋于无穷大 )Xn*Yn=0,能不能说 lim(n 趋于无穷大)Xn=0,
14、或 lim(n 趋于无穷大) Yn=0？答：不能，设数列Xn 为 0,1,0,2，0,3,0,4 一直下去，其通项为 1 加上 1 的n 次方的和除以二再乘以 n。设数列Yn为 1，0,2,0,3,0,4,0 一直下去，其通项为 1 加上 1 的 n-1 次方的和除以二再乘以 n。这就是一个反例。因为一个数列发散它可以有收敛的子数列。14 关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?答：设幂级数逐项求导的收敛域为 I1,原幂级数收敛域为 I2，幂级数逐项积分的收敛域为 I3，则 I1f(x)=(x+T)*f(x+T)=1*f(x+T) 所以 f(x+T)=f(x),就是
15、说它的导函数也是周期函数.b. 函数 f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有 f(-x)=limf(-x+h)-f(-x)/h =limf(x-h)-f(x)/(-h) =-f(x) 二、根据复合函数的求导法则 , 设 f(x)为偶函数,则有 f(-x)=f(x) 对上式两边关于 x求导数,则有8. 设函数 y=f(x)在 x=a 处可导,则函数 y=f(x)的绝对值在 x=a 处不可导的充分条件是: f(a)=0,f(a)0证明如下：f(a)=0,f(a)0 或 f(a)0lim(xa-)f(x)=-f(a) lim(xa+)f
16、(x)=f(a)-f(a)=lim(xa-)f(x) x=a 处导数不存在f(a)=0,f(a)0 lim(xa-)f(x)=f(a) lim(xa+)f(x)=-f(a)f(a)=lim(xa-)f(x)x=a 处导数不存在 如果想不通,就当 f(x)=x 吧,|x|在 x=0 处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。闭区间上的连续函数必可积。闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积10.有限个无穷小量的和仍是无穷小量。无限个无穷小量的和不一定是无穷小量有限个无穷小量之积是无穷小量。无限个无穷小量的积不一定是无穷小量。无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量。无穷小量与常数的乘积不一定全是无穷小
17、量。11.两个无穷大量之和不一定为无穷大量，两个无穷大量之积必为无穷大量。无穷大量与常数的乘积不一定全是无穷大量。针对第 10 与 11 给出具体解析：(1)无穷大量与常数的乘积可以分为两种情况，一种是与 0 的乘积，一种是与除 0以外的常数，当与 0 相乘时，得到的是 0，而不是无穷大量，可以这样说，无穷大量与除 0 以外的常数的乘积为无穷大量。同理，无穷小量与常数的乘积也可以分为类似的情况。(2)无穷大量可以分为正无穷大量和负无穷大量，当正无穷大量与正无穷大量相乘时，得到的结果是无穷大量。当正无穷大量与负无穷大量相乘时，得到的是负无穷大量，因为负无穷大量也是无穷大量，所以无穷大量与无穷大量
18、相乘时，得到一定是无穷大量。(3)无穷大量与无穷大量之和不一定是无穷大量，因为如果是正无穷大量与负无穷大量之和，得到的结果可能是 0，可能是常数，等等思考一下：既然两个无穷大量之积必为无穷大量，则能否扩展到有限个无穷大量之积必为无穷大量，进一步扩展到无限个无穷大量之积必为无穷大量。12 可导与导函数的关系可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数， 只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。13,连续与可积的关系如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积，反之，函数在某区域可积，不能保证函数在该区域连续，比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。
19、14,切线与可导之间的关系有切线不一定可导，是因为垂直于 X 轴的切线，它的斜率是无穷大，所以不可导。可以得出结论：可导必有切线，有切线不一定可导（竖直切线）以上知识点在判断题中非常实用大题解题指导高等数学考试中大题包括以下几种类型：1.求极限 2.求最值 3.求不定积分或定积分 4 求隐函数的偏导数 5 求二阶连续偏导数 6.二重积分 7.微分方程 8.求旋转体积或面积 9.证明题1. 求极限：在求极限的问题中，极限包括函数的极限和数列的极限，但在考试中一般出的都是函数的极限，求函数的极限中，主要是掌握公式，有些不常见的公式一定要记熟，详细的公式看高等数学学习指导与习题指南一书第 8 页。这
20、种类型的题一般属于简单题，但往更难一点的方向出题的话，它会和变上限的定积分联系在一起出题2. 求最值：这类题一般求导之后便可解出，不在过多叙述。3. 求不定积分和定积分，在这类题中，一般会用到换元积分法和分部积分法，还有牛顿莱布尼茨公式。一般情况下，多做些题就没什么大问题。4. 求偏导数：偏导数包括一阶偏导数和二阶偏导数。重点谈二阶偏导数，尤其是二阶混合偏导，在二阶以上的混合偏导中，用到的一个最重要的法则是链式法则，链式法则在很多时候，我们会迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看着自己算出的一个式子，自己都不明白，关于链式法则，我很想举例来说明，但是一般的电脑没有数学软件，那些符号根本无
21、法显示，故建议看高等数学学习指导与习题指南一书第 172 页，它详细的论述了多元函数微分学中的一些重要知识点，当看完解题指导，自己独立的把教材 194 页例 2 做一下，做的时候，最好不要看例题的解题部骤，因为看例题的解题步骤会迷，当独立的把结果推算出来的时候，多元函数微分学的大概你掌握的已经差不多了。5. 微分方程：这个类型的题，只需要把那一个解题的公式记住，然后往里面套公式即可，这是最简单也最枯燥的题，没什么新意，但是考试的时候，这类题还从未少过，每年都有。需要注意的是有时候求的是通解，有时候求的是特解。6. 证明题：这种题还是离不开公式定理。一般情况下，用洛尔定理和微分中值定理即可，若再
22、复杂的话，有时候就需要微分中值定理和积分中值定理连用，对于这类题，有时间则做，没时间就不做。总的来说，高数其实不算太难，当你对它产生一种畏惧的时候，你就很难把它学好了。要喜欢这门课，就要先喜欢这门课的老师，考试要的也是心态，有些题，本来就不属于自己的能力范围的，就直接放弃，一直缠着只会是浪费时间，其它题没时间做，这道题又没做出来。现在复习高数的时候别怕浪费时间，因为补考前的一个月就是让你浪费的，正如高四的复习，那一年确确实实是让我们好好浪费的，所以一定要多花时间浪费在复习中，数学讲究的就是熟练，当你看到一道题的时候，自己首先要有一个感性的认识，对它有一个大体的把握，复习就要做到多看教材，复习的最高境界就是把教材习题化，也就是说，当你看到课本上的知识点的时候，脑中立刻会想起你曾经做过的那道题用过这个知识点，如果这个知识点要考试的话，它最有可能以什么方式呈现出来。
