1、1第二章 轴向拉伸与压缩2.1. 材料力学的基本概念2.1.1. 任务和研究对象：研究材料的力学性能，即构件在外力作用下变形和破坏的规律；为设计构件和承载能力服务。2.1.2. 承载能力的三个指标z 强度：抵抗构件断裂的能力z 刚度：抵抗构件弹性变形的能力z 稳定性：抵抗构件发生构件形状发生变化的能力2.1.3. 构件型式1. 杆：一个方向远大于另两方向尺寸 属于材料力学的研究研究内容z 按中心线（直杆、曲杆）z 按截面形状（圆杆、矩形截面杆）z 空心、实心2. 板：两个方向远大于另一方向尺寸（平板、壳体），属于压力容器的研究内容3. 块：三个方向尺寸差不多，如机床底座，压缩机2.1.4. 材
2、料力学的四个假设1.连续性假设 2.均匀性假设3.各向同性假设 4.小变形假设2.1.6. 杆的四种基本变形形式（各一章） 拉伸与压缩2.1.5. 变形分类弹性变形：去除外力之后构件能恢复到原来形状塑性变形：去除外力后不能恢复（残余变形）构件变形弹性变形塑性变形 平面弯曲图2-1 图2-2扭转2.1.7.内力：由于外载荷作用相邻两部分材料间的 “剩余 ”作用力，与外力相对。剪切图2-3 图2-42.1.8. 截面法：用一假设截面把杆件截开，通过研究其左段或右段的受力平衡，得到该截面的内力的方法。如图 2-5，若取左段作为分离体进行受力分析，内力 N的大小，可以根据静力平衡条件求，得： Fx 0
3、 N - F 0， N Fx2.1.9. 应力1.含义：内力的集度（集中程度）或单位面积上的内力。2.单位： ，3.应力符号：正应力 剪切力2/Nm Pa=610MPa Pa=图2-52.2. 杆的轴向拉伸与压缩2.2.1. 构成直杆所受力的作用线与杆的轴线重合。2.2.2. 内力图例 2-1 图 2-6（ a）为一双压手铆机的示意图，作用于活塞上的分别简化为 F1=2.62KN， F2=1.3KN， F3=1.32KN，计算简图如图 2-6（ b）所示。试求活塞杆横截面 1-1和 2-2的轴力，并作活塞杆的轴力图。F1F2 F32左段平衡条件 Fx=0 , F1 N1=0由此确定 N1的数值
4、是N1= F1 2.62KN（压力）同理，可以计算横截面 2-2上的轴力 N2。由截面 2-2左边一段（图 2-6（ d）的平衡条件 Fx=0 , F1 F2 N2=0N2= F1 F2=2.62-1.3=1.32KN（压力）图2-6解：用截面法，假设沿截面 1-1将活塞分成两段，舍弃右段，并画出左段的受力图（图 2-6（ c）。用 N1表示右段对左段的作用。为保证左段平衡， N1和 F1大小相等，方向相反，而且共线，故截面 1-1左段受压， N1为负。如研究截面 2-2右边的一段（图 2-6（ e），由平衡条件 Fx=0 N2 F3=0N2=F3=1.32KN（压力）所得结果与前面相同，计算
5、确比较简单。所以计算时应选取受力比较简单的一段作为分析对象。据上可以画出活塞杆的轴力图 2-6（ f）。NF1F2X习惯上，规定被截截面上受拉内力为正，即内力的方向指向剩余杆的外面，并总是假设截面内力为正，通过求解方程确定是否与假设方向相同。2.2.3. 受拉（伸）压（缩）杆变形的平面假设根据实验现象，经过推理分析，可作出一个重要的假设，理想杆的横截面变形前是 平面，在杆件变形后，仍 为垂直于杆件轴线的平面。这个假设称为平面假设。2.2.4. 正应力正应力的计算公式：其中： 为正应力，单位： MPa； A是横截面，单位m2； N为截面的内力，单位： N为正，杆受拉伸；为负，杆受压1MPa 10
6、6N/m2 1N/mm2NA =2.2.5. 斜截面上的应力计算如图 2-7由静力平衡方程求得截面上的内力为 N F， 由平面假设可推断：式中 Aa为直杆斜截面 k k的面积。设 A为直杆横截面的面积。斜截面 k k与横截面所成的角为，则由几何关系可得：cosaAA=aaNqA=图2-7则斜截面上的正应力：沿斜截面法线方向，大小为：斜截面上的剪应力，沿斜截面切线方向，大小为：令横截面上的正应力故任意一斜截面正应力和剪切力的计算公式：2cos cos cos/cosaF FqA A =sin sin sin cos/cosaF FqA A = =NFA A = =2cos =sin cos =3
7、各斜截面上的正应力和剪应力中的最大值及其所在截面的方位。（ 1） （横截面） , ，即直杆受到轴向拉伸时，横截面上的正应力最大；（ 2）（45斜截面） ，即直杆受到轴向拉伸时，在与横截面成 45角的斜截面上的剪应力最大，它的数值等于横截面上正应力数值的一半，因此材料压缩时常沿 45裂开0 =max = =0 =45 =2 = max2 =2.2.6 杆件受拉压变形时的强度条件材料的许用应力该公式为杆的强度条件。NA = 利用强度条件可解决三类问题：计算截面尺寸；校核问题；许可载荷设计问题。解题步骤：画受力图；求出所有外力；求内力；利用 解决三类问题。 NA =例题 2、 3：课本 p.48-4
8、9例 2-4 悬臂起重机的结构如图 2-9所示，通过小车起吊重物，小车工作时能沿着横梁 AB移动，已知小车自重 Q=5.0KN，拉杆 BC的直径 d=20mm，材料 Q235A钢，许用应力 ，试由拉杆 BC确定起重机的许可起吊重量 120.0MPa = G图 2-9解：根据起重机结构图可知当小车移到 B点时杆 BC有最大拉力 NBC，以 B点为研究对象解除约束画受力图。AB、 BC均为二力杆，由运动趋势到断力的方向平面汇交力系。由， 得 根据 BC杆得强度条件 所以，起重机的许可载荷0= yF QGNBC+=sinsinQGNBC+=BCBCAN KNG 85.11= QdG sin41224
9、1sindQG+电子秤的传感器是一空心圆筒 ，工作时受轴向拉伸或压缩，已知此圆筒的外径 D=80mm，筒壁厚=9mm，弹性模量 E=2 105MPa。在秤某一重物时，测得筒壁产生轴向应变 = - 476 10-6，问此物体重 W为多少 ? 图 2-10由 可知 l/l， l很小，联想以前作的材料力学小应变假设由圆筒的受力条件，得EG =解：例 2-580()10*80(*41*1023610*)0.9*262 KNN 19110*1913=476*10*10*10*0.2653= AEG 4直杆受轴向拉伸或压缩时，杆的长度将发生变化。设直杆的原长为 l，变形后的长度为 l1，直杆的伸长量为 l
10、=l1 l 。2.2.7. 虎克定律相对伸长量（应变） = l/l，无单位，应力与应变的关系：虎克定律 =E ，应力与应变成正比。E弹性模量， MPa图2-112.2.8 受拉、压杆的刚度问题E = NlEA l=NllEA=刚度条件：设计时，同时考虑条件与刚度条件一同推出的，取尺寸最小值。 ll 杆件变形计算公式：N：内力； l：受 N内力杆的长度； E：弹性模量，单位：MPa；例 2-6： 一等截面直杆，受轴向外力 P1、 P2及 P3作用（图 2-4（ a），已知 P1 8 kN， P2 10 kN， P3 6 kN，试求出 AB、 BC、 CD各断横截面上的轴力，并画出轴力图。解：（1
11、）先计算AB段的轴力。在AB段内任取一截面1-1，沿截面1-1将杆假想地截成两段，并取左段为研究对象，其受力图如图2-4（b）所示。由平衡方程110, 0xFNP= =118NP kN= =得：N1为正值，说明原先假设的的方向是正确的，N1即为拉力。另外，由于在这一段内外力没有变化，故在该段任一横截面上的轴力都相同，均为8kN，且都是拉力。（2）计算BC段的轴力。在BC段内任取一截面2-2，沿截面2-2将杆假想地截成两段，仍取左段为研究对象，并假设该截面上的轴力N2为拉力，如图2-4（c）所示。由平衡方程2210, 0xFNPP=+=得： 212810 2NPP kN=N2为负值，表明原先假设
12、的N2方向与实际的轴力方向相反，即N2应是压力。同样，在直杆BC段各横截面上的轴力都想同，且都为压力。（3）计算CD段的轴力。在CD段内沿任取截面3-3将杆截成两段，仍取左段为研究对象，并假设该截面上的轴力N3为拉力，如图2-4（d）所示。由平衡方程213 30, 0xFPPPN= + =3 21310 8 6 4NPPP kN=+=+=得：N3为正值，表明原先假设的N3方向与轴力的实际方向相同，即为拉力。同样，在CD段的各横截面上的轴力都想同，均为拉力。5（4）画轴力图。取Nx坐标系，由于每段内各横截面上的轴力不变，故只需将三个轴力方程所得结果N1、N2、N3按适当的比例，并考虑各断轴力的正
13、负号（拉伸时取正号，压缩时取负号），在各段杆长的范围内画出三条水平线，即可得到直杆的轴力图，如图2-4（f）所示。从轴力图上便可确定最大轴力的数值及其所在的横截面位置。在此比例中，AB段的轴力最大，即NmaxN18 kN，且为拉力。NllE A=12tlll=+11 2 211 2 2N lNlEA EA=+()11 12212Fl FFlEA EA +=+1122NF1F1F2N1= F1N2= F1+ F21122图12例 2-7：试求图示阶梯钢杆各段内横截面上的应力，以及杆的总伸长。钢的弹性模量 E=2*105MPa， F=10KN， Q=2KN。材料的机械性能：是指材料在外力作用下，材
14、料在强度、刚度等方面所表现出来的性能。材料的基本机械性能： 。除这五个指标，还有其它机械性能。5Pbs 、2.3.1 典型塑性材料的拉伸实验2.3.1.1 标准拉伸实验1.材料种类 塑性材料：至构件断裂时产生较大的塑性变形； 脆性材料：塑性变形等于 零或者很小，往往弹性变形也很小；2.3. 材料的机械性能2.试样、标距如图2-13图2-133.拉伸图 F - L曲线，和应力应 变 图 曲线（ - 线）图2-14图2-15塑性变形 p弹性变形 p4.四个阶段：z 弹性阶段（ Oa段）：这段直线最高点 a对应的应力值称为材料的比例极限；z 屈服阶段（相当于曲线的水平部分）：相应于 c点的应力称为材
15、料的屈服极限，以 表示；z 强化阶段（ ce段）：相应于 e点的应力称为强度极限；z 颈缩断裂阶段（ ek段）：到达 k点时断裂Ps总形变 =弹性形变 +塑性变形（残余变形）即：p e = +强度方面的三个指标：P bs 、6刚度方面的两个指标： 延伸率延伸率是衡量材料塑性的一个重要指标：脆性材料； 塑性材料。常用5，指初始标距 l=5d ；，表示标距为直径 10倍标准试样的延伸率。 断面收缩率%1001=lll%510%100*1AAA=2.3.1.2. 其它塑性材料的拉伸试验图2-16 (a)图2-16 (b) 图2-16 (c)无明显屈服阶段的材料的屈服极限用0.2代替2.3.2 典型塑
16、性材料的压缩试验如图 2-17。典型塑性材料无论拉、压均可用虎克定律来描述 E 。图2-172.3.3. 脆性材料拉伸试验如图2-18。如：石头、陶瓷、玻璃钢、铸铁只有断裂极限 ，无、，bPs 05=灰铸铁 玻璃钢图2-182.3.4 脆性材料的压缩试验如图2-19。不会变成腰鼓形，沿45角裂成两半（45时剪切应力 ），故脆性材料不是压坏而是由于剪切强度不足被剪坏的。max =7脆性材料与塑性材料是可以相互转化时，如石头在压缩时由 看出是塑性材料，一般材料是受拉，顾以受拉伸时的曲线来说明材料是塑性或是脆性。 图2-191.3.5 温度对材料性能的影响（ 1）短期静载（ 2）长期高温静载对构件的
17、影响：蠕变和应力松驰 蠕变： 杆受外力的大小不变，但杆的变形不断增加的现象； 衡量方法：蠕变极限或叫持久极限Dt，表示一定温度下，在一定时间内发生规定的塑性变形时所允许构件承受的最大应力；见课本 p.40 应力松驰 构件长期在高温条件下运行，由于受到约束限制，构件的长度不变，但构件所受应力不断降低的现象。墙墙2.3.6 冲击试验（动载） 构件受冲击载荷体现的力学性能，模拟设备突然受冲击载荷。 衡量：冲击功 AK(J)，即不是强度指标，也不是刚度指标，是二者的综合指标，反映材料的韧性，即材料的抗脆断能力。图2-212.3.7 硬度试验 布氏硬度 HB（图 2-22） 洛氏硬度 HRC（图 2-2
18、3） 金属材料热处理经常用到硬度指标图2-22 图2-2382.3.8. 弯曲试验（三点弯试验）检验材料成型能力，如图 2-24。如图2-242.3.9. 疲劳试验构件所受的载荷的大小、方向 随着时间变化，如图 2-25。图2-25应力不随时间变化构件所受的应力随着时间变化。图2-26 疲劳曲线工程上对于在某一种循环特征的交变应力作用下能经受无限次循环而不发生破坏的最大应力称为疲劳极限 1。循环次数许用疲劳应力通常所称的许用应力疲劳极限 1总结：1. 常温、静载力学性能（一般所称的力学性能）：拉伸、压缩；5个指标 应力应变曲线2. 高温时的力学性能：分短期高温和长期高温（蠕变与应力松驰）3.
19、综合性能指标：冲击试验、弯曲试验和硬度实验，综合反映材料的强度和刚度性能；4. 疲劳：受随时间载荷大小和方向周期性变化的力学性能2.3.10 安全系数及许用应力极限应力： 、 、 、 。安全系数： n许用应力sb2.0tD安全系数分类： ns屈服安全系数， nb断裂安全系数，nD蠕变安全系数国家设计标准中 ns 1.6， nb 3.0， nD 1.5决定安全系数大小的因素：安全余度；力学模型局限性；载荷等测量误差。n极安全系数极限应力2.4. 拉压杆件的超静定问题常见的 两种情况：1.装配引起的；2.温度变化引起的。图2-279例题27：设AB、AC和AD三杆组成的构架，各杆两端都用铰链连接，
20、在铰链点 A受到外力 G的作用，如图2-27（a ）所示。已知1、2两杆的长度，横截面面积及材料均相同，即 l1=l2=l， A1=A2=A，E1=E2=E，杆3的横截面积为 A3，材料的弹性模量为 E3。试求三杆的内力。解： 由于在 A、 B、 C及 D各点均为铰链，所以三杆都是二力构件，即只受轴力的作用。设以 N1、 N2及 N3分别表示杆 1、 2及 3的轴力，并假设它们都是拉力。研究铰接点 A的平衡，如图 2-27（ b）。由静力平衡条件 Fx=0及 Fy=0，得：0sinsin12= NN0coscos312=+ GNNN 在上面两个方程中有三个未知力，所以需要建立一个补充方程。（
21、1）（ 2）图2-27为此，根据杆件受力后的变形协调条件建立一个变形几何方程。整个构架在铰接点 A受到外力 G作用后，各杆件都要伸长，但它们的下端仍应连接于一点。由于构架在几何形状、材料性质及受力情况各方面都是左右对称的，故铰链点 A只有铅垂方向的位移，而没有水平方向的位移，图 2-27(c)中的虚线表示构架变形后的情况。由图可见，各杆变形之间的关系为13cosll=（ 3）式 (3)就是构架的变形几何方程。应用虎克定律，可将式 (3)写为331211 33cosNlNlEA EA=（ 4）由图 2-27(a)可得cos13ll =故得23331cosAEEANN =（ 5）式 (5)就是所需
22、的补充方程。解联立方程组 (1)、 (2)及 (5)，得到23321coscos2EAAEGNN+=3333cos21AEEAGN+=例题 2 8：两端固定的钢杆（图 2-28（ a），杆长为 l，横截面面积为 A，材料的弹性模量为 E，线膨胀系数为 。试求温度升高 t时杆内的温度应力。解： 如杆只有一端固定，则温度升高 t后，杆将自由地伸长 lt（图 2-28（ b），但因固定端约束 B的阻挡，使杆不能自由伸长，这就相当于在杆的两端各加一个相应的压力F，把这段伸长再压缩回去，见图（ 2-28（ c）。但这个力 F的数值，用静力平衡方程不能确定，因此这是一个超静定问题。在这里需要建立一个补充方
23、程。图2-28根据变形的几何关系，杆 AB的总长度没有变化，即 l 0 （ 1）这就是变形协调条件。如用 lF表示杆 AB受到压力 F后的缩短，则按式 （ 1） 有 l lt lF 0 （ 2）由变形的物理条件tltl =及EAFllF=10代入式（ 2），得0=EAFltl（3）或NtEAF =由此得到温度应力为tEAN= 可见，等截面杆的温度应力与杆的长度及截面尺寸无关。在工程上对于有温度影响的超静定结构需考虑温度应力。例如蒸汽管道两端固定时，由于温度的变化而产生 的应力与上例计算相同。若为钢管，其膨胀系数 =12.5 10-6 1/，E=2.0 105MPa，当温度从 0变化至 40时（ t=40），钢管内的温度应力由式（3）求得为可见，温度应力是相当大的。因此，在工程上，常采取一些措施来减少或避免可能产生的温度应力。例如在化工厂中，高温管道通常插入膨胀节（图 2-29）使管道由部分自由伸缩的可能，以减少温度应力。图2-29 膨胀节-6 512.5 10 2.0 10 40100NEtAMPa= = = （压应力）
