1、第七节 多元函数优化问题,一、二元函数的最值,最值存在定理：若函数 z= f (x, y) 在闭区域 D上连续, 则一定存在最大值与最小值.,闭区域D上可微函数的最值求法： (1)先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值 (2)求出函数在区域边界上的最值. (3)比较这些函数值的大小, 最大的就是函数在D上的最大值, 最小的就是函数在D上的最小值.,例 求函数 在有界闭区域 上的最大值与最小值.,解 函数在D内处处可导，且,在边界x=0及y=0上的函数z的值恒为零,在边界 上，函数成为的一元函数,函数求导有,所以在0,4上的驻点为,相应的函数值为,所以函数在闭域D上的最大值为 ,在点 处取得；
2、最小值为 ，它在D的边界x=0及y=0上取得,二、实际问题的最值,实际问题最值的求法 (1)有实际意义建立函数模型及其定义域； (2)求函数的驻点； (3)结合实际意义，利用驻点的惟一性及最值的存在性进行判断.,对于实际问题中的最值，若从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，这时，若可微函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值,例 要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?,解1 设容器的长为x，宽为y ，高为z ，容器所需钢板的面积为 且,所以,求偏导数,求驻点得,于是驻点唯一，所以当长方体容器的
3、长与宽为 ，高取 时，所需的材料最省,解2 设拉格朗日函数为,将方程组的第一个方程乘以x，第二个方程乘以y，,所以有 ，代入第四个方程得可能极值点,第三个方程乘以z，再两两相减得,解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,倾角为 ,例 有一宽为24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面积最大.,令,解得,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求,三、经济学中的最值问题,例（最大利润）某工厂生产两种产品A和B，其销售单价分别为 (单位:元)总成本函数(单位:元)是两种产品产量 和 (单位:件)的函数，,当两种产品的
4、产量为多少时，可获利润最大？,解 收益函数与利润函数分别为,由,解得唯一驻点 ，而,由题意知，生产120件产品A，80件产品B利润最大，最大利润为320元,例（最小成本）某工厂生产两种商品的日产量分别为 和 (单位:件)，总成本(单位:元)函数为,商品的限额为 ，求最小成本？,解 约束条件为 ，设拉格朗日函数,解方程组,得惟一驻点(25,17)，故最小成本 元,例(最大利润)销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x和y(单位:千元)时，销售量为S,(单位:件)是x和y的函数,若销售产品所得利润是销售量的1/5减去总的广告费，两种方式广告费共25(千元)应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少？,解 根据题意，利润函数为,约束条件为 ，作拉格朗日函数,求其偏导数，得方程组,解得 ，因驻点惟一，所以当两种宣传方式广告费分别为15和10(千元)时利润最大,最大利润为,例,解,
