1、第二章1用图解法求解两个变量线性规划问题的最优解和最优值。 0,153562st.max2112xxz1x2x最优解 ：（ 1 2 / 7 ， 1 5 / 7 ）最优值 ： 6 9 / 72用图解法求解以下线性规划问题，并指出哪个问题有惟一解、无穷多最优解、无界解或无可行解 0,3412st.6min212xz最优解 ：（ 1 / 5 , 3 / 5 ）最优值 ： 3 . 611 / 203 / 41 1x20,812st.4max21xz1x2x无可行解3某公司从中心制造地点向分别位于城区北、东、南、西方向的分配点运送材料。该公司有 26 辆卡车，用于从制造地点向分配点运送材料。其中有 9
2、辆，每辆能装 5 吨的大型卡车，12 辆每辆能装 2 吨的中型卡车和 5 辆每辆能装 1 吨的小型卡车。北、东、南、西四个点分别需要材料 14 吨、10 吨、20 吨、8 吨。每辆卡车向各分配点送材料一次的费用如表 2-7 所示。建立运送材料总费用最小的线性规划模型。表 2-7 车辆运送一次的费用北 东 南 西大 80 63 92 75中 50 60 55 42小 20 15 38 22解 设大、中、小型车分别用 i表示，则 3,21i；东、南、西、北四个分点分别用j表示，则 4,321j；向 j方向发出的 型车数量为 ijx。34321 243211412850 5605796minxx x
3、xZ 4,321,05982520.311431433121jixxxxstij4某工厂生产 A、B、C 三种产品，现根据合同及生产状况制定 5 月份的生产计划。已知合同甲为：A 产品 1000 件，每件价格为 500 元，违约金为 100 元/每件；合同乙：B产品 500 件，每件价格为 400 元，违约金为 120 元/每件；合同丙为：B 产品 600 件，每件价格为 420 元，违约金为 130 元/每件；C 产品 600 件，价格 400 元/每件，违约金为 90 元/每件。有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况如表 2-8 所示。试以利润为目标建立该工厂生产计划的线性规划模型。表
4、 2-8 产品使用的原材料、加工工序、资源限制、成本产品 A 产品 B 产品 C 资源限制 工时或原材料成本工序 1 2 1 2 4600 15工序 2 3 1 1 4000 10工序 3 2 3 2 6000 10原料 1 3 2 4 10000 20原料 2 4 3 2 8000 40其他成本 10 10 10解 设工厂 5 月份为完成合同甲生产 1x件 A 产品；为完成合同乙生产 2x件 B 产品；为完成合同丙生产 3x件 B 产品， 4件 C 产品。2906325920)14 2041052()()105( )335)(3 6(40max44 14 3211 xxxxZ,60,5180
5、2)(34146202.43232134xxxxxst5某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度 10 至 12 月的进货及销售计划。已知该种商品的初始库存量为 2000 件，公司仓库最多可存放 10000 件，公司拥有的经营资金 80 万元，据预测，10 至 12 月的进货及销售价格如表 2-9 所示。若每个月仅在1 号进货 1 次，且要求年底时商品存量达到 3000 件，在以上条件下，建立该问题的线性规划模型，使公司获得最大利润？（注：不考虑库存费用）表 2-9 进货和销售价格月份 10 11 12进货价格/（元/件） 90 95 98销售价格/（元/件） 100 100 115解 12,
6、0,ix，为每月购进的货物， 12,0,iy为每月销售的货物。12,0, 320 1020 1 8959. 980ma10112 1010110 101221 1211iyxxyyxxyst xxZi 且且且6某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需 700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量单价如表 2-10 所示。表 2-10 饲料所含的营养成分及价格饲料 蛋白质/g 矿物质/g 维生素/g价格/（元1kg）1 3 1 0.5 0.22 2 0.5 1.0 0.73 1 0.2 0.2 0.44 6 2 2 0.35 18 0.5
7、 0.8 0.8求这个问题的规划模型，使既满足动物生长的需要，又使费用最小的选用饲料的方案。解 设各送这 5 钟饲料 1x， 2， 3， 4x， 5kg。5,4321, 1080. 376.7min54321 5432ixxxstZ7某一企业家需要找人清理 5 间会议室、12 张桌子和 18 个货架。今有两个临时工 A和 B 可供该企业家雇佣。A 一天可清理 1 间会议室、3 张桌子与 3 个货架；而 B 一天可清理 1 间会议室、2 张桌子与 6 个货架。A 的工资每天 25 元， B 每天 22 元。为了使成本最低，应雇佣 A 和 B 各多少天？（用线性规划图解法求解）解：设雇佣 A 和
8、B 分别为 yx,天 为 整 数且 yxstyxZ,0;186325.min045 6356xyA3 x + 2 y = 1 2x + y = 53 x + 6 y = 1 8由图知 A 点为最优解，联立方程：5123yx解得： =2, 3,即： Zmin=25 x+22 y=252+22 3=116因此，雇佣 A 工人 2 天， B 工人 3 天。8某外贸公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容 5000 担的仓库。1 月 1日，公司拥有库存 1000 担杂粮，并有资金 20000 元。估计第一季度杂粮价格如表 2-11 所示。表 2-11 第一季度杂粮价格表进货价/元 出货价/元1 月
9、 2.85 3.102 月 3.05 3.253 月 2.90 2.95如果买进的杂粮当月到货，但需到下月才能卖出，且规定“货到付款”。公司希望本季度末库存为 2000 担，建立该问题的线性规划模型使三个月总的获利最大。解 设一月份买入 1x担，卖出 1担；二月份买入 2x担，卖出 2担；三月份买入 3x担，卖出3x担。3,21,0;3,21,00585.9. 1.3.205.318.2 90.25.0.5.8.max 21131 21 332211jxixxxxst xxxZji第三章1求下列线性规划问题的所有基解、基可行解、最优解 0,642st.3max311xz解：由题意知：A= 1=
10、（ ,2p） b=c=（3，1，3）（1） B=（ 1,2p） ， 1 0， 1B是基， 1x， 是基变量， x是非基变量，令 3x=0，得 1=-2， 2x=4 即23=,40为基解，但不是基本可行解。（2） B=（ 1,3p） ， 2B0， 2是基， 1x， 3是基变量， 2x是非基变量。令 2x=0，得 1=2/3， 3x=3/4，即23x=40为基解，同时为基本可行解，zmax=(2/3)*3+0+4/3*3=6。（3） 2,3()Bp， 3B0， 3是基， 2， 3是基变量， 1x是非基变量，令 1x=0，得 2=1， 3x=1，即123=0为基解，同时为基本可行解， zmax=1+
11、3=4。综上所述，基解为123x=04，123x= 40，123x=0其中第二个和第三个为基本可行解，123x= 4为最优解。2分别用图解法和单纯形法求解下列线形规划问题，并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上哪一个顶点 0,21st.3max1xz解：（1）图解法o 1x2xA 21xB121x有图解法知线性规划模型的可行域如阴影部分所示，令 z=0，1，2时，max z 逐渐增大，可行域是无界的，所以，此模型是无界解。（2）单纯形法：化为标准型为： 12343142,max0st.zxA= 010121bC=（ 2，3，0，0）BcBx2 x3 x0 x0 4xb0 31 -1 1 0 1
12、0 4x1 0 0 1 22 3 0 0对应图中原点。以 1 为轴心项，换基迭代，得BcBx2 1x3 2x0 3x0 4xb2 11 -1 1 0 10 4x0 1 -1 1 10 5 -2 0 -2此时对应图中 A 点，坐标是 （1，0） 以 1 为轴心项，换基迭代，得BcBx2 1x3 2x0 3x0 4xb2 11 0 0 1 23 2x0 1 -1 1 10 0 3 5 -7此时对应图中 B 点，坐标是 （2，3）因为， =50,同时 3x对应的列小于等于 0，则原模型有无界解。 0,18234st.5max121xxz解：（1）图解法：可行域如上图阴影部分所示，令 z=0，1，2做
13、等值线，得出在 c 点取最大值，c 点坐标为（2，6） ，max z=34（2）单纯形法：化为标准型为： 1234532415max0st.80,.jzxxx10231A =（ 1,2345,p） b= 4128C=（2，5，0， 0，0） 取 B=（ 345,p）为可行基， BC=（0，0，0）单纯性表如下：BcBx2 1x5 20 3x0 40 5xb0 31 0 1 0 0 40 4x0 2 0 1 0 120 53 2 0 0 1 182 5 0 0 0此时对应图中 O 点，坐标为（ 0，0） ，以 1 为轴心项，换基迭代，得BcBx2 1x5 20 3x0 40 5xb2 1x1 0
14、 1 0 0 40 40 2 0 1 0 120 5x0 2 -3 0 1 60 5 -2 0 0 -8此时对应图中 A 点，坐标为（ 4，0） 以 2 为轴心项，换基迭代，得BcBx2 1x5 20 3x0 40 5xb2 11 0 1 0 0 40 4x0 0 3 1 -1 65 20 1 -3/2 0 1/2 30 0 11/2 0 -2/5 -23此时对应图中 B 点，坐标为（ 4，3） 以 3 为轴心项，换基迭代，得Bcx2 1x5 20 3x0 40 5xb2 11 0 0 -1/3 1/3 20 3x0 0 1 1/3 -1/3 25 20 1 0 1/2 0 60 0 0 -1
15、1/6 -2/3 -34由于 基 =0， 非 基 0，并且所对应的列全小于 0，则此线性规划模型的解是无界解。5. 已知线性规划问题，用单纯形法计算时得到的中间某两步的计算表见表 3-16 所示，试将表中空白处的数字填上。表 3-16 单纯形迭代中的两步计算表BCX13x2534x405x60b2x31 0 310 0 38540 5 21 0 146x30 4 30 1 320jzc10 4 50 05 2x0 1 0 415841084 30 0 1 653 1x1 0 0 41241jzc0 1 0 556236已知线性规划问题 32maxxccz5,10st. 253221 14jxb
16、aj用单纯形法求解，得到最优单纯形表如表如表 3-17 所示：表 3-17 最终单纯形表BX1x234x5b31 0 1 21232x1 0 -1 2 2jzc-3 0 0 0 -4求 21321312, baa的值；求 c的值。解：由题意可知：初始的基变量是 4x， 5，将最终单纯形表的基变量通过迭代转换为 4x， 5，还原成最初单纯形表，如下： BX1x234x5b4x921 4 1 0 851 2 0 1 5jzc3 6 0 0从而得出：91412520A b=85C=9,3602所以, 1a=921=1 13a=4 21=52a=1 23=21b=8 2=5， 1c= 92=3 3c=
17、67某公司生产 1、2 两种产品，市场对 1、2 两种产品的需求量为：产品 1 在 1-4 月每月需求 10000 件，5-9 月每月 30000 件，10-12 月每月 100000 件，产品 2 在 3-9 月每月需求15000 件，其它月每月 50000 件，该公司生产这两种产品的成本为：产品 1 在 1-5 月内生产每件 5 元，6-12 月内生产每件 4.5 元；产品 2 在 1-5 月内生产每件 8 元，6-12 月内生产每件 7 元。该公司每月生产这两种产品的能力总合不超过 120000 件。产品 1 容积每件 0.2立方米，产品 2 每件 0.4 立方米，该公司仓库容量为 15
18、000 立方米，占用公司仓库每月每立方米库容需 1 元；如该公司仓库不足时，可从外边租借，租用外面仓库每月每立方米库容需 1.5 元。试问在满足市场需求的情况下，该厂应如何安排生产，使总的费用最小？8某炼油厂使用三种原料油甲、乙、丙混合加工成 A、B、C 三类不同的汽油产品，有关数据如下表 3-18 所示。另外，由于市场原因， A 的产量不得低于产品总量的 40%。问该厂应如何安排生产才能使其总利润最大？表 3-18 三种原料的信息A B C 原料成本（千元/吨）原料限量（吨）甲 %60151.800 2000产品产品规格原 料乙 1.350 2500丙 %206500.900 1200加工费
19、（千元/吨） 0.450 0.360 0.270售价（千元/吨） 3.060 2.565 2.025解：设 1x， 2， 3分别为 A 产品中甲、乙、丙的成分； 4x， 5， 6分别为 B 产品中甲、乙、丙的成分； 7， 8x， 9分别为 C 产品中甲、乙、丙的成分。由题意，有max z=（3.060-0.450）*（ 1+ 2+ 3x）+（2.565-0.360）*（ 4+ 5+ 6x）+（2.025-0.270）*（ 7x+ 8+ 9）-1.800*（ + 4+ 7）-1.350*（ 2x+ 5+ 8）-0.900*（ 3+ 6+ ） 147258369123123456456978200
20、.0.1.0.,12,jxxstxxx用计算机求解为：9线性规划的目标函数是求其值的极大化，在标准的单纯形法求解过程中得到如下表(其中 21H,是常数)表 3-19 求解中某一步的单纯形表BCX12x538x405x6b0 60 3 0 205 2x1H212H0 4-2 -1 1 8j-2（1）在所有的空格上填上适当的数（可包含参数 21,）（2）判断下面四种情况在什么时候成立，说明理由。1）此解为最优解，写出相应的基解和目标函数值；2）此解为最优解，且此线性规划有无穷多最优解；3）此规划有无界解；4）此解不是最优解，但可用单纯形法得到下一个基可行解。解：（1） BCX12x2538x405
21、x6b0 60 0 3 0 0 0 205 2x1H1 0 210 2H0 4-2 0 -1 1 1 1 8j2-5 10 -2 0- 250（2）1)当 2-5 1H 时，此线性规划模型有唯一解，基解为132(,)(0,)x最优值为 5 2。2）2-5 1=0，即 1= 时，大于 0，此线性规划模型有无穷多最优解。3）2-5 H0 且 0 且 10 且 20, 即 00 时，此解不是最优解。10表 3-20 是求某极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量，1a、 2、 3、 d、 1c、 2为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。表 3-20 极大化线性规划问题计算
22、得到的单纯形表BX1x234x56b4 a1 0 2a0 d-1 -3 0 1 -1 0 23x63-5 0 0 -4 1 3jzc12c0 0 -3 0表中解为惟一最优解； 表中解为最优解，但存在无穷多最优解；该线性规划问题具有无界解；表中解非最优，为对解改进，换入变量为 1x，换出变量为 6x解：（1）当 d0， 1c0 且 0 且 3 2d，表中解非最优，为对解改进，换入变量为 1x，换出变量为 6x。第四章1写出线性规划问题的对偶问题。 0,734152st.max21321xz0,837452st.6max2113xxxz，无 约 束0,573284625st.min42132153
23、xxxz ),21;,( 0( ), st.min11minjxjbiaczijmijiiinjij 解：（1） （2）0,5314y2st.7min21210,326754yst.8min21213321yy且（3） 无 约 束32132133,0,5745yst.86maxyyy（4） 且且且 njmijiminjiinjjiuvcubva,21;,211j1, st.x2判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解（2）如果线性规划的对偶问题无可行解，则其原问题也一定无可行解（3）在互为对偶问题的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是
24、求最大或最小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题的可行解的目标函数值（4）任何线性规划问题具有唯一的对偶问题解：（1）不正确。因为当原模型存在可行解且目标函数值无界时，其对偶模型无可行解。（2）不正确。因为对偶模型无可行解，其原模型可能存在可行解且目标函数值无界。（3）不正确。当原模型求最小值时，原模型的目标函数值可能超过对偶模型的目标函数值。（4）正确。对偶模型具有对称性。3用计算机求解线性规划问题,说明每一种资源的影子价格。0,2543st.10max112xxz解：计算机求解结果如下图所示：由图可知，原模型的最优解为（50，250） ，其对偶模型的最优解为（50，0，50） ，
25、三个约束条件的影子价格分别为 50，0，50 。4 某企业生产甲、乙两种产品，其单位利润分别为 2 元和 3 元。每生产一件甲产品需劳动力 3 个，原材料 2 个单位。每生产一件乙产品需劳动力 6 个，原材料 1 个单位。企业现有劳动力 24 个，原材料 10 单位。试问：（1）该企业应如何安排生产才能获得最大利润？（2）若另一个企业想利用该企业的这两种资源（劳动力和原材料），该企业最低应以多少价格转让？解：设该企业生产甲产品 1x个，乙产品 2x个，利润为 z，建立模型为0,12463st.ma312xz（1）化为标准型0,1342452st. xmax421 431xz13452A， c(
26、10,3,0,0)， bT0124,最初单纯形表经过换基迭代后，形成最优单纯形表由最优单纯形表可知，最优解为（4，2，0，0） ，即应生产 4 个甲产品，2 个乙产品，获利最大。（2） 由（1）中最优单纯形表知对偶模型最优解为（4/9,1/3） ，因此，最低转让价应为24*4/9+10*1/3=14 (元) 。5已知线性规划问题 4,321,06332st.8min4314jxxxzj（1）写出该问题的对偶问题（2）已知原问题的最优解为： T)(X。根据对偶理论，直接求出对偶bX2 1x3 2x0 3x0 4xb1x2 5 1 0 2422 1 0 0 102 3 0 0bX2 1x3 2x0
27、 3x0 4xb2x0 1 2/9 -1/3 211 0 -1/9 1/3 40 0 -4/9 -1/3问题的最优解。解：（1）对偶模型为0,06328yst. 26max43214314321yyyy（2）根据对偶模型的互补松弛性理论，可知原模型的松弛变量 5x=0, 6=0, 7x=0, 8=-1。设对偶模型最优解为 *y，由互补松弛性可知， *ys=0 ，所以 *4y=0。又设对偶模型剩余变量为 5， 6， 7， 8，且均为正数，互补性有 s*x=0，于是得 5y= 6= 7= 8=0，此时对偶模型的约束条件为0632*4*2143*1*4*yy解之得 *1y=2 ， 2=10 ， 3=
28、-2 ， *4y=0 。 6对线性规划问题 且321321,0,st.maxxxxz(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值 z。解：（1）对偶模型为0,012yst.min321321321yyy无 约 束（2）取对偶模型的可行解（0，1，0） ，求得对偶模型的目标函数值为 1，根据弱对偶性中原模型可行解目标函数值不可能超过对偶模型可行解目标函数值，可证得原模型目标函数值 z 1。7给出线性规划问题 0,0122st.max311xz利用对偶问题性质证明上述问题目标函数值无界。解：对偶模型为：0,12min21yy由图解法可知该线型规划模型无可行解，对于原模型可取 1
29、321x，说明原模型有可行解，根据弱对偶性可知原模型目标函数无界。8用对偶单纯形方法求解下列线性规划问题 0,523 st.)1(184min 31321xxz0,153642st. )2(min 21331xz解：（1）化为标准型0,523-st. 0 x184ma431 5421xxzA=2, c=(-4,-12,-18,0,0), b=T53用对偶单纯形法得初始单纯形表为 bX-4 1x-12 2x-18 3x0 40 5xb1x-1 0 -3 1 0 -3由（-4，-12 ，-18 ，0，0） 0 可知 B 为正则基；以 2为轴心项，换基迭代得以 3为轴心项，换基迭代得由于所有检验数
30、b 0，得到最优解为（0, 3/2 ，1） 。（2）化为标准型0,153642-st. xmax4213531zA= 536, c=(-5,-2,-4,0,0)， b=T104初始单纯形表为2x 0 2 -2 0 1 -5-4 -12 -18 0 0 bX-4 1x-12 2x-18 3x0 4x0 5b4x-1 0 1 0 -320 1 1 0 -1/2 5/2-4 0 -6 0 -6 bX-4 1x-12 2x-18 3x0 40 5xb3x1/3 0 -1/3 -1/3 0 12-1/3 1 1/3 1/3 -1/2 3/2-2 0 -2 -2 -6 以 3为轴心项，换基迭代得以 1为轴
31、心项，换基迭代得由于所有检验数 b 0，得到最优解为（ 2/3 ，2 , 0 ） 。9对下列线性规划问题 0,32443st. 860min1132xxxz(1) 写出对偶问题；（2）用对偶单纯形法求解原问题；（3）用单纯形法求解其对偶问题；bX-5 1x-2 2x-4 3x0 4x0 5b4x3 -1 -2 1 0 -45-6 -3 -5 0 1 -10-5 -2 -4 0 0 bX-5 1x-2 2x-4 3x0 4x0 5b1x1 1/3 2/3 -1/3 0 4/350 -1 -2 1 -20 -1/3 -2/3 -5/3 0 bX-5 1x-2 2x-4 3x0 4x0 5b1x1
32、0 1/3 -1 1/3 2/320 1 1 2 -1 20 0 -1/3 -1 -1/3 （4）比较（2）与（3）中每一步计算得到的结果。解：（1）对偶模型 0,82346yst.3max13121yy（2）原模型化为标准模型得6,5432,1043st. x 806max1432 65431ix xxzi对偶单纯形法得到的初始单纯形表以 3为轴心项，换基迭代得以 3/4为轴心项，换基迭代得bX-60 1x-40 2-80 3x0 40 5x0 6b4x3 -1 -1 1 0 0 -25-4 -1 -3 0 1 0 -46x-2 -2 -2 0 0 1 -3-60 -40 -80 0 0 0
33、 bX-60 1x-40 2-80 3x0 40 5x0 6b1x1 2/3 1/3 -1/3 0 0 2/350 5/3 -5/3 / 1 0 -4/36x0 -2/3 -4/3 -2/3 0 1 -5/30 0 -60 -20 0 0 以 2/3为轴心项，换基迭代得全部的检验数 b 0，得到最优解为（5/6,2/3,0） 。（3）对偶模型化为标准型得6,5432,10803yst.342max141 652iyyyyi初始单纯形表为bX-60 1x-40 2-80 3x0 40 5x0 6b1x1 1/4 3/4 0 -1/4 0 140 -5/4 5/4 1 -3/4 0 16x0 2/
34、3 -1/3 0 -1/2 1 -10 -25 -35 0 -15 0 bX-60 1x-40 2-80 3x0 40 5x0 6b1x1 0 4/9 3/4 -1/12 -1/12 5/640 0 55/36 1 -3/4 -5/6 11/62x0 1 2/9 0 1/3 -2/3 2/30 0 -260/9 0 -20/3 25 By1224y340y560yb43 4 3 1 0 0 605y2 1 2 0 1 0 4061 3 2 0 0 1 80以 3为轴心项，换基迭代得以 3/4为轴心项，换基迭代得以 2/3为轴心项，换基迭代得 2 4 3 0 0 0 By1224y340y560yb11 / 2/3 1/3 0 0 205y0 -5/3 2/3 -2/3 1 0 060 5/3 4/3 -1/3 0 0 600 4 /3 5/3 -2/3 0 0 By1224y340y560yb3/4 1 1/2 1/4 0 0 155y5/4 0 2/ -1/4 1 0 256-5/4 0 1/2 -3/4 0 0 35-4/3 0 1 -1 0 0 By124y340y560yb21/3 1 0 1/3 -1/3 0 20/33y5/6 0 1 -1/6 2/3 0 50/36-5/3 0 0 -2/3 -1/3 0 85/3-13/6 0 0 -5/6 -2/3 0
