1、- 1 -第二十四章 圆单元要点分析教学内容1本单元数学的主要内容（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 圆和圆的位置关系（3）正多边形和圆（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着
2、良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目标1知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念， 探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、
3、推理证明等活动 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系， 使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力- 2 -（5）探索弧长、扇形的面积、 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材
4、，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望教学重点1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点确定一个圆6直线 L 和O 相交 dr 及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的
5、连线平分两条切线的夹角及其运用10两圆的位置关系：d 与 r1 和 r2 之间的关系：外离 dr1+r2；外切 d=r1+r2；相交 r 2-r1dr 1+r2；内切 d=r 1-r2；内含 dr 2-r111正多边形和圆中的半径 R、边心距 r、中心角 之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目12n的圆心角所对的弧长为 L= ，n的圆心角的扇形面积是 S 扇形 = 及其运用这两1802360nR个公式进行计算13圆锥的侧面积和全面积的计算教学难点1垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题2弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导， 并运用它解决一些实际问题3有关圆周角的定理的探
6、索及推导及其它的运用4点与圆的位置关系的应用5三点确定一个圆的探索及应用- 3 -6直线和圆的位置关系的判定及其应用7切线的判定定理与性质定理的运用8切线长定理的探索与运用9圆和圆的位置关系的判定及其运用10正多边形和圆中的半径 R、边心距 r、中心角 的关系的应用11n 的圆心角所对的弧长 L= 及 S 扇形 的公式的应用180n2360nR12圆锥侧面展开图的理解教学关键1积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、 性质、“三个”位置关系并推理证明等活动2关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高3在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想
7、方法， 发展学生有条理的思考能力及语言表达能力241 圆第一课时教学内容1圆的有关概念2垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重难点、关键1重点：垂径定理及其运用2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问
8、一、两个同学）1举出生活中的圆三、四个2你能讲出形成圆的方法有多少种？- 4 -老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径以点 O 为圆心的圆，记作“O”，读作“圆 O”学生四人一组讨论下面的两个问题：问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结（1）图上各点到定点
9、（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的图形同时，我们又把连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1 线段 AB；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作 ”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”大于半圆的弧（如图所示 叫做优弧， 小于半圆的弧（如图所示） 或ACBA叫做劣弧B BA CO圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（学生活动）请同学们回答
10、下面两个问题1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流- 5 -（老师点评）1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径3我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M BA CDOM（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD（
11、2）AM=BM， ， ，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分 及 ACBAABD这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CDAB 垂足为 M求证：AM=BM， ， .ACBAD分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等因此，只要连结 OA、OB 或AC、 BC 即可证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB在 RtOAM 和 RtOBM 中OABMRtOAMRt OBMAM=BM点 A 和点 B 关于 CD 对称BA COM- 6 -CEDO FBA CEDONMO 关于直径
12、 CD 对称当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， 与 重合， 与 重合ACADB ，ACBD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（本题的证明作为课后练习）例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 ，点 O 是 的圆心， 其中ACDCD=600m，E 为 上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m ，求这段弯路的半径ACD分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握解：如图，连接 OC设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）mOECDCF=
13、CD= 600=300（m）12根据勾股定理，得：OC 2=CF2+OF2即 R2=3002+（R-90） 2 解得 R=545这段弯路的半径为 545m三、巩固练习教材 P86 练习 P88 练习四、应用拓展例 2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5 所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m是否需要采取紧急措施， 只要求出 DE 的长，因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R解：不需要采取紧急措施设 OA=R，在 RtAOC 中， AC=30，
14、CD=18R2=302+（R-18） 2 R2=900+R2-36R+324解得 R=34（ m）连接 OM，设 DE=x，在 RtMOE 中，ME=16- 7 -342=162+（34-x） 2162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0解得 x1=4， x2=64（不合设）DE=4不需采取紧急措施五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆的有关概念；2圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴3垂径定理及其推论以及它们的应用六、布置作业1教材 P94 复习巩固 1、2、324.1 圆(第 2 课时)教学内容1圆心角的概念2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在
15、同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的
16、圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用2难点与关键：探索定理和推导及其应用教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题- 8 -已知OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 BAO老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30，就是旋转角BOB=30二、探索新知如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 BAO（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别作相等的圆心角AOB 和A OB 将圆心角AOB 绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ BBAAO= ，AB=A BA理由
17、：半径 OA 与 OA重合，且AOB=AOB半径 OB 与 OB重合点 A 与点 A重合，点 B 与点 B重合 与 重合，弦 AB 与弦 AB重合B- 9 - = ，AB=A BA因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：如图 1，在O 和O中， 分别作相等的圆心角AOB 和AOB 得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合O(O)OOB ABBO(O)OOB AAA(1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说
18、你的理由？我能发现： = ，AB=A /B/A现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等（学生活动）请同学们现在给予说明一下请三位同学到黑板板书，老师点评例 1如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OE AB，OF CD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD，那么 OE 与 OF 的大小
19、有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ 为什么？ABCDAOB 与 COD 呢？- 10 -OBA CE DF分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在 RtAOE 和 RtCOF 中，又有 AO=CO 是半径， RtAOERt COF ，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到 =ABCD解：（1）如果AOB=COD，那么 OE=OF理由是：AOB=CODAB=CDOEAB，OFCDAE= AB，CF= CD12AE=CF又OA=OCRtOAERtOCFOE=OF（2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， = ，AOB=CODABCD理由是：OA=OC， OE=OFRtOAERtOCFAE=CF又OEAB，OFCDAE= AB，CF= CD12AB=2AE，CD=2CFAB=CD
