1、求直线方程的若干方法例题讲评1、直接法例 1. 直线 在 轴上的截距为 3，且倾斜角 的正弦值为 ，求直线ly 45的方程。l解： ，4sin5cos5直线的斜率 3k故所求直线 的方程为 43yx即 或4390xy90x评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法。同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在 内，从而 有两个解。0,)cos2、公式法例 2. 过点 P（2，1）作直线 交 轴、 轴正方向于 A、B，求使lxy的面积最小时的直线 的方程。AOBly B P(2,1) O A x 解：设所求直线方程为 ，则由直线 过点 P（2，1），得xayb1l
2、210abb()，- 1 -即 ，由 ，得ba2b0a2所以 SAOB1224()a1224()a12(2)当且仅当 ，即 时， 取得最小值为 4a4ab42， SAOB此时所求直线方程为 ，即xy1xy40评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。这里选择了截距式方程。3、直线系法直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系它的方程叫做直线系方程例 3. 求过 与 的交点且与直线lxy1230： lxy23420： 平行的直线方程。40xy解：设 与 交点的直线方程为l12()()(*)23420xy即 因为所求直线与 平行所以 ，解
3、得2341149- 2 -将 代入(*)，得149所求直线方程为 60xy4、向量法例 4. 求与直线 夹角相等，llxy123471560： ， ： 且过点（4，5）的直线 的方程。l解：设所求直线 l 的方程为 yk4()即 kxy50其方向向量为 (1)k，又直线 与 的方向向量分别为 与l12 (43)，a(512)，b由已知条件及向量内积公式，得 |ab即 |43512k解得 或97故所求直线 方程为 或l9710xy7930xy评注：利用 |cos|ab5、相关点法利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法。例 5. 求直线 关于直线 的对称直线方程。lxy： 20lxy： 30解：设
4、所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线 的对称l点为 ，则()0，- 3 -32301000xy解得xyy04539因为 在直线 上()x， xy20所以 y02()()4539543xxy即 720y6、参数法例 6. 过点 P（3，0）作一直线，使它夹在两直线 和lxy120： 之间的线段 AB 恰被 P 点平分，求此直线方程。lxy2： 解：设所求直线分别与 交于 A、Bl12、因为 A 在 直线上l1故可设 t()， 2又 P（3，0）为 AB 的中点由中点坐标公式，得 Btt()62，由 B 在 上，得l2)30t解得 ，即t13A(1，由两点式得所求直线方程为 8240x
5、y7、结构分析法例 7. 若两条直线 相交于点 P（1，2），lablaxby112233： ， ：试求经过点 与 的直线方程。A()， B()2，解：将 与 的交点 P（1，2）代入 与 的方程，l12 l12- 4 -得 ，ab123ab23根据以上两式的结构特点易知：点 与 的坐标都适合方程A()1， B()2， xy23故经过点 A、B 的直线 的方程为l练习提高1、求满足下列条件的直线方程:(1)求通过点(1,-2),且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线;(2)已知直线 l1:2x+y-6=0 和点 A(1,-1),过点 A 作直线 l 与 l1 交于 B 点,且|AB|=5
6、,求 l 的方程.【规范解答】 (1)由题设，设所求直线方程为 ,由已知条件得:byax解之得: ,故所求直线方程为: x+y+1=0 或 x-y-3=0.|2ba31ba或(2)过点 A(1,-1)与 y 轴平行的直线为 x=1,解方程组 ,求得 B 点坐标为(1,4), 恰0621好满足|AB |=5,故 x=1 符合题意.又设过点 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为:y+1= k(x-1),解方程组 得两直)1(062xky线交点为惠生活 观影园 爱尚家居 嘟嘟园 迅播影院 www.gvod.us 请支持我们，会有更多资源给大家B 解之:k=- ,2251417)2(4,2
7、7 kkkk 43y+1=- (x-1).3综上讨论知:所求的直线方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.2、 过点 P(2,1)作直线 l 与 x 轴、y 轴正半轴交于 A、B 两点,求AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程.【解前点津】 因直线 l 已经过定点 P(2,1),只缺斜率，可先设出直线 l 的点斜式方程,且易知 k0 且 1-2k0 故 k0,b0,点 P(2,1)在直线 l 上,故1byx- 5 -,由均值不等式:1= 当且仅当 ,即 a=4,b=2 时12ba ,8212abba得 21ba取等号,且 S= ab=4,此时 l 方程为 即: x+2y-4=0.,4yx【
8、解后归纳】 解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，3、过点 A(-1,- )作圆 x2+y2=1 的切线，求切线方程.3【解前点津】 因点斜式方程 y+ =k(x+1)不包括垂直于 x 轴的直线,故一定要考虑垂直于3x 轴的直线是否符合题意.【规范解答】 因 ,所以点 A 在圆外，故过 A 的切线有两条.1)(122当过点 A 且垂直于 x 轴时,直线方程为: x=-1,易知适合条件.当过点 A 且不垂直于 x 轴时,不妨设切线方程为:y+ =k(x+1).3因圆心 O(0,0)到直线 y+ =k(x+1)的距离等于半径,故由 .3 31|2k此时直线方程为 y+ = ,即:x - y-2=
9、0.)1综上讨论得,所求的直线方程为 x=-1 或 x- y-2=0.3【解后归纳】 求圆的切线方程，即可用几何法( 即圆心到切线的距离等于半径),又可用“代数法”(即利用判别式 =0).4、设直线 l 的方程为:(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程;(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.【解前点津】 l 不经过第二象限的充要条件是直线 l 在 y 轴上的截距不在 x 轴上方且斜率为非负实数值.【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0,当然相等,故此时a=2,方程为:3x+y =0;当 a2 时,由截距相等得: ,方程为: x+y+2=0.021aa(2)由 k0 且 b0 得 即为所求范围.10)(
