伸缩变换观点下的椭圆.pdf

1、天 津 市 第 一 二 中 学1利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题作者：赵呈海天津市第一二中学指导教师：马萍天津市第一二中学严虹天津市第一二中学纪洪伟天津市第一二中学张倩天津市第一二中学天 津 市 第 一 二 中 学2利 用 伸 缩 变 换 解 决 圆 锥 曲 线 中 的 线 性 问 题赵 呈 海 天 津 市 第 一 二 中 学摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域

2、间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。我 们 在 初 中 数 学 就 开 始 研 究 平 面 几 何 的 相 关 内 容 ， 这 是著 名 的 “ 欧 几 里 得 公 理 几 何 体 系 ” 的 重 要 组 成 部 分 。 对 于 高度 对 称 的 几 何 图 形 （ 例 如 ： 圆 ） ， 我 们 选 用 公 理 化 证 明 会 显得 十 分 优 美 。 但 是 ， 随 着 几 何 图 形 的 变 化 ， 其 “ 几 何 特 征 ”开 始 降 低 。 所 以 ， 对 于 圆 锥 曲 线 的 相 关 问 题

3、如 果 再 去 使 用 公理 化 方 法 证 明 就 会 较 为 复 杂 。 于 此 ， 利 用 笛 卡 尔 的 坐 标 方 法 ，反 而 会 显 得 简 单 、 明 晰 。 这 就 是 解 析 几 何 （ 坐 标 几 何 ） 。解 析 几 何 ， 高 考 永 恒 的 重 点 、 难 点 。 圆 锥 曲 线 作 为 高 中解 析 几 何 的 重 要 组 成 部 分 ， 在 高 考 中 有 着 举 足 轻 重 的 地 位 。圆 锥 曲 线 的 核 心 难 点 可 以 大 致 分 为 两 点 ： 第 一 ， “ 数 ” 与 “ 形 ”之 间 的 “ 沟 通 、 翻 译 ” 能 力 ； 第 二 ，

4、计 算 。天 津 市 第 一 二 中 学3“ 数 、 形 翻 译 ” 的 能 力 是 解 析 几 何 的 核 心 素 养 。 这 是 因为 ， 归 根 结 底 ， 解 析 几 何 还 是 在 研 究 几 何 问 题 。 在 利 用 坐 标方 法 解 决 几 何 问 题 时 ， 我 们 一 般 要 把 几 何 关 系 “ 翻 译 ” 成 代数 的 语 言 。 这 种 “ 翻 译 ” 能 力 的 建 立 ， 要 求 学 生 对 坐 标 系 有深 刻 的 理 解 ， 灵 活 运 用 代 数 与 几 何 间 的 各 种 “ 桥 梁 ” 将 二 者建 立 联 系 、 相 互 表 达 。 在 高 中 范

5、围 内 ， 学 生 可 以 通 过 练 习 不断 培 养 这 种 能 力 ， 逐 渐 丰 富 “ 翻 译 ” 的 经 验 。坐 标 方 法 固 然 优 点 重 重 ， 但 是 在 使 用 “ 代 数 化 ” 思 路 解决 问 题 的 程 序 中 无 法 避 免 地 会 伴 随 计 算 的 问 题 。 计 算 往 往 是圆 锥 曲 线 这 一 难 点 的 切 实 所 在 。 其 实 ， 如 果 单 纯 只 是 运 算 的“ 量 大 ” 还 是 可 以 通 过 高 强 度 的 训 练 得 到 有 效 改 善 。 但 对 于一 些 题 目 ， 即 便 是 计 算 能 力 非 常 出 色 的 学 生

6、也 需 要 消 耗 大 量的 时 间 ， 甚 至 反 复 多 次 才 能 得 解 。 这 是 由 于 “ 算 理 不 明 ” 所致 ， 如 果 学 生 选 择 的 计 算 策 略 不 合 理 ， 就 会 走 入 死 胡 同 ， 将运 算 变 成 了 硬 解 ， 即 便 耗 费 大 量 努 力 ， 最 终 还 是 无 法 得 解 。可 令 人 烦 恼 的 ， 许 多 二 次 曲 线 中 的 计 算 涉 及 “ 算 理 ” 问 题 ，然 而 ， 对 于 明 晰 “ 算 理 ” 的 培 养 ， 绝 不 是 一 朝 一 夕 所 能 够 完成 的 小 工 程 ， 那 需 要 绝 对 大 量 的 经 验

7、积 累 和 一 定 程 度 的 数 学天 赋 。 显 然 ， 仅 凭 高 中 教 学 来 解 决 这 个 问 题 是 不 现 实 的 。为 应 对 高 考 圆 锥 曲 线 计 算 难 的 问 题 ， 笔 者 试 图 在 解 析 几何 的 相 关 领 域 寻 找 一 种 较 为 普 适 的 方 法 ， 从 而 系 统 地 解 决 一类 问 题 。 于 是 发 现 ， 利 用 平 面 伸 缩 变 换 是 不 错 的 处 理 方 法 。天 津 市 第 一 二 中 学4方 法 对 照 ： 43234 3443 234,34342 321121 34 124 34 8 0124834134 , 134;

8、 3 23101201622 2 2221 22121221 21 22222 212122 2221 22122222 2211 222222 OBOAOBOA AOB kkmk m kmxx mxxkmxxkxx yykk mttkkmkm xxmxxkkmS kmxxk kmxxx mkmxxkmkxy yx yxByxAII yxCIOB OAAOBOII CI BA BACmkxylx PbabyaxC ， 得 ：由 令解 得 ：令 ：由 韦 达 定 理 ：联 立 ： 设常 规 方 法 ： ；：椭 圆 方 程略解 ： 不 是 请 说 明 。？ 若 是 ， 求 出 该 定 值 ；的 斜

9、 率 之 积 是 否 为 定 值 与， 试 判 断 直 线的 面 积 为为 坐 标 原 点 ， 若 设 的 方 程 ；求 椭 圆两 点 均 不 在 坐 标 轴 上、 两 点、交 于与 椭 圆：轴 ， 直 线的 连 线 垂 直 于 与 椭 圆 右 焦 点，上 一 点：已 知 椭 圆新 华 中 学 校 模例 ：显 然 ， 方 法 1 计 算 复 杂 ， 对 “ 算 理 ” 的 要 求 不 好 拿 捏 。必 修 四 学 习 三 角 函 数 时 我 们 曾 接 触 伸 缩 变 换 ， 这 里 不 妨 试 试 。天 津 市 第 一 二 中 学5 4343 1 1sin212sinsin21 12132

10、,1: 134,322 22 22 BOOAOBAO BOOABOA AOBBOA kkkk kkBOOA BOOAS rBOOASS BBAAyxCyxCyy xx即 ： ， 在 单 位 圆 内 ： ， 对 应 地对 应 地 变 换 为 单 位 圆 ：将 椭 圆：由 平 面 伸 缩 变 换伸 缩 变 换 ： 不 难 发 现 ， 利 用 平 面 伸 缩 变 换 可 以 将 椭 圆 “ 还 原 ” 成 圆 ，这 样 就 提 高 了 它 的 “ 几 何 特 征 ” ， 从 而 使 问 题 变 得 更 加 清 晰 ，执 行 起 来 也 更 加 简 便 ， 有 效 地 “ 回 避 ” 了 繁 杂 的

11、计 算 ， 从 解题 的 结 构 来 看 ， 这 无 疑 是 一 种 优 美 的 解 法 。为 了 完 善 利 用 伸 缩 变 换 解 题 的 结 构 体 系 ， 下 面 从 平 面 伸缩 变 换 的 定 义 ， 性 质 ， 适 用 条 件 ， 意 义 以 及 例 题 这 五 个 方 面逐 步 建 立 这 一 体 系 。1.伸 缩 变 换 ： I yxPyxPyy xx yxP 11 ,4-4 的 逆 变 换 ，表 示 变 换注 ： 变 换 缩 变 换 。坐 标 伸 缩 变 换 ， 简 称 伸为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的则 称 ，对 应 到 点的 作 用 下 ， 点：一 点 ， 在

12、变 换 任 意是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的： 设 点选 修定 义天 津 市 第 一 二 中 学62.伸 缩 变 换 的 性 质 ：区 别 于 平 移 变 换 这 一 类 刚 体 变 换 ， 伸 缩 变 换 会 改 变 几 何图 形 的 形 状 ， 但 其 仍 然 属 于 二 维 平 面 上 的 仿 射 变 换 ， 是 线 性变 换 （ 运 用 一 次 函 数 进 行 的 变 换 ） 的 一 种 5 ， 有 如 下 性 质 ：性 质 1（ 保 留 结 合 性 ） ： 曲 线 与 曲 线 上 任 意 一 点 ， 经 伸 缩变 换 后 ， 该 点 仍 在 对 应 的 曲 线 上 。性 质

13、2（ 保 留 平 直 性 ） ： 经 伸 缩 变 换 后 ， 曲 线 仍 是 曲 线 ，直 线 仍 是 直 线 ， 且 相 互 之 间 的 位 置 关 系 保 持 不 变 。性 质 3（ 保 留 平 行 性 ） ： 若 取 平 面 内 一 线 段 与 线 段 上 的 任一 定 比 分 点 ， 经 伸 缩 变 换 后 ， 该 点 仍 为 相 应 线 段 的 定 比 分 点 ，且 比 例 不 变 。 。， 则对 应 变 换 为任 一 直 线 的 斜 率 的 作 用 下 ， 平 面 上：在 变 换（ 斜 率 关 系 ） kkkk yy xx ：4性质 。， 则对 应 变 换 为任 一 图 形 的 面

14、 积 的 作 用 下 ， 平 面 上：在 变 换（ 面 积 关 系 ） SSSS yy xx：5性质 ABBA kxx yyk yxByxByxAyxAyy xx yxByxA 21 21 22221111 2211 , ,4性质 ，得： 由 伸 缩 变 换、证 明 ： 平 面 内 两 点天 津 市 第 一 二 中 学7 ABCCBA SACABCABAS CAACBAAByy xxACAB 则 ，得：由 伸 缩 变 换和 不 共 线 向 量证 明 ： 平 面 内 两 同 起 点以 三 角 形 为 例 22 ,5性质 1 注 ： 没 有 学 过 向 量 外 积 几 何 意 义 的 学 生 也

15、可 以 用 微 积 分的 思 想 （ 积 分 的 几 何 意 义 ） 理 解 性 质 5（ 以 椭 圆 为 例 ） ：倍 。的 面 积 也 变 为 原 来 的 ： 椭 圆根 据 乘 法 的 分 配 率 得 到累 加再 将 每 个 小 矩 形 的 面 积 倍 ，为 原 来 的将 每 个 矩 形 的 面 积 都 变：由 伸 缩 变 换 个 小 矩 形 的 代 数 和 ，椭 圆 的 面 积 等 于 这曲 边 梯 形 近 似 于 矩 形 趋 于 无 穷 大 时当个 曲 边 梯 形成证 明 ： 如 图 将 椭 圆 分 割 ，, n， ，n，n yy xx3.适 用 条 件 52 ：伸 缩 变 换 是 在

16、 二 维 平 面 上 的 线 性 变 换 ， 只 保 留 图 形 的 部分 性 质 。 因 此 ， 伸 缩 变 换 只 能 解 决 圆 锥 曲 线 中 的 线 性 问 题 ，如 ： 曲 线 （ 曲 线 与 直 线 ） 间 的 位 置 关 系 、 平 行 线 段 长 度 的 比例 关 系 、 斜 率 问 题 、 面 积 问 题 等 ； 而 对 于 非 线 性 问 题 （ 如 ：向 量 内 积 ） 则 无 法 使 用 此 方 法 。天 津 市 第 一 二 中 学84.意 义 ：在 解 决 椭 圆 中 的 线 性 问 题 时 ， 利 用 伸 缩 变 换 ， 能 够 将 椭圆 转 化 为 圆 ， 从

17、而 “ 还 原 ” 其 “ 几 何 特 征 ” 。 由 于 圆 具 有 较多 的 几 何 性 质 以 及 高 度 的 对 称 性 ， 利 用 这 种 方 法 往 往 能 够 使题 目 得 到 理 想 的 简 化 ， 以 至 于 大 部 分 问 题 可 以 直 接 在 圆 中 利用 几 何 方 法 得 解 ， 最 后 经 由 逆 变 换 将 结 论 回 归 到 原 坐 标 平 面上 ， 这 样 一 来 就 有 效 地 “ 回 避 ” 了 繁 琐 的 计 算 3 。5.例 题 ：例 1.（ 2017 天 津 南 开 三 模 ） 28222 ,221 .11 148222 ;148 222201 1

18、22 2222222222 SS DBCAS DCBAABCD DBCAkkyx yxyy xxII yxI ABCDabkkO BDACABCDIII babyax DBCABDAC 得 到 ，再 经 由 逆 变 换 形在 单 位 圆 中 ， 对 应 为 菱易 知 ， 四 边 形 ， 且对 应 为 单 位 圆 ： 的 作 用 下 ， 椭 圆 ：在 平 面 伸 缩 变 换 ：略 ； 椭 圆 的 标 准 方 程 为解 ： 的 面 积 为 定 值 。， 求 证 ： 四 边 形， 若 过 原 点、角 线的 顶 点 在 椭 圆 上 ， 且 对四 边 形求 椭 圆 的 标 准 方 程 ； ， 且 过 点

19、的 离 心 率 为已 知 椭 圆 天 津 市 第 一 二 中 学9例 2.（ 2017 天 津 五 校 联 考 ） 332 2190 2sinsin211 331 12123233 1134 32;21 .233 .3301:maxmax122222222 BAOOAB BAOBAOMO BANO SS SBOAOBOA BOABOABOAOSBOAO BAlkk klkkBANOOMNMM yxCyxC yOxyy xxxOyII eIOAB ABNNOMBA ClOCMIIIb babyaxC 可 得 ：再 经 由 逆 变 换 ，取 最 大 值，时 ，易 知 ， 当 ， 的 一 组 平 行

20、 直 线是 斜 率 为； 直 线则 斜 率 为， 设 直 线由 垂 径 定 理 知 ：三 点 共 线、， 易 知，对 应 到， ：对 应 到 单 位 圆：椭 圆 ，对 应 到 平 面：经 伸 缩 变 换将 平 面略 ； 离 心 率解 ： 面 积 得 最 大 值求 的 中 点 ，是 线 段， 且相 交 于 点两 点 ， 与 直 线、交 于 相与 椭 圆的 直 线上 ， 不 过 原 点在 椭 圆，若 点求 椭 圆 的 离 心 率 ；最 短 距 离 为 焦 点 的， 且 椭 圆 上 一 点 到 一 个已 知 椭 圆 天 津 市 第 一 二 中 学1 0例 3.（ 2017 天 津 河 北 三 模 ）

21、 2222 221sin sin2sin21 / 2,212;4 1242 124 .0, 01:49211 222222 121 222222 xylS SxylNOM NOMNOMNOMOS SSddAOO AOA AONMOAMN AAyxCyxCyy xxII yxCI lAMNII CI OAMNNMClA EFACFF babyaxCyxEAMN NMONMO NMONMAlOlA ：时 ，取 最 大 值得 ：由 逆 变 换 取 最 大 值时 ，：， 即易 知 ， 当对 应 到，：对 应 到 单 位 圆 ：的 作 用 下 ， 将 椭 圆：在 伸 缩 变 换 ；：略 ； 椭 圆 方

22、程 为解 ： 的 方 程求 直 线的 面 积 取 到 最 大 值 时 ，当 的 方 程 ；求 椭 圆 两 点 ， 且、于交 椭 圆三 点 共 线 ， 直 线 ， 且在 第 一 象 限 的 交 点 为且 与 椭 圆、左 、 右 焦 点 的经 过 椭 圆：已 知 圆 天 津 市 第 一 二 中 学1 1例 4.（ 2017 天 津 一 中 四 月 考 ） 是 椭 圆 上 位 于圆 的 左 、 右 顶 点 ， 是 椭、如 图 ，垂 直 的 弦 长 为 ， 过 其 右 焦 点 与 长 轴离 心 率 为 的已 知 椭 圆 M BA babyaxG .123 01: 2222 . .,4,2121的 取

23、值 范 围实 数 ， 求， 若和的 面 积 分 别 为和 记 的 标 准 方 程 ；求 椭 圆 两 点交 于：与 直 线轴 上 方 的 动 点 ， 直 线 SSSSMCDMABII GI DCxlBMAMx ，单 位 圆 内则 ，设 ；： ：将：由 伸 缩 变 换 ：略 ； 椭 圆 的 标 准 方 程解 ： BMMAxy yxMCAOk xlxlyxG yxGyy xxII yxGICA ,1tan ,tan 2:4:1 14,2 ;140 0 0022 22 22 .310 0,22 1132 12 ,221,tan1tan3 20 0 20202000 02021 0102 ，义 易 知

24、：值 的 平 方 ， 根 据 几 何 意 连 线 的 斜 率与 点； 其 几 何 意 义 为 ： 点 整 理 得 ：结 合 Mx y yxxyx xySS ySxDCSDC天 津 市 第 一 二 中 学1 2例 5.（ 2015 十 二 区 县 二 模 ） 注 ： 图 见 下 页 ， 得 到经 由 逆 变 换，从 而令 故 ：；此 时 ， 取 最 大 值 ；处 时在； 由 图 可 知 ，结 合 ：由 伸 缩 变 换 三 点 共 线略 ； 离 心 率解 ： 方 程时 ， 求的 面 积 最 大 等 于， 当 三 角 形相 交 于 另 一 点 与 椭 圆的 直 线， 过 点， 若 点对 于 给 定

25、的 椭 圆 三 点 共 线 ；求 椭 圆 离 心 率 ， 并 证 明 满 足且 点上 下 顶 点 分 别 是别 为， 左 右 顶 点 分的 右 焦 点：已 知 椭 圆 12:,313: 121 1023 0:0123,21 132 93223321 ,2303:32 23,23 3,23,2;0,0,21 ;:134:,32 ;,;21.93,2, .,2, 0,011222222222222max xylxyl xylAQ cScdRAS cdcyxRAcRA SccQk ccRcaRcAaAac cyxEcycxEyy xxII DBPaceI lAQRQ ElAcaREII DBPI C

26、FPFbaPDCBA cFbabyaxE AQRRAQRQA RAQ RQARA 天 津 市 第 一 二 中 学1 3以 上 五 道 例 题 ， 均 是 天 津 近 三 年 模 拟 的 椭 圆 试 题 。 我 们通 过 对 这 些 试 题 解 法 的 改 进 ， 足 以 见 得 ， 利 用 伸 缩 变 换 将 椭圆 “ 还 原 ” 成 圆 的 方 法 优 美 、 明 晰 ， 百 试 不 厌 。 当 然 ， 伸 缩变 换 主 要 应 用 于 解 决 椭 圆 中 的 线 性 问 题 ， 不 过 ， 放 在 其 他 圆锥 曲 线 中 ， 伸 缩 变 换 则 是 可 以 通 过 变 化 曲 线 焦 点

27、 的 位 置 ， 从而 使 原 本 不 在 焦 点 上 的 点 或 者 是 不 通 过 焦 点 的 直 线 “ 归 位 ” ，使 其 与 焦 点 “ 结 合 ” ， 之 后 ， 就 可 以 借 助 圆 锥 曲 线 的 定 义 大大 降 低 题 目 难 度 ， 这 本 质 上 也 达 到 了 提 高 其 “ 几 何 特 征 ” 的目 的 。 （ 下 面 以 抛 物 线 为 例 ）例 6 1 . 21212, 20, 02 SSSSNAQ MAPQP pxNMANMA NMCpA ppxyC ， 求、的 面 积 分 别 记 作角 形 与 三， 三 角 形、垂 足 为做 垂 线 向 直 线、， 过

28、点且 两 点 ，、交 于的 直 线 与过 点 ，：如 图 ， 已 知 抛 物 线 天 津 市 第 一 二 中 学1 421212 22 214124 4.4 2:2 SSQNAN PMAMSSQN PMAN AM ANQNAMPMxpyC pxxpyCA px pxAAxpyC pxyCyy xx ， 则所 以 ， ，：的 准 线 ， 那 么：线 是 抛 物的 焦 点 ， 直 线：是 抛 物 线易 知 ： 点应 直 线 仍 是 的 对； 直 线点 的 对 应 点 仍 是；：抛 物 线 对 应 为的 作 用 下 ， 抛 物 线：在 伸 缩 变 换 仍 然 显 得 灵 活 、 雅 致 。伸 缩 变

29、 换 解 决 这 个 问 题 法 ， 但 是 利 用角 代 换 是 个 很 成 熟 的 方求 最 值 的 问 题 ， 虽 然 三 是 个 二 元 函 数悉 一 些 经 典 模 型 。 下 面题 “ 转 化 ” 成 为 我 们 熟 帮 助 我 们 将 问其 实 是 “ 工 具 ” ， 借 以的 困 扰 。 可 见 伸 缩 变 换 回 避 ” 了 计 算的 层 面 ， 这 样 自 然 就 “利 用 几 何 知 识 解 决 问 题 而 “ 回 归 ” 到形 的 “ 几 何 特 征 ” ， 从在 于 有 效 地 “ 还 原 ” 图 目 的缩 变 换 “ 转 化 ” 的 根 本我 们 深 刻 发 现 ，

30、 利 用 伸由 例 .6例 7 . 225 52,22, ;222;5 522 52, .2,52, maxmax 2222 222222 OBOAzOBOA baAOAOBbaOA bazbazba babb aa aObbaba babaRba 共 线 且 同 向 时 ，与当 且 仅 当 上在 圆终 点，设 对 应 为目 标 函 数 对 应 为 圆作 用 下 ， 椭 圆：在 伸 缩 变 换 上 的 椭 圆 ， 其 表 示 平 面：我 们 记 曲 线 的 最 大 值求， 且已 知 天 津 市 第 一 二 中 学1 5参 考 文 献1 .胡 浩 鑫 .例 谈 坐 标 伸 缩 变 换 在 解 题

31、 中 的 应 用 J .数 学 与 研 究 ， 2011,7:62-64 2 .周 郑 鹃 .椭 圆 问 题 使 用 伸 缩 变 换 的 条 件 J .福 建 中 学 数 学 ， 2014,10:39-40 3 .刘 丽 霞 .利 用 伸 缩 变 换 求 解 有 关 椭 圆 的 问 题 J .上 海 中 学 数 学 ， 2014,1-2,：28-29 4 秦 庆 雄 ， 范 花 妹 .活 用 伸 缩 变 换 解 高 考 题 更 精 彩 J .数 学 教 学 研 究 ， 2014,8,33（ 8） ： 61-63 5 .同 济 大 学 数 学 系 . 线 性 代 数 M .高 等 教 育 出 版 社 ， 2014 第 6 版 :150-153天 津 市 第 一 二 中 学1 6致 谢感 谢 天 津 市 第 一 二 中 学 数 学 组 ： 马 萍 ， 严 虹 ， 纪 洪 伟 ，张 倩 老 师 对 我 研 究 的 帮 助 与 支 持 。感 谢 “ 高 中 数 学 解 题 研 究 会 ” 提 供 优 良 的 研 究 平 台 及 学术 氛 围 。感 谢 周 围 对 我 研 究 的 支 持 和 认 可 。