1、 1 系统的线性与时不变性的判定 倪育德 （中国民航大学 电子信息工程学院，天津 300300） 1 系统的功能 系统的功能就是对信号进行处理，也就是对信号进行某种或某些 运算 。 设某一系统的激励 为 e(t)，响应为 r(t)，则系统的功能就是 对激励 e(t)进行运算 ，从而给出 响应r(t)，我们将 这种运算用 Te(t)表示 ，即 r(t) Te(t)，用示意图表示如下。 同学们千万不要小看了我们引入的这个符号： r(t) Te(t)，下面将 会 看到，它会对我们判断系统的线性尤其是时不变性带来 非 常大的方便 ，避免错误的发生。 2. 实例 例 1： 对于某一连续时间系统， r(t
2、)=ae(t)，其中 e(t)为激励， r(t)为响应 ， a 为有界常数 （ a0） 。试判定系统是否为线性的、时不变的 。 解 设 r(t)=Te(t)=ae(t)，由此知道，系统对激励 e(t)的运算为：将激励 e(t)作为有界常数 a 的 指数 ，便得到输出 r(t)。 做这种题时，同学们一定要首先确定系统对 激励 e(t)进行了什么 运算。 1） 判断系统是否为线性的 设激励为 e1(t)、 e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)， 则 ： r1(t)= Te1(t)= ae1(t)， r2(t)= Te2(t)= ae2(t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t
3、)作为激励加入系统（ k1、 k2 为任意不为 0 的常数）， 系统的响应为 Tk1e1(t)+ k2e2(t)，则 Tk1e1(t)+ k2e2(t)= ak1e1(t)+ k2e2(t) 而 k1r1(t)+ k2r2(t)= k1ae1(t)+ k2 ae2(t) 可见 Tk1e1(t)+ k2e2(t) k1r1(t)+ k2r2(t) e(t) r(t)=Te(t) T 2 系统为非线 性的。 2) 判断系统是否为时不变的 将 e(t t0)作为激励加入系统（ t00）， 系统的响应为 Te(t t0)，则 Te(t t0) ae (t-t0) 而 r(t t0) = ae (t-t
4、0) 可见 Te(t t0) r(t t0) 系统为时不变的。 例 2： 某一系统的激励为 e(t)，响应为 r(t)， r(t)=e(1t)，判断该系统 是否为线性的、时不变的。 解 设 r(t)=Te(t)= e(1t)，由此知道， 系统对激励 e(t)的运算为： 先将激励反褶，再将反褶的信号往左 移动 1 个单位。 1）判断系统是否为线性的 设激励为 e1(t)、 e2(t)时，系统的响应分别为 r1(t)和 r2(t)，则： r1(t)= Te1(t)= e1(1t)， r2(t)= Te2(t)= e2(1t)。现将 k1e1(t)+ k2e2(t)作为激励加入系统（ k1、 k2
5、为任意不为 0 的常数），系统的响应为 Tk1e1(t)+ k2e2(t)，则 Tk1e1(t)+ k2e2(t)= k1 e1(1t) k2 e2(1t) 而 k1r1(t)+ k2r2(t)= k1 e1(1t) k2 e2(1t) 可见 Tk1e1(t)+ k2e2(t)= k1r1(t)+ k2r2(t) 系统为 线性的。 2) 判断系统是否为时不变的 将 e(t t0)作为激励加入系统（ t00），系统的响应为 Te(t t0)，则 Te(t t0) e( t+1 t0) 而 r(t t0) = e1 (t t0)= e( t+1+t0) 可见 3 Te(t t0) r(t t0)
6、系统为时 变的。 注： 有不少同 学不能理解 Te(t t0) e( t+1 t0)这一步 ，往往认为 激励 e(t t0)时的响应 为e(1t+t0)，从而得出“ 系统为时不变 ”的错误结论。 如果我们认为“系统就是对激励进行运算”， 则就 很好理解 Te(t t0) e( t+1 t0)： 对于激励 e(t t0)， e(t t0)的 反褶 信号为 e( t t0)，再 往左移动 1 个单位 ，则得信号 e( t+1 t0)，这就是系统的响应。 从上述两例 也 可以看出，系统的线性与时不变性 没有任何必然 的联系 。线性系统既可以是时不变的，也可以是时变的。 因为“信号与系统 ”课程研究的对象是“线性时不变（ LTI）”系统，致使 有些 学生认为线性系统一定是时不变系统。
