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1、21世纪全国高校教学规划教材 21世纪全国高职高专物流类规划教材 数 学 方 法 论 问题解决的理论 主 审 张政兴 张恒杰 王亚辉 编 著 詹捍东 边 江 付淑文 副主编 参 编 王劲羽 李艳霞 于凤博 等 编 李 磊 张 军 内 容 简 介 本书是作者根据在长期教学和科研实践中积累的对数学史、数学思想方法研究的经验和体会，并在作 者授课讲义的基础上编写的。在编写的过程中，作者力求使教材符合高师培养目标，使教材突出师范性的 特点，反映国内外在数学方法论研究上的最新成果，体现数学方法论与数学哲学、数学史研究互相结合的 重要特点。 本书内容包括了提出数学猜想的一般方法、数学模型方法、公理化方法和

2、结构方法、化归方法以及数 学美学方法等数学中常用的思想方法。书中还融入了数学历史、数学文化的教育。 本书可作为数学与应用数学专业（师范类）相应课程教材，也可作为普通高等院校素质教育选修课教 材及在职教师继续教育相应课程教材。 图书在版编目(CIP)数据 数学方法论问题解决的理论/王亚辉编著. 北京：北京大学出版社，2007.12 (21世纪全国高校数学规划教材) ISBN 978-7-301-12816-9 . 数 . 王 . 数学方法方法论高等学校教材 . 01-0 中国版本图书馆 CIP数据核字（2007）第 155200号 书 名：数学方法论问题解决的理论 著作责任者：王亚辉 编著 责任

3、编辑： 袁玉明 黄庆生 标准书号： ISBN 978-7-301-12816-9/O0731 出 版 者：北京大学出版社 地 址：北京市海淀区成府路 205号 100871 电 话：邮购部62752015 发行部62750672 编辑部62765126 出版部 62754962 网 址：http:/ 电子邮箱： 印 刷 者： 发 行 者：北京大学出版社 经 销 者：新华书店 787毫米980毫米 16开本 10.5印张 230千字 2007年 12月第 1版 2007年 12月第 1次印刷 定 价：24.00元 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。 版权所有，侵权必究 举

4、报电话：010-62752024 电子邮箱：fdpup. pku. edu. cn 前 言 数学方法论课程是根据专业培养目标为数学与应用数学(师范类)专业四年制本科 生开设的，属于数学教育专业的专业课程中的重要课程之一，是一门以数学史为知识背景， 以讲授数学方法论为重点内容的专业课程。 在对课程现状进行综合分析以及在同类院校数学教育专业开设数学方法论课程的 调研的基础上，作者认为教材建设是课程建设中极为重要的环节之一，要搞好课程建设， 教材建设是当务之急，并在课程建设规划中将编写数学方法论课程教材列为课程建设 的重要项目之一，并认为编写的教材在课程教学中至少要起到以下三方面的作用。 (1) 它

5、是学生理解、掌握数学思想方法的主要素材，这一作用对培养数学专业(师范类) 学生是非常重要的，是专业素质的重要内容。教材内容应结合有关数学史料和数学发展史 上的一些重大问题的解决向学生介绍宏观及微观上的数学方法，探讨其产生和发展规律。 使学生深刻理解数学方法的实质及其思想方法，掌握数学思想方法，从而培养学生的数学 能力，为他们今后从事数学教育工作打下扎实的专业基础。 (2) 它是学生培育理性思维的重要载体，经过十几年的教学实践证明，数学方法论 的课程内容不但不是脱离实际的无用理论，而是源于实际，又指导实际的一种思维创造。 这种理性思维的训练，其作用是其他课程难以替代的。教材内容应通过提出、分析和

6、解决 一些比较综合性的典型问题来给学生以示范，让学生在对范例的理解和思考中进行学习， 引导他们去分析、去提出问题、去研究、去创新，教会他们如何思考和分析，以培养他们 分析问题、解决问题的能力，起到启迪悟性，挖掘潜能的效果。 (3) 它是学生接受美感熏陶的一条途径，随着人类文明的发展和科学的进步，数学美 也是人的审美素质的一部分，这一事实也逐渐为人们所认识。实际上数学为之努力的目标： 将杂乱整理为有序，使经验升华为规律，寻求各种物质运动的简洁统一的数学表示等，都 是数学美的体现，也是人类对美感的追求。这种追求对一个人精神世界的陶冶起着潜移默 化的影响，而且往往是一种创新的动力。教材内容应充分体现

7、数学美的客观内容以及美的 追求对于数学发展的促进作用。 通过多年的教学实践，特别是近 5 年的教学实践以及学生对课程的反馈意见，我们认 为数学方法论课程应是一门以数学史为知识背景，以讲授数学方法论为重点内容的专 业课程。课程对学生深刻理解数学思想方法的实质及其思想方法，并在一定程度上领略数数学方法论问题解决的理论 II 学方法以及数学的美感，领略数学家们对数学的发展所做出的艰辛劳动和重大贡献；对培 养学生的数学能力，提高学生的数学素质有着重要意义，为他们今后从事中学数学教育工 作打下扎实的专业基础，对其今后的成长都会产生深远的影响。 本书是作者根据在长期教学和科研实践中积累的对数学史、数学思想

8、方法研究的经验 和体会，并在作者授课讲义的基础上编写的。在编写的过程中，作者力求使教材符合高师 培养目标，使教材突出师范性的特点，反映国内外在数学方法论研究上的最新成果，体现 数学方法论与数学哲学、数学史研究互相结合的重要特点；力求使教材内容作为美育的一 种自然载体，培养学生欣赏美和创造美的能力，使学生体会到数学的活力，培养他们对数 学的兴趣及研究能力。 在编写本书的过程中，参阅了许多文献资料，在此对本书参阅的有关文献资料的作者 表示崇高的敬意和谢忱！在本书的出版过程中，得到了江西科技师范学院教务处、系领导 及同行的大力支持，在此向他们表示衷心感谢。 在编写本书的过程中，虽主观力求完善，但鉴于

9、作者的水平和能力，教材中难免会有 不少缺点和错误，恳请同行和读者批评赐教。 本书的出版获江西科技师范学院教材出版基金资助。 王亚辉 2007年 1 月 II 目 录 第1章 绪论 1 1.1 宏观的数 学方法论与微观的数学方法论 1 1.2 研究数学 方法论的意义和目的 2 1.3 数学方法 伴随数学问题的解决而产生 3 1.4 数学方法 论的文化教育功能 8 第 2 章 数学中使用的一般科学方法 13 2.1 数学中的 观察与实验 13 2.2 数学中的 比较与分类 19 2.3 提出数学 猜想的一般方法：归纳与类比 26 第3 章 数学模型方法 38 3.1 数学模型 的意义 38 3.2

10、 数学模型 的类型 40 3.3 数学模型 的构造 44 第 4 章 数学中的公理化方法与结构方法. 55 4.1 公理化方 法的历史概述 55 4.2 公理化方 法的逻辑特征、意义和作用 57 1. 公理化方法 的逻辑特征 . 57 2. 公理化方法 的意义和作用 . 59 4.3 几个典型 公理系统简介 59 1. 希尔伯特 几何基础的公理系统 . 59 2. 集合论公理 系统ZFC 公理系统 61 3. 自然数公理 系统. 64 4.4 数学结构 方法65 1. 结构方法简 述. 65 2. 数学结构简 介. 66 3. 同构、同态 及其方法论意义 . 71 数学方法论问题解决的理论 I

11、V 第5 章 数学中的化归方法 74 5.1 化归方法 的基本思想与原则 74 5.2 变换方法 79 5.3 一般化与 特殊化方法 85 5.4 逐步逼近 法 95 5.5 构造方法 100 5.6 RM 方法 . 107 I 第6 章 数学中的美学方法 114 6.1 数学美的 意义 115 6.2 数学中的 美学方法 118 1. 数学美的客 观内容及美的追求对于数学发展的促进作用 118 2. 对于数学美 的自觉追求的方法论意义 . 129 第 7 章 数学悖论与数学危机 136 7.1 悖论的定 义与起源 136 7.2 数学悖论 与三次数学危机 137 7.3 悖论的成 因与研究悖

12、论的重要意义 141 7.4 现代数学 基础研究中的三大学派 142 附录 数学思想方法的几次重大转折 147 参考文献 . 161 第1 章 绪 论 1.1 宏观的数学方法论与微观的数学方法论 “数学方法论”现今对于我国数学界特别是数学教育界已不是一个陌生的名称，然而， 大多数人却未必知道，这只是一个在中国学术界得到广泛应用的名词，或者说，这在很大 程度上是一个由我国学者首先加以应用的名词。从有关的材料看，徐利治教授在 1980 年出 版的浅谈数学方法论中首先采用了这样一个名词。他写道：“数学方法论是研究数学 中的发现、发明以及创造性活动的规律和方法。”其后，在 1983 年问世的数学方法论

13、选 讲中，徐利治教授又给出了如下的定义：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规 律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。”显然，与 1980 年的定义相比，后一定义包含了更加丰富的内容，徐利治教授还在数学方法论选讲中 提出了关于“宏观的数学方法论”与“微观的数学方法论”的区别：关于数学发展规律的 研究（如果撇开数学内在因素不提）属于宏观的数学方法论，关于数学思想方法以及对数 学中的发现、发明与创新等法则的研究则属于微观的数学方法论。 在 1987 年出版的中国大百科全书中对数学方法给出了如下定义：“用数学语言表 述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成

14、对问题的解释、判断和预 言的方法。” 事实上，在不同的场合人们是以从两种现有区别又有密切联系的含义来运用“数学方 法”这个词。例如，工程师会把它理解为数学模型方法与计算方法；科学工作者会把它理 解为描述客观规律，进行定量分析的工具；数学研究人员则常常把它与“单纯形方法”、 “有限元方法”、“差分方法”、“优化方法”等专业方法有机联系；而数学教师又多半 会把它看成是解题方法。 对数学方法的不同理解反映了数学这一科学门类应用广泛的特性。 数学方法体系同数学科学本身一样是极为多样的，与此相应的是大量不同的关于数学方法 的分类。譬如，在人们的实际活动的各个层次上，都需要用到数学方法和这种层次相对应，

15、数学方法也可以分为四个层次： （1）数学发展和创新的方法； （2）运用数学理论研究和表述事物的内在联系和运动规律的方法； （3）具有一般意义的数学解题的方法； （4）特殊的数学解题方法。 数学方法论问题解决的理论 2 上述四个层次中数学发展和创新的方法应属宏观数学论的范畴，其余三个层次均属微 观数学方法论的范畴，我们将在以后各章内进行研究。 1.2 研究数学方法论的意义和目的 数学上的发现、发明主要是方法上的创新。典型例子之一是伽罗瓦（Galois）开创 了置换群的研究，用群论方法才确立了代数方程的可解性理论，彻底解决了一般形式的代 数方程根式解的这一难题；解析几何的创立实现了形、数沟通，数形

16、结合及其互相转化； 对应的思想方法解决了无穷集元素“多少”的比较问题，可以把无穷集按“势”（或基数） 分成不同的“层次”，等等。从中可体会到，有了方法才获得了“钥匙”，数学的发展绝 不仅仅是材料、事实、知识的积累和增加，而必须有新的思想方法的参与，才会有创新， 才会有发现和发明。因此，从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和 动力。也就是说，对于数学发展规律的研究及明确的认识，显然可以帮助我们去努力创造 有利于数学发展的良好环境。 从数学的教学工作而言，数学方法论事实上是对我们的数学教师提出了更高的要求， 即我们不仅应当注意具体的数学知识的传授， 而且也应注意数学方法论方面的训练

17、和培养。 应当强调的是，在这两者之间存在着相辅相成的辩证关系。例如，只有注意数学思想方法 的分析，我们才能把数学课讲活、讲懂、讲深。所谓“讲活”就是让学生看到活生生的数 学研究工作，而不是死的数学知识；所谓“讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容， 而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识， 而且也能领会内在的思想方法。另外，从数学方法论而言，只有与具体的数学知识的教学 密切相结合，并真正渗透于其中，才不会成为借题发挥、夸夸其谈、纸上谈兵的空头文章。 总之，学习和研究数学方法论将对提高数学教学质量、提高教师的数学教学学术水平起到 积极的作用。 从更为基本的

18、意义上说，数学学习不仅仅是指具体的数学知识的学习，而且也是指数 学方法的学习。自觉地以数学方法论来指导数学学习，也可收到更好的学习效果。即使大 多数学习者将来未必会用到任何超出中学水平的数学知识，但是数学的思想方法对他们仍 有着十分广泛的指导意义。另外，即使就未来的数学工作者而言，重要的问题显然也在于 如何去作出新的创造，而所学到的具体数学知识只是为这种创造性工作提供了一个必要的 基础。因此，我们从总体上说，应充分肯定数学方法论对于数学学习者的重要意义。 数学的思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导 学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是使学生提高思维水

19、平，真正懂得数 学的价值，建立科学的数学观念，从而做到发展数学、运用数学的重要保证。 第1章 绪论 3 数学作为一种科学语言及工具，将同语言、宗教和艺术一样，是人类文化影响全局的 部分。尤其是数学在自然科学、社会科学、行为科学等方面的广泛应用，使得现代科学的 任何部分几乎都已带上了抹不掉的数学印记。而数学思想方法，是铭记在人们头脑中起永 恒作用的数学的观念和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷、表达清楚、工作有条 理；使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍；使人得到文化方面的修养，从而更 好地理解、领略和创造现代社会的文明。 1.3 数学方法伴随数学问题的解决而产生 数学方法起源于实践活

20、动，它是伴随数学问题的解决而产生的。人类解决数学问题的 实践主要有两方面：一是生产实践和社会实践；二是科学研究，特别是数学研究的实践。 由于生产实践、社会实践和数学发展本身的需要，人们提出了许多数学问题，这些数学问 题或是一个个地被解决，或是因无裨益而被弃置并代之以新的问题。在解决这些层出不穷 的数学问题的过程中，绚丽多彩的数学方法就诞生了。 考察数学问题的源泉，在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验， 是由外部世界所提出的。 公元前 3000 年的埃及尼罗河流域，美索不达米亚的底格里斯河等流域，以及稍晚一些 的中国黄河流域、印度恒河流域，原始阶段都已结束，在这些大河流域文明中

21、，整数运算 法则在人们的生产实践和彼此的交往中都已经被发现。正像今天的儿童通过经验的方法来 学习这些规则一样，当原始的经济逐渐被农业所代替，由于修建灌溉系统、排水设施以及 管理的需要，测量耕地、计算收获物、征收赋税及营造建筑物的需要，观测天体、确定季 节的需要，一些几何问题、比例问题、分数问题等就被提了出来。 巴比伦人可能是在天文观察、土地丈量和贸易中形成了位值观念和六十进制数系，为 了计算快速、方便，他们制作大量数表，其中包括倒数表、平方表、平方根表和立方表， 形成了用表格进行数学计算的相当先进的数学方法。他们用楔形文字将结果刻在泥板上， 然后将泥板焙干。这些泥板除了数表之外，还记载了许多数

22、学问题，如目前保存在英国大 不列颠博物馆的 BMB901 号泥板，就记载着 24 个数学问题，其中有解一元二次方程的问 题，从这里我们可以看到人类最早的数学模型方法思想的萌芽。 早在公元前 5 世纪，希腊人已经形成了三个几何作图问题，被称为几何三大问题： （1） 倍立方问题，求作一立方体，使它的体积等于一已知立方体；（2）三等分角问题，求三等 分一已知角；（3）化园为方问题，求作一正方形，使它的面积等于一已知园的面积。其中 倍立方问题，据一则希腊传说讲，它与祭坛建造有关。万能的宙斯通过使者向狄拉斯的居 民宣告：为了帮助他们摆脱瘟疫，他必须建造一个比现有的祭祀阿波罗的祭坛大一倍的祭数学方法论问题

23、解决的理论 4 坛，建筑师们为这个问题而困惑，于是向数学家们讨教，这样，倍立方问题就被提了出来。 集古代数学问题之大成的，要数成书于公元 1 世纪前后的我国辉煌的数学文献九章 算术，九章算术中收集了方田（各种形状的田地面积计算）、粟米（各种粮食谷物 间的按比例交换）、商功（体积计算）、均输（按比例摊派赋税和徭役）、盈不足（根据 两次假设产生过剩或不足来求解的问题）、方程（求解一次方程组）、勾股（有关勾股测 量的各种问题）共 9 章计 246 个问题，几乎包括了当时社会生活的各个方面。九章算术 中的数学问题包括“题”、“答”和“术”三个部分。所谓“术”即是解决数学问题的数 学方法，它常常包含着解

24、决数学问题所应用的公式、定理或原理的叙述。处理方法上有一 题一术、一题多术与多题一术的不同，通过 246 个数学问题共介绍 202 个术，可以说九 间算术的全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解决为中心课题。九章算术是我国 古代传统数学中影响最深远的一部著作，从中我们可以看到我国古代数学是怎样从实际生 活中分析出数量关系建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳 问题而得到解决问题的数学方法。 与九章算术寻求解决实际问题的普遍方法形成鲜明对比的是，古希腊欧几里得几 何所追求的是逻辑的完美。成书于公元前 300 年的欧几里得原本实际上总结了公元前 600 年前到公元前 300 年

25、间流行在希腊帝国的很多几何学方面的成果。原本是一部在 定义、公设和公理基础上按演绎方法建立起来的命题系统，它包含 23个预备性定义，5 个 公设，5 条公理和 465 个命题。欧几里得原本的出现，标志着一种重要的数学方法 公理化方法的形成。2000 多年来，公理化方法对整个数学的发展乃至物理学、现代理论力 学及各门自然科学的发展都带来深远的影响。人们通过欧几里得几何的学习，受到了公理 化方法的训练，从而迈入科学的殿堂。爱因斯坦（AEinstein）就说过：“世界第一次目 睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以至它的每一个命题 都是绝对不容置疑的我这里说的是欧几里得几何。

26、推论的这种可赞叹的胜利，使人类 的理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。” 17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢的状态，这一“数学中的转折点是笛卡儿 （R Descartes）的变数，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法进入了数学。” （恩 格斯语）在笛卡儿的解析几何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不仅扩充了数学 的范围，而且为代数方法运用到几何乃至整个数学铺平了道路。1637年，笛卡儿的解析几 何作为“附录”发表在他的哲学著作方法谈之中，这对笛卡儿来说并非是一种偶然的 安排，因为在他看来，解析几何与其说是数学研究的新成果，还不如说是科学方法论的产 物。笛卡儿在确立一些方法论的

27、规则之后曾写道：“我除了按照这些规则小心地对我的一 切思想作普遍的引导之外，还不时留下一点时间，特别用来解决数学上的一些难题，有时 也用来解决一些别的科学上的难题，我在这一方面所做的许多工作，各位可以看到在 这本书里都加以阐述了。”意指方法谈的原本附有作者所研究的几何学、气象第1章 绪论 5 学、折光学等篇。 数学的发展一方面是由于对生产和社会生活中所提出的数学问题的研究和解决，如航 海、机械、力学、天文学的发展，促使牛顿（INewton）在考察变速运动中的位置、速度、 加速度的关系而创立微积分，从而导致函数研究中极限方法的完善；从研究博弈问题开始， 经历了两个世纪，雅各布伯努利（JakobB

28、ernoulli）终于将概率论发展成为数学的一个分 支，为自然科学和社会科学的研究提供了全新的或然方法；泰勒（B.Tayler）、丹尼尔伯 努利（DanielBernoalli）、欧拉（LEuler）等对声学，尤其是对音乐乐声的弦振动、声 音传播问题的研究，极大地刺激了微分方程的发展，至今微分方程反过来又成为研究孤立 等重大物理现象的工具。另一方面，由于数学发展内部矛盾运动中提出的问题的研究和解 决，更发展了抽象的数学方法，使数学成为脱离现实世界的高度抽象的形式化的事物。其 中典型的例子是，伽罗瓦（EGalois）关于代数方程可解性的研究，引进了群和域的概念， 进一步导致抽象代数的建立；关于欧

29、几里得原本第五公设的独立性在研究，鲍耶 (JBolyai)、罗巴切夫斯基、黎曼（GFBRiemann）相继建立了不同的非欧几何理论； 关于复数运算的研究，导致 1843 年哈密尔顿（WRHamilton）建立四元数代数，进一 步发展为超复数理论。希尔伯特(DHilbert)说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的 工具和更简单的方法和发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并 把陈旧的、复杂的东西抛到一边。” 在人们探索的众多的数学问题中，一个著名的例子是费马定理（The Fermat last Theorem）：“X n +Y n =Z n 对于不等于零的正整数 X、Y、Z，

30、当 nN，n3 时无解。300 多年以来，这个问题引无数英雄竞折腰。”在寻求这个问题的结论的证明过程中，涉及 L- 函数、群概形、伽罗瓦表示、形变理论等，远远地超出了费马大定理本身所在的初等数论 的范畴，特别是在数论方面得出许多新的数学方法，从而丰富和发展了代数数论。希尔伯 特风趣地说：“我们应当更加注意，不要杀掉这个经常为我们生出金蛋的母鸡。” 在数学的迅速发展之中，出现了不少在数学方法方面有研究的著名学者，如笛卡儿、 莱布尼兹（GWLeibniz）、欧拉、高斯（CFGauss）、庞加莱（JHPoincare）、 克莱因（F klein）和希尔伯特等，他们或发表过有关数学方法的精辟见解，或有

31、专门论著。 下面以欧拉所解决的两个数学问题为例， 说明这些著名学者是如何运用并发展数学方法的。 问题 1 自然数平方的倒数和。 求 22 2 11 1 1+ + + + + 23 n LL 这是一个曾使雅各布伯努利感到无能为力的数学问题，他曾经写道：“假如有人能够 求出这个我们直到现在还未求出的和，并能把它通知我们，我们将会感谢他。”对于这个 问题，欧拉发现了各式各样的表达式（定积分、级数），但没有一个能使他满意，他用这 些表达式之一，算出了一个有七位有效数字的和（1.644934），但这仅是一个近似值，而数学方法论问题解决的理论 6 欧拉的目的是求出准确值。最后类比方法帮助他得到了精彩的结果

32、。 设一个 2n 次代数方程 （） 24 2 01 2 (1 ) 0 nn n bb xb x b x + = L （ 0 0) b 无零根，将这个方程变形为 0 12 22 ( 1 )2 ( 2 ) (1 ) 0 n n nnn b bb b xxx + + = L 令这个方程的根为 1122 , nn , L 则有 0 222222 12 111111 () () () n b xxx 0 L = 即 22 0 222 12 1 (1 )(1 ) (1 ) 0 n xx b L = 与方程（*）比较 x 2 项的系数，有 1022 2 12 11 1 () n bb =+ + L 考虑方程

33、 0 Sinx = 即 357 0 1! 3! 5! 7! xxxx += L 这个方程有无穷个根：0， ， ，2 ， 2，3 ， 3，。去掉 x=0 这个根之 后，方程化为 246 10 3! 5! 7! xxx += L 将这个方程与方程（*）类比，得出 222 111 1 6( 2 )( 3 ) = + L 于是有 2 22 2 11 1 1 23 6 n += LL 对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新的并且还从来没有这样用过。” 欧拉的发现遭到当时数学界朋友的异议，但欧拉有理由坚信自己的发现。首先，数值 2 6 作为这个级数的和与从前估算的结果（1.644934）作比较，是完全一致

34、的，更进一步比 较 Sinx 作为无穷乘积中的系数，他发现了另一个值得注意的级数之和，即自然数四次方倒第1章 绪论 7 数之和 4 444 4 111 1 1 234 9 0 n += LL 他考察了这个数值，并且再一次发现了一致性。以后，欧拉又用这种方法重新发现了 著名的莱布尼兹级数的和： 11111 1 35791 1 4 += L 于是他更认为这种方法“现在可充分予以肯定了”。波利亚（GPolya）在 1953 年对 此曾作出如下评论：“欧拉成功的决定性因素是大胆，从严格逻辑角度来回顾，他的做法 是荒谬的。他把对某种情况来说尚未发明的法则应用到这种情况上了，即把关于一个代数 方程的法则应

35、用到一个非代数方程的情况中去。在严格的逻辑意义下欧拉的步骤是不允许 采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来做类比，而类比告诉他可以这样做。这 门新科学，在几年以后，他自己把它称为无穷分析。” 问题 2 哥尼斯堡七桥问题。 一条小河从东普鲁士的小城镇哥尼斯堡市中心穿过，河中有小岛 A 和 B，河上有七座 桥连接这两个岛的两岸 C、D（如图 1.1 所示）。问一个人能否每座桥恰好经过一次，既无 重复也无遗漏？ 为了解决这个问题，欧拉并没有亲自到哥尼斯堡去，而是运用他的智慧，把问题作抽 象化、数学化的处理：将两岸和小岛都缩成一点，将桥化为边、两个点之间有边连接，当 且仅当这两点所代表的地区有桥

36、相连接，于是这个问题就相当于这个图（如图 1.2 所示） 能否一笔画成。 A B C D B A C D 图1.1 图 1.2 1736 年，欧拉写了一篇名为哥尼斯堡的七座桥的文章，以否定的方式漂亮地解决 了这个问题。在这篇文章里欧拉写道，如果从某一点出发，到某一点终止，全图可以一笔 画出，那么中间每经过一点，总有画进那点去的一条线和从那点画出来的一条线，所以除 了起点和终点这两点以外，图中的每个点都应该和偶数条线相连。然而，现在图形中的四 个点都和奇数条线相连，这样，图形当然不可能一笔画出。 欧拉并没有满足于解答一个“哥尼斯堡七桥问题”，他继续钻研，终于发现了鉴别任 何一个图形能否一笔画出的

37、充要条件。这个定理被认为对图论的形成起了奠基作用。 数学方法论问题解决的理论 8 从以上两个例子可以看到， 作为 18 世纪的数学大师欧拉， 是怎样在解决数学发展过程， 以及在实际生活中提出来的数学问题时，创造性地建立数学模型，运用类比、猜想、化归、 演绎等数学方法，欧拉不仅出色地解决了这些问题，还丰富了数学方法宝库，为后人树立 了不朽的典范。 1.4 数学方法论的文化教育功能 数学作为一种文化，是教育的重要内容。从某种意义上说，数学教育就是数学文化教 育。1988 年，在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上，将数学文化教育列为大会的主 题之一，这足以见得国际数学教育界对数学文化教育的重视。

38、数学文化教育应是一种重视数学教育中的数学文化教育功能的教育。所谓文化教育功 能，是指不仅具有使学生形成和发展数学品质的数学素质功能，而且具有使学生提高社会 文化素养和科学素养等文化性数学素质功能。形成和发展数学品质是指：掌握基本数学基 本知识和运用这些知识的技能、技巧，培养数学三大能力运算能力、逻辑思维能力和 空间想象能力，培养数学发现能力。提高社会文化素养是指：提高辩证逻辑和论证能力， 熟悉中外数学史，提高数学审美能力。具备一般科学素养是指：具备数学常识、合情推理 的能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。 在现代社会中，数学教育的目的应包括：作为其他学科学习的工具、基础；用数学解 决实际问

39、题的知识、能力；发展人的智慧。这些包括运算能力和空间想象能力的培养，逻 辑思维的训练，创造性思维的训练，非智力因素的发展和科学文化素养的培养，等等。 数学教育要实现上述目标，在数学教学中光进行数学知识的学习是不够的，还应进行 数学思想方法的学习，即不是就知识学知识，而是让学生在数学知识的学习中了解其背后 的精神、思想和方法，受到智慧的启迪，得到数学文化的熏陶。一项来自美国的统计表明： 基本的数学思想和数学方法运用的频率最高，从而也最不易遗忘；因为不易遗忘，所以反 复被应用。古人云：“授人以鱼，不如授之以渔。”这句至理名言道出了数学思想方法学 习的重要性。日本数学教育家米山国藏说：“我搞了多年的

40、数学教育，发现：学生在初中、 高中等接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学， 所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯 有深深铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若 培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们受益终身。”由此他认为：“无 论是对科学工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和 方法，而数学知识只是第二位的。” 数学方法论中论述了数学知识背后的各种数学思想方法及其意义，可以为学生对数学第1章 绪论 9 思想方法的学习提供指导。特别是数学方法论

41、的文化教育功能，有利于提高学生的一般科 学文化修养，发展智慧。在高等师范院校数学系开设数学方法论课程，在职中学数学 教师自学数学方法论，都是有利于在数学教育中实现上述数学教育目标。 具体地说，数学方法论的文化教育功能有以下几个。 （1）训练思维的功能。 因为数学知识具有逻辑性，因此培养学生的逻辑思维能力通常是通过数学知识的学习 进行的。而通过数学思想方法的学习，则主要是训练学生的创造性思维、批判思维、科学 研究的各种思维方法。 数学方法论是从方法论的角度来讲数学，因此，它不是一般意义上的数学课。对于某 个具体的数学问题或数学道理也是一样，从方法论的角度来说，最重要的是讲清道理的发 现过程，然后

42、才是定理的证明。 例如，从方法论的角度来讲非欧几何，就不是把非欧几何的内容作为一门数学分支讲 解，而是历史的追溯到欧氏几何的第五公设问题的研究，即当时人们是如何考虑并提出解 决问题方案的，在寻求答案的过程中又走过哪些弯路，最后又如何找到正确的解决问题的 方法，以及如何创立非欧几何，又以怎样的思想方法继续思考问题。 又例如，“球体积公式”的教学，可以在方法论的观点下，对球体积公式的推导过程 进行情景设计，让学生亲自经历发现过程，同时学到观察、实验、归纳、猜想等一套合情 推理的方法。对底面半径和高都为 的圆锥、半球和圆柱，根据祖暅原理： R V 圆锥 V 半球 V 圆柱 即 33 13 33 RV

43、 R R = 半球 3 引进美学机制，进行猜想： 3 2 3 V = 半球 R ，再加以证明。 可见，数学方法论要研究分析问题、思考问题的方法侧重形成数学概念的认识过程的 分析，启发人们的创造性思维，探讨和研究寻找真理、发现真理的手段。 数学的发展充满着批判精神，在一些数学知识的讲解中，还可结合有关的数学史料， 从中培养学生的怀疑、反思、反驳、假说等批判精神和技能。如讲无理数、复数、极限理 论、非欧几何、群论、集合论、非标准分析等各个数学猜想时便可如此。 每个著名的数学家都具有很高的创造性思维和批判思维，且各有特点，在教学中结合 有关内容展现数学家的高尚品德、奋斗精神，将成为发挥文化教育功能的

44、最好范例。例如： 法国数学家、哲学家笛卡儿的解析几何思想便是它的科学方法论的产物。他从方法论 的立场出发，进行用代数方法改造传统数学方法的实验，其结果开创了解析几何，从而将 数学引入了一个变量的时代，特别是加速了微积分的诞生。 俄国数学家罗巴切夫斯基被称为“几何学上的哥白尼”，它的非欧几何思想是与传统数学方法论问题解决的理论 10 观念决裂的革命精神的体现，是对欧几里得几何公里体系的反思，其结果创立了非欧几何， 从而打破了两千年来欧几里的几何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观。 奥地利数学家、逻辑学家哥德尔本来是在希尔伯特所制定的逻辑框架下进行自己的逻 辑与数学基础研究的，但在 25

45、岁时发表了著名的“哥德尔不完备性定理”。该定理推翻了 数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念，导致了重新评价某些认可的数学哲 学，把一个新的、强有力的、内容丰富的、已经提出并开创了许多新的研究途经的分析技 术，引进到了数学基础研究中。 训练思维的功能的可见效果是：增长一般的科学文化素养，即合理地进行思考，清楚 地表达思想，有条不紊地工作。 （2）美育功能。 数学教育是美育的一条途径。徐利治教授指出：“数学教育与教学的目的之一，应当 让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增 长他们的创造发明能力。” 随着人类文明的发展和科学的进步，数学美也是人的审美

46、素质的一部分，这一事实也 逐渐为人们所认识。实际上数学为之努力的目标：将杂乱整理为有序，使经验升华为规律， 寻求各种物质运动的简洁统一的数学表示等，都是数学美的体现，也是人类对美感的追求。 这种追求对一个人精神世界的陶冶起着潜移默化的影响，而且往往是一种创新的动力。数 学家对美的追求也是数学发展的动力之一，数学方法论包含研究数学美及数学发现中的美 学方法，因此，数学方法论会对数学教育中的美育起重要作用。 数学美育是一种情感教育，而情感是不能强制的，要靠美的自身的魅力去唤起。数学 美自身的魅力集中反映在：简单、统一、对称、奇异等审美原则。因此，数学教育中美育 的途径主要是：从审美原则入手，以数学

47、课程及其内容为载体，按数学方法论的思想挖掘 其背后的美学思想、美学价值，以及培养学生的美感和审美思维。 （3）增长科学思想的功能。 科学思想主要是知识形态。它不同于物理知识、化学知识、生物知识、数学知识等专 门的、特殊的知识，而是一般知识，属于知识的更深层次，因而更接近于智慧科学思 想启迪、发展人的智慧。它也不同于科学思维，科学思维是能力；但它又与科学思维有密 切联系：思维总要有思维材料，包括已知的、未知的。未知的即思维对象、研究课题；已 知的即主要是人的头脑中储存的科学思想。 思维过程大体上是通过思维能力的杠杆， 将 “已 知的”作用于“未知的”，实现转化，认识“未知”即思维结果。 随着科学

48、数学化，越来越多的数学思想转化为一般的科学思想（科学理论思想、科学 方法思想）。例如变量思想、极限思想等数学思想所揭示的辩证法思想，适应于现代科技 与生活的一切领域，是一切现代社会成员都应具备的科学思想。在基础教育阶段，所有的 人都要学习数学课程，并不只是因为他们都需要解决具体的“数量关系和空间形式”，而第1章 绪论 11 是因为它们无一例外地需要吸收数学知识中蕴含着的数学思想。这些思想在科学思想方面 给人以教育，同时也培养了人们的科学态度和科学习惯。数学中严谨的推理和一丝不苟的 计算，使得每一个数学结论都不可动摇。这种思想方法不仅培养和造就了数学家，也有助 于提高全体人民的科学文化素质，它是人类巨大的精神财富。因此，在上述意义上说“数 学是一种文化”，在很大程度上主要指的是数学中的“软件”。 （4）促进学生形成良好的数学认知结构的功能。 现代认知心理学理论认为，数学学习是数学认知结构的组织与重新组织。所谓数学认 证结果就是学生头脑里的数学知识按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、 记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构。学生的数学认知结 构是学科数学知识结构在大脑中的内化（反映），通过这种内化过程，学生头脑里形成了 一个动态的数学知识系统。由系统科学的整体原理： + = 联 部