1、 - http:/ 14:53:29 http:/ http:/初等数学复习及研究 （立体几何） 编著：朱德祥 目录 i 目录 第 1章 空间直线与平面 .1 1.1 点与直线、点与平面的相关位置空间几何公理 1 1.1.1 结合公理 .1 1.1.2 顺序公理 .1 1.1.3 合同公理 .2 1.1.4 连续公理 .2 1.1.5 平行公理 .2 1.1.6 公理的推论 .2 1.1.7 希尔伯特几何体系的三个基本对象和三个基本关系 .4 1.2 空间二直线的相关位置 4 1.2.1 注意 .4 1.2.2 引理 .5 1.2.3 平行线的传递性 .5 1.2.4 空间二直线间的角 .5
2、1.3 直线与平面的相关位置 6 1.4 二平面的相关位置三平面的相关位置 8 1.4.1 介于平行平面间的平行线段 .9 1.4.2 三平面的相关位置 .10 1.5 立体几何作图 11 1.5.1 立体几何作图公法 .11 1.5.2 简单作图题 .12 1.6 直线与平面的垂直 13 1.7 正射影平行射影 16 1.7.1 从一点到一平面的垂线和斜线 .18 1.7.2 三垂线定理及其逆定理 .18 1.7.3 直角的射影 .19 1.7.4 直线与平面间的角 .20 1.8 二面角 .20 1.8.1 二平面的垂直 .22 1.9 作图题三则 23 1.10 三面角多面角 24 1.
3、10.1 互补三面角 .25 1.10.2 关于多面角中面角与二面角的不等式 .26 1.10.3 三面角的外二面角 .27 1.10.4 有向三面角 .27 1.10.5 两个三面角的相等 .28 1.10.6 三面角的面角与其二面角之间的关系 .29 1.10.7 三直三面角 .30 1.11 四面体 32 1.11.1 四面体的外 接 平行 六 面体 .33 1.11.2 四面体的 高 线 .34 1.11.3 四面体的相等 .35 目录 ii 1.12 多面体 .36 1.12.1 关于 凸 多面体的 欧拉 定理 .37 1.12.2 正多面体 .38 1.12.3 正多面体 至 多有
4、 五种 .38 1.12.4 有 五种 正多面体 存在 .39 1.12.5 例 题 .41 习 题 42 第 2章 球 轨迹 .49 2.1 球 .49 2.2 球 与直线 以 及 球 与平面的相关位置 49 2.3 两 球 的相关位置 50 2.4 点对 球 的 幂 52 2.5 立体几何 轨迹 52 2.5.1 基本 轨迹命 题 .53 2.5.2 较复杂 的 轨迹命 题 .54 2.6 四面体的外 接 、 内切 和 旁切球 57 2.7 用轨迹 法 解 作图题 58 习 题 60 第 3章 初 等几何 变换 .63 3.1 图 形 的相等 63 3.1.1 图 形 相等的两 种情况 .
5、64 3.2 运动 .65 3.2.1 平 移 .66 3.2.2 旋转 .67 3.2.3 半周旋转或轴反 射 .68 3.2.4 螺旋运动 .68 3.2.5 螺旋运动 与 轴反 射 .69 3.2.6 螺旋运动 的 乘积 .70 3.3 反 射 或 对 称变换 70 3.3.1 面 反 射 .71 3.3.2 （ 中 ）心反 射 .72 3.4 合同 变换 .73 3.5 自 相对 称 面对 称 、 轴 对 称 、 （ 中 ）心 对 称 73 3.5.1 正多面体的 内切球 和外 接球 .74 3.5.2 正多面体 所容许 的 旋转 和对 称变换 .75 3.5.3 立 方 体 所容许
6、的 旋转 和对 称变换 .76 3.6 利用运动 和 反 射 解 作图题 76 3.7 位 似形 及其性 质 78 3.7.1 两个位 似 的 乘积 .79 3.8 两 球 的位 似 80 3.9 用 位 似 法 解 作图题 81 3.10 反演 .82 3.10.1 反演 的二 重 点 .83 3.10.2 直线、平面、 球 面、 圆周 的 反形 .83 目录 iii 3.10.3 反演 的 保 角性 .84 3.10.4 用反演 法 解 作图题 .85 习 题 85 第 4章 面 积 与体 积 .88 4.1 面 积 和体 积 的 概念 88 4.2 长方 体的体 积 89 4.3 棱柱
7、和平行 六 面体 90 4.4 棱锥 .92 4.4.1 祖暅原 理 .95 4.4.2 棱锥 的体 积 .96 4.4.3 棱台 .97 4.5 圆柱 .98 4.6 圆锥 .99 4.7 球 面 积 .101 4.8 球 体 积 .103 习 题 106 第 5章 简单 球 面几何与 球 面三角 .111 5.1 球 面几何 .111 5.2 球 面角、 球 面二角 形 、 大圆 的垂直 111 5.3 球 面多 边形 112 5.3.1 球 面多 边形 与多面角之关系 .113 5.3.2 极 三角 形 .113 5.4 球 面三角 形 的合同 114 5.5 关于 球 面三角 形 中
8、边 与角的不等 114 5.6 球 面三角 形边 与角之间的关系 115 5.7 一点到一 圆 的 球 面 距离 116 5.8 球 面三角 形 的面 积 117 5.9 球 面三角 .118 5.10 正 弦 定理 119 5.10.1 球 面三角 形 的正 弦 定理与平面三角 形 的正 弦 定理 .120 5.11 边 的 余弦 定理 120 5.11.1 球 面三角 形边 的 余弦 定理与平面三角 形 的 余弦 定理 .121 5.12 角的 余弦 定理 122 5.13 半 角公式 122 5.14 半边 公式 123 5.15 例 .124 习 题 126 附 录 （ 一 ） 关于四
9、面体 旁切球 的 存在 与 分布 .129 附 录 （ 二 ）祖暅原 理 求球 体 积 法 .134 第 1章 空间直线与平面 1 第 1章 空间直线与平面 1.1 点与直线、点与平面的相关位置空间几何公理 我们现在以 中 学 几何及一 年级所学 平面几何 为 基 础，来学习 立体几何 。 第一章 是 这 个 学习 的关 键部 分。 首先 介 绍 初 等几何 即 欧 几 里得 几何公理体系 。 此地 所 介 绍 的 ， 基本 上就 是 1899年 希 尔伯特 在 历史成就 的基 础 上 所 完成 的 初 等几何公理体系 。 关于希尔伯特公理体系 ，在学习 平面几何 时可能已经 介 绍过了 ，
10、此地 为 了完备 和引 用 方 便起见 ， 再 重复 一 下 。 点、直线、平面 称为 几何 元素 。 几何 元素集 合 起 来， 便组成 我们 研究 的对象几何图 形。 以 后除非另 有 声明 ， 将 以大 写 拉 丁字母 A、 B、 C等 表示 点 ，以 小写 拉 丁字母 a、 b、 c等 表 示 直线 ，以 小写 希 腊字母 a、 b、 g 等 表示 平面 。 并且当谈 到两点、两直线、三平面等等 时 ， 我们 理 解 作不同的两点、两直线、三平面 。 若 点 A在 直线 a上 ， 也就说 直线 a通过 或 含 有点 A。 若 点 A在 平面 a 上 ， 也就说 平面 a 通过 或 含
11、有点 A。 1.1.1 结合公理 I 1 通过任 意 给 定的两点有一直线 。 I 2 通过任 意 给 定的两点 至 多有一直线 。 I 3 每 一直线 上 至 少 有两点 ； 至 少 有三点不 在 同一直线 上 。 I 4 通过任 意 给 定的不 共 线三点 （ 即 三点不 在 同一直线 上 ） 有一平面 ；每 一平面 上 至 少 有一点 。 I 5 至 多有一平面 通过任 意 给 定的不 共 线三点 。 I 6 若 直线 a的两点 A、 B在 平面 a 上 ， 则 a的 所 有点 都 在 a 上 。 这时 直线 a称为在 平 面 a上 ，或 平面 a 通过 或 含 有 a。 I 7 若 两
12、平面有一公 共 点 ， 则 至 少还 有一公 共 点 。 I 8 至 少 有四点不 在 同一平面 上 。 1.1.2 顺序公理 II 1 若 点 B介于两点 A、 C之间 ， 则 A、 B、 C是 一直线 上 的不同点 ， 且 B也 介于 C、 A之间 。 II 2 对于 任 意两点 A、 B， 直线 AB上 至 少 有一点 C存在， 使 B介于 A、 C之间 。 II 3 在 共 线三点中 ， 一点介于其 它 两点之间的 情况 不多于一 次 。 II 4 （ 帕须 公理 ）。 设 A 、 B 、 C 是 不 共 线的三点 ， a是 平面 ABC上 不 通过 A、 B、 C 中 任 一点的直线
13、 ， 则 若 a有一点介于 A、 B之间 ， 那么它必还 有一点介于 A、 C之间 或 介于 B、 C之间 。 第 1章 空间直线与平面 2 1.1.3 合同公理 III 1 设 A、 B为 一直线 a上 两点 ， A为 同一 或 另 一直线 a上 的点 ， 则 在 a上 点 A的 给 定一 侧 有一 且只 一点 B使 线段 AB合同于 或 等于线段 AB： AB = AB。 并且 对于 每 一线段 ， 要 求 AB = BA。 III 2 设 线段 AB = AB， AB = AB， 则 也 有 AB = AB。 III 3 设 AB和 BC是 直线 a上没 有公 共 内 点的两线段 ， 而
14、 AB和 BC是 同一 或 另 一直 线 a上 的两线段 ， 也没 有公 共 内 点 。 如果这时 有 AB = AB， BC = BC， 则 也 有 AC = AC。 III 4 在 平面 a上给 定 (h, k)，在 同一 或 另 一平面 a上给 定直线 a， 而且 在 平面 a上指 定 了 关于直线 a的一 侧 。 设 h是 直线 a上 以 点 O为原 点的射线 。 那么 在 平面 a上 直线 a 的 指 定一 侧 ， 有一 且只 一 条 以 O为原 点的射线 k使 (h, k) = (h, k)。 每 个角 都要 求 与 自 身 合同 ， 即 (h, k) = (h, k)和 (h,
15、k) = (k, h)。 即 是 说 ： 每 个角 可 以 唯 一 地放 在 给 定平面 给 定射线的 给 定一 侧 。 III 5 设 A、 B、 C是 不 共 线三点 ， 而 A、 B、 C也 是 不 共 线三点 ， 如果这时 有 AB = AB， AC = AC， BAC = BAC， 那么也就 有 ABC = ABC， ACB = ACB。 1.1.4 连续公理 IV 1 （ 阿 基 米 德 公理 ）。 设 AB和 CD是 任 意两线段 ， 那么 直线 AB上 存在 着 有 限 个 点 A 1 、 A 2 、 、 A n ， 排 成这 样 ： A 1 介于 A和 A 2 之间 ， A
16、2 介于 A 1 和 A 3 之间 ，以 下 类 推 ， 并 且 AA 1 、 A 1 A 2 、 、 A n 1 A n 都 合同于线段 CD， 而且 B介于 A和 A n 之间 （ 图 1）。 IV 2 （ 康托 尔 公理 ）。 设 在 一直线 a上 有 由 线段 组成 的一个 无穷 序 列 A 1 B 1 、 A 2 B 2 、 ， 其中 在 后 的 每 一线段 都 包 含 在 前 一个 内 部 ， 并且任 意 给 定一线段 ， 总 有一个 足码 n使 A n B n 比 它小 ， 那么 在 直线 a上 存在 一点 X， 落 在 每 个线段 A 1 B 1 、 A 2 B 2 、 的 内
17、 部 （ 图 2）。 1.1.5 平行公理 通过 直线外一点 至 多 可 引一直线平行于 该 直线 。 1.1.6 公理的推论 从 这 五 组 公理 可 以 推 出 欧 氏 几何 全 部 结论 ， 当 然 这 个 过 程 是 十 分 不简单的 。我们 举 几 个 最 简单的 为例 ：从结合公理 出发 ， 可 以 推 证 下 列诸 命 题 。 由 公理 I 1 和 I 2 立 刻 得 到 定理 1 两点 决 定 唯 一直线 。 X A 1A 2B n图 2 A 3A nB 3B 2B 1A B C D A 1A 2A nA n 1图 1 第 1章 空间直线与平面 3 从公理 I 4 和 I 5
18、立 刻 得 到 定理 2 不 共 线三点 决 定 唯 一平面 。 定理 3 一直线 a和 它 外面一点 A决 定 唯 一平面 。 证明： 因 为 直线 a上 至 少 有两点 B、 C（ 公理 I 3 ）， 不 共 线三点 A、 B、 C决 定一平面 a （ 公理 I 4 ）。 这 平面 a 通过 直线 a（ 公理 I 6 ） 和点 A。 又凡 通过 a和 A的平面 都要含 三点 A、 B、 C，所以 根据 公 里 I 5 ， 只能 与 a 重 合 。 定理 4 两相 交 直线 决 定 唯 一平面 。 证明： 设 两直线 a、 b相 交 于点 O（ 图 3）， 由 公理 I 3 ，在 a上除 O
19、外 ， 还 有一点 B。 根据 公理 I 4 ， 不 共 线 的三点 O、 A、 B决 定一平面 a。 这 平面 a 既 通过 a又 通 过 b（ 公理 I 6 ）。 此 外 ， 不 再 有 任 何平面 既 通过 a又 通过 b， 因 为 这 样 的平面 必含 O、 A、 B三点 ， 因 而 与 a 重 合 。 定理 5 两平行直线 决 定 唯 一平面 。 留 给 读者 自 证 。 定理 6 空间 至 少 有四平面 六 直线 。 证明： 根据 公理 I 8 ， 空间 至 少 有不 共 面 （ 即 不 在 同一平面 上 ） 的四 点 A、 B、 C、 D（ 图 4）。 根据 公理 I 1 ， 它
20、 们 决 定 了 六 直线 AB、 AC、 AD、 BC、 BD、 CD； 根据 公理 I 4 ， 它 们 决 定四平面 BCD、 ACD、 ABD、 ABC。 系 不 共 面的直线 存在。 因 为 AB和 CD便 是 不 共 面的直线 。 定理 7 若 两平面公有一点 ， 则 必 公有一直线 上 的点 ， 且此 外不 再 有其 它 公 共 点 。 证明： 设 两平面 a、 b有一公 共 点 A， 则 至 少还 有一公 共 点 B（ 公理 I 7 ）。 有一直线 a通 过 A、 B（ 公理 I 1 ）， 而 由 公理 I 6 ， 直线 a上 所 有 各 点 既 在 a 上 又 在 b 上 ，所
21、以 平面 a 和 b 公有直线 a上 各 点 。 平面 a 和 b 不 能再 有其 它 公 共 点 ， 否 则 a 和 b 便将 重 合 了 （ 定理 3）。 证 完 。 这时 平面 a 和 b 称为 相 交 ， 直线 a称为 其 交 线 。所以， 若 两平面有一公 共 点 ， 便 相 交 于一直线 。 由 此可 以 看出 ，运用 结合公理 可 以 推 出 一 些 命 题 。 但 必须指 出 ， 只 用 公理 I 1 8 所 能 证 明 的几何 事实 为 数甚 少 ，例 如 从结合公理 就 不 能 推 出 几何 元素 的 集 合 是 无穷 的 。 这 样 的论 证 ，我们 留 在 几何基 础
22、里 去 谈 。利用 结合公理和顺序公理 ， 经过 相 当 复杂 的推理 ， 可 以 证 明 定理 8 13，在 此 我们 无妨把 它 们 作 为 公理 来 引 用。 定理 8 每 一直线 上 有 无穷 多点 。 定理 9 每 一平面 上 有 无穷 多点 ， 而且它 们 不 尽 在 一直线 上 。 定理 10 共 线三点中有一点 也只 有一点介于其 它 两点之间 。 定理 11 若 A、 B为 已 知 点 ， 则 在 直线 AB上 有 无穷 多个点介于 A、 B之间 ， 且 有 无穷 多个点 使 B介于 A与 它 们 每 个点之间 。 定理 12 一直线 上每 一点 O将 线 上 其 余 的点
23、分为 两 类 ； 点 O介于 异类 的 任 意两点之 间 ， 而 不介于同 类 的 任 意两点之间 。 这时 我们 说 顶 O分 该 直线 为 两 条 半 直线 或 射线 ， O称为 它 们 的 原 点 或 端 点 。 定理 13 平面 a 上 的一直线 a将 a 上除 a以 外的点 分为 两 类 ； 异类 两点的 联 线段 必 与 直线 a相 交 ， 而 同 类 两点的 联 线段不与直线 a相 交 。 这时 我们 说 直线 a分 该 平面 为 两 半 平面 ， a称为 它 们 的 边 缘 。 现在，我们 可 以 证 明 ： A B O a b a 图 3 A B C D 图 4 第 1章 空
24、间直线与平面 4 定理 14 在 每 一平面 上 有 无穷 多 条 不 都共 点的直线 。 通过 每 一点有 无穷 多 条 不 都共 面的直线 。 这 个 命 题的 证 明 留 给 读者 。 定理 15 通过 一直线有 无穷 多个平面 （ 共 轴 面 ）。 证明： 设 a为 已 知 直线 。 根据 公理 I 3 ，至 少 有一点 A不 在 a上 （ 图 5）。 直线 a和点 A决 定一平面 a（ 定理 3）。 根据 公理 I 8 ，至 少 有一点 B不 在 平面 a 上 。 点 A和 B决 定一直线 AB（ 公 理 I 1 ）。 直线 AB上 有 无穷 多点 （ 定理 8）， 其中 任 一点
25、M和直 线 a决 定一平面 m（ 定理 3）。 由 于直线 AB和 a不 共 面 ， 这 些 平面 m 彼 此 不 重 合 。所以 有 无穷 多个平面 通过 a。 1.1.7 希尔伯特几何体系的三个基本对象和三个基本关系 希尔伯特 取 三个基本对象 即 点、直线、平面和三个基本关系 即 结合关系 （ 点 在 直线 上 ， 点 在 平面 上 ）、顺序关系 （ 介于 之间 ）、合同关系 （ 线段的相等 ， 角的相等 ） 作 为 不 加 定 义 的 六 个基本 概念， 并要 求 这 些 关系 满足 五 组 公理 I 1 8 ， II 1 4 ， III 1 5 ， IV 1 2 ， V的 要 求，
26、建 立 了 初 等几何的基 础。 从 此可 以 建 立 运动 的 概念 、 测量 理论等等 。许 多几何 事实 （ 特 别 是 平面几何 事实 ）我们 就 作 为 可 以 从公理推 导出 来 而 径加 引 用。 Euclid（ 约 公 元 前 330 275年）。 David Hilbert（ 1862 1943年）。 Moritz Pasch（ 1843 1930）。 这 公理 发 表 于 1882年。 Archimedes（ 约 公 元 前 287 212）。 George Cantor（ 1845 1918）。 这 公理 是 1871年 写成 的 。 1.2 空间二直线的相关位置 由 公
27、理 I 2 立 刻 得 到 定理 1 空间两直线 至 多有一公 共 点 。 当 两直线有一个公 共 点 时 ， 就 称为 相 交 。 从 1.1定理 4，我们 知道 相 交 直线 是 共 面的 。 反 过 来， 从平面几何 ， 共 面两直线 却未 必 相 交 ， 并且共 面 而 不相 交 的两直线 称为 平行线 。 从 1.1定理 6系 ， 又知道 不 共 面的两直线 存在，所以 总 结 起 来 就得 到 定理 1 空间两直线 可 以 有 下 列各 种 相关位置： I 两直线不 共 面 ， 因 而也就没 有公 共 点 （ 不 共 面直线 ）； II 两直线 共 面 ， 这时 分为 两 款 ：
28、（ a） 共 面 而 有一公 共 点 （ 相 交 直线 ）； （ b） 共 面 而没 有公 共 点 （ 平行直线 ）。 1.2.1 注意 （ 1） 过 去 在 平面几何 ， 两直线不平行 便 相 交 。在 立体几何 ， 不平行的直线 却未 必 相 交 ， 因 为 它 们 可能 不 共 面 。重 要 的 还 在 于 另 一面： 要 断 定两直线平行 ， 不 能 仅仅证 明 他 们 不相 交 就 算 完 事 ， 首先还 有 确 定 它 们是 共 面的 。 （ 2）利用 平行公理 V， 和平面几何一 样 ， 仍然 得 到： 通过已 知 直线外一点 ， 有一 且 仅 A M B a a 图 5 第 1
29、章 空间直线与平面 5 一直线与 已 知 直线平行 。 事实 上 ， 通过已 知 点 而 与 已 知 线平行的直线 ， 只能 在 该 点与 该 直 线 所 决 定的平面 上 。 （ 3） 从平行线的定 义 ，我们 知道 ， 平行性有对 称 性 ， 即 是 说 ： 若 a b， 则 b a。 现在 要 证 明 ： 在 空间和 在 平面 上 一 样 ， 平行性有传递性 ， 即 是 说 ， 空间三直线 a、 b、 c间 ， 若 有 a c和b c，则亦有a b 。为 了 证 明这 个 重 要 性 质，我们 先 证 明下 面的引理 1.2.2 引理 引理 设 相 交 两平面 各 通过 两 已 知 平行
30、线之一 ， 那么它 们 的的 交 线平行于 这 两平行线 。 证明： 假 设 a b ，平面 a 通过 b， 平面 b 通过 a， 且 a 和 b 相 交 于直线 c（ 图 6）。求 证 c a ，c b。 我们 取 c a证之，c b仿此证明。 以g 表示 平行直线 a和 b所在 的平面 。 由 于 c和 a都 在 平面 b 上 ， 要 断 定 c a， 只要 断 定 c与 a不 可能 相 交 。我们 使 用反 证 法 。 设 直线 c和 a相 交 于一点 X。 一 方 面 ， X在 a上 ， 因 之 既 在 b 上 又 在 g 上 。 另 一 方 面 ， X在 c上 ， 因 之 既 在 b
31、 上 又 在 a 上 。 从 此 推 出 X既 在 g 上 又 在 a 上 ， 因 而 在 g 和 a 的 交 线 b上 。 那么 a和 b相 交 于一点 X了 ！ 这 矛盾 反 证 了 c a 。 1.2.3 平行线的传递性 定理 3（平行线的传递性） 同平行于第三直线的两直线互相平行 。 证明： 设 直线 a c，b c ，求 证 a b。 当三直线 a、 b、 c共 面 时 ， 从平面几何 我们 知道 这 定理 成 立 。 当 a、 b、 c不 共 面 时 证 明如下 。 在 直线 a上任 取 一点 A（ 图 7），以 b 表示 A和 b所 决 定的平面 ，以 g 表示 A和 c所 决
32、定的平面 。 由 于 假 设 a、 b、 c不 共 面 ， 而 A为 a上任 一点 ， 那么 b 和 g 不 会 重 合 。 既然 b 和 g 有一公 共 点 A， 就 相 交 于一直线 a（ 1.1定理 7）。 由 于 b c，b 通过 b， g 通过 c， 且 b 和 g 相 交 于 a，所以 根据 引理 得 a c和a b。 但通过 点 A只能 有一直线与 c平行 ， 而 根据假 设 a就 是 这 样 一 条 直线 ，所以 a即 是 a。 从 a b于是就得 到 我们 的结论 a b 。 1.2.4 空间二直线间的角 在 讨 论 了 空间二直线三 种 可能 的相互位置 （ 即 不 共 面
33、、相 交 、平行 ）， 并 证 明了 平行性 的传递性 以 后 ，我们 将 平面 上 两直线 夹 角 或 交 角的 概念， 推 广 于空间二直线 。为 了这 个 ， 我们 先 证 明 定理 4 设 两角的 边分 别 同向平行 ， 则 此 两角相等 。 证明： 假 设 两角 A和 A的 边分 别 平行 且 同向 ， 要 证 明 A = A。 当这 两角 在 同一平面 时 ， 这 定理 已 在 平面几何 证 过 。现在 假 定 它 们在 两个平面 a 和 a a b c a g b X 图 6 a b c a A b g 图 7 第 1章 空间直线与平面 6 上 （ 图 8）。在 两角的 边 上
34、取 对 应 相等的线段： AC = AC， AD = AD， 并 联 结 AA、 CC、 DD、 CD、 CD。 由 于 AC和 AC同向平行 且 相等 ，所以 AA和 CC平行 且 相等 。 同理 AA和 DD平行 且 相等 。 由 于平行性和等 量 的传 递性 ， CC和 DD平行 且 相等 ， 从 而 断 定 CD和 CD平行 且 相等 。 两三角 形 CAD和 CAD因 三 边 对 应 相等 而 全 等 ，所以 A = A， 证 完 。 系 设 两角的 边分 别异 向平行 ， 则 此 两角相等 。 设 两角的 边分 别 平行 ， 一同向一 异 向 ， 则 此 两角互补 。 证 明了 定
35、理 4以 后 ，我们 就可 以来 定 义 不 共 面二直线间的角 。 设 a、 b为 两 条 不 共 面直线 （ 图 9），为 了 确 定 起见 ，我们 各 给它 们 一个正向 。 通过 空间 任 意两点 O和 O， 各 引直线 a和 a与 a同向平行 ， 各 引直线 b和 b与 b同向平行 。 根据 定理 4， (a, b) = (a, b)。 这 个 大 小 因 a、 b而 定 ， 而 与角 顶 的 选择 无 关的角 ， 因 此就 定 义 作不 共 面二直线间的角 。 我们 显 然 可 以 从 （例 如 ） 直线 a上 一点引 b的平行线 ， 由 这 两 条 相 交 线的 交 角 来 代
36、表 不 共 面二直线间的角 。 倘 若没 有 给 出 a和 b的正向 ， 那么 不 共 面二直线 a、 b于 是 也 和平面几何 里 一 样 ，形 成 两个互补的角 。 倘 若这 两个互补的角相等 ， 即 各 为 一直角 ， 不 共 面二直线 称为 互相垂直的 。 这 垂直的 概念，是 平面几何同一 概念 的推 广 。 但 必须 特 别 注意 ，在 平面几何两 条 垂直线一定相 交 ，在 空间 ， 不相 交 的两直线 依 然 可 以 垂直 。 不 过当 我们 说 ：“ 从一点 A向一直线 a作垂线 ” 时 ， 指 的则 是 与 a垂直相 交 的线 。 1.3 直线与平面的相关位置 设 a 为
37、一平面 ， a为 空间一直线 。 按照 公理 I 6 ， 若 a有两点 在 a 上 ， 则其 每 一点 都 在 a 上 ， 于 是 直线 在 平面 上 ，或 平面 通过 或 含 有 该 直线 。 比 如 在 工业生产 上 用 刀口检查工件 的 平面性 时 ， 观察刀口 与 工件 的 接 触处 是 否 透光 ， 便 是 应 用 这 个性 质。 定理 1 一平面和不 在 其 上 的一直线 至 多有一公 共 点 。 若 直线 a与平面 a 有一 且 仅 一公 共 点 A， 他 们 就成 为 相 交 ， A为 交 点 。 若 a 与 a没 有 任 何公 共 点 ， 就说 直线平行于平面 （或 平面平行
38、于直线 ）， 记 作 a a 。 首先指 出 ， 与平面 a 相 交 的直线 存在， 因 按 公理 I 8 ， 必 有一点不 在 a 上 ， 这 样 的点与 a上任 一点 联 线 ， 就 是 与 a 相 交 的一 条 直线 。 与定平面 a 平行的直线的 存在 性 ， 由 定理 2保 证 。 定理 2 设 平面外一直线与平面 上 一直线平行 ， 则 与 此 平面平行 。 证明： 设 直线 l平行于平面 a 上 的直线 l（ 图 10）， 求 证 l a 。 a b a b O a b O 图 9 l b a l 图 10 A C D A C D a a 图 8 第 1章 空间直线与平面 7 以
39、 b 表示含 平行线 l和 l的平面 ， 倘 若 定理的 反 面 成 立 ， 直线 l和平面 a 相 交 于一点 X， 那么 X既 在 a 上 又 在 b 上 ， 因 之 在 a 和 b 上 的 交 线 l上 ， 于 是 l和 l相 交 于 X。 这 矛盾 反 证 l a。 系 通过 平面外一点有 无穷 多 条 直线平行于 这 平面 。 事实 上 ， 设 A为 平面 a 外一点 ，在 a 上任 取 一点 B， 并 在 a 上 通过 B引一 群 直线 b（ 图 11）。 通过 A引一 些 直线 a与 这 一 群 中 每 一直线对 应 平行 。 由 于 通过 一点不 能 引一直线与两相 交 直线平
40、行 ， 这 些 直线 a不 能 重 合 。 它 们 都通过 A而 平行 a。 证 完 。 由 上 面 所 说 看 来， 直线与平面的相关位置 ， 由 定理 3所概 括 ： 定理 3 直线与平面有 下 列 三 种 可能 的相关位置： （ a） 直线 在 平面 上 （ 直线 上 各 点 在 平面 上 ）； （ b） 直线与平面相 交 （ 直线有一点 也只 有一点 在 平面 上 ）； （ c） 直线与平面平行 （ 直线 没 有 任 何点 在 平面 上 ）。 定理 4 设 二平行线之一与平面相 交 ， 则 另 一直线 也 与 该 平面相 交 。 证明： 假 设 两平行线 a、 a中的一 条 a与平面
41、a 相 交 于点 A（ 图 12）。以 b 表示 a和 a所在 的平面 。 两平面 a 和 b 有 了 一个公 共 点 A， 就 相 当 于相 交 于一直线 b（ 1.1定理 7）。 在 平面 b上 ， 直线 b既交 二平行线之一 a于一点 A， 必 交 另 一线 a于一点 A。 这 点 A既 在 直线 a上 又 在 平面 a 上 ，所 以是 二 者 的 交 点 。 定理 5 设 一直线平行于一平面 ， 则 凡 通过这 直线的平面 只要 与 此 平面相 交 ， 交 线 必 与 该 直线平行 。 证明： 设 直线 a平行于平面 a（ 图 13）。 首先指 出 ， 通过 a而 与 a 相 交 的平
42、面 存在， 因 若 以 B表示 a 上任 一 点 ， 则 a和 B所 决 定的平面 b 和平面 a 已 有 了 一个公 共 点 B， 因 而 相 交 于直线 b。 在 同一平面 b上 的两直线 a和 b不 可能 相 交 ， 因 若 相 交 于一点 X， 则 a和 a 也就要 在 X相 交 了 ， 这 与 a a 的 假 设 矛盾 。 故 a b。 系 若 一直线平行于一平面 ，则 必 平行于 这 平面 上 互相平行的 无穷 多 条 直线 。 因 为在 a 上 与 b平行的直线 都 与 a平行 （ 1.2.3）。 定理 6 通过 直线外一点有 无穷 多个平面与 该 直线平行 ， 它 们 都 通过
43、 与 该 直线平行的同一直线 。 证明： 设 A为 直线 a外一点 （ 图 14）。 通过 A而 与 a 平行的平面 假 若 存在， 必 与 a和 A所 决 定的平面相 交 （ 因 为 它 们 已 有 了 一个公 共 点 A）。 根据 定理 5， 这 交 线 a和 a平行 。所以 这 些 平面 假 若 存在， 就 一定 含 有 通过 A而 平行于 a的 唯 一直线 a。 反 过 来，我们 知道 （ 1.1定理 15）， 有 无穷 多个平面 通过 直线 a。 根据 定理 2， 这 其中 除了 一个 （ 即 a和 A所 决 定的 那 个 ）以 外 ， 都 和 a平行 ，所以命 题 证 明了 。 系
44、 若 两相 交 平面 都 平行于一直线 ， 则 它 们 的 交 线 也 平行于 该 直线 。 A B b a a 图 11 a a b A A a b 图 12 a b a 图 13 b B a b A a a 图 14 第 1章 空间直线与平面 8 事实 上 ， 假 若 平面 a 和 b（ 图 14） 都 和直线 a平行 ，我们在 其 交 线 a上 标 出 一点 A， 这就可 以 应 用 定理 6了 。 定理 7 若 两平行直线之一平行于 某 平面 ， 则 它 一线 也 平行于 这 平面 （或在 这 平面 上 ）。 证明： 倘 若 第二 条 直线与 所 设 平面相 交 ， 则 由 定理 4，
45、 第一直线 也将 和 它 相 交 ， 与 假 设 矛盾 。所以 第二直线与平面平行 （或在 平面 上 ）。 定理 8 有一个 也只 有一个平面 通过 不 共 面二直线之一 且 与 另 一直线平行 。 证明： 设 a、 b是 两 条 不 共 面直线 （ 图 15）。在 a上任 选 一点 A， 并通过 A引直线 b b。 相 交 直线 a和 b决 定一平面 a， 它 既 通过 a， 而 根据 定理 2， 又 和 b平行 。存在 性 证 明了 。 通过 a而 平行于 b的平面 ， 必 定和 b与 A所 决 定的平面相 交 ， 这 交 线 通过 A而 与 b平行 （ 定理 5）， 因 之 就 是 b
46、。 可见通过 a而 平 行于 b的平面 ， 既 含 有 a又 含 有 b， 只能 与 a 重 合 。 唯 一性 也 证 明 了 。 1.4 二平面的相关位置三平面的相关位置 我们 先 讲 两平面的相关位置 。 从 1.1定理 7，我们 知道 如果 两平面有 了 一个公 共 点 ， 就 相 交 于一直线 。 倘 若 两平面 a、 b 没 有 任 何公 共 点 ， 就 称为 互相平行 ， 记 作 a b， 因 此 有 定理 1 两平面有两 种 可能 的相关位置： （ a） 相 交 于一直线 ； （ b） 平行 。 要 平行定 义 和 这 个定理有意 义 ， 首先要指 出 平行平面 存在。 定理 2 给 定一平面 a 上 及其 上 两相 交 直线 a、 b， 通过 平面 a外一点 A而 与 a、 b平行 的直线 a、 b所 确 定的 a， 平行于平面 a。 证明： 首先 ， 直线 a和 b不 能 重 合 ， 否 则 通过 同 一点 而
