1、第七章 空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、掌握平面方程和直线方程及其求法。5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6、点到直线以及点到平面的距离。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。8、了解空间曲线的参数方程和
2、一般方程。9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量 在研究力学、物理学以及其他应用科
3、学时 常会遇到这样一类量 它们既有大小 又有方向 例如力、力矩、位移、速度、加速度等 这一类量叫做向量 在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大 小 有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号 以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作 向量可用粗体字母AB表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如 a、r、v、F 或 、 、 、 arvF自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量 a和 b 的大小相等 且方向相同 则说向量 a 和 b 是相等的 记为
4、 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量 a、 、 的模分别记为| a|、 、 AB|AB单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量 零向量 模等于 0 的向量叫做零向量 记作 0 或 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的 向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量 a 与 b 平行 记作 a / b 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 类似还有共面的概念 设有 k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果 k
5、 个终点和公共起点在一个平面上 就称这 k 个向量共面 二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法 设有两个向量 a 与 b 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合 此时从 a 的起点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和 记作 a+b 即 ca+b .三角形法则 上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则 当向量 a 与 b 不平行时 平移向量使 a 与 b 的起点重合 以 a、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 ab 向量的加法的运算规律 (1)交换律 abba (2)结合律 (ab)ca(bc) 由于向量的加法符
6、合交换律与结合律 故 n 个向量 a1 a2 an(n 3)相加可写成a1a2 an 并按向量相加的三角形法则 可得 n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量 a1 a2 an 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量 设 a 为一向量 与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量 记为a 向量的减法 我们规定两个向量 b 与 a 的差为bab(a) 即把向量a 加到向量 b 上 便得 b 与 a 的差 ba 特别地 当 ba 时 有aaa(a)0 显然 任给向量 及点 O 有AB 因此 若把向量 a 与 b
7、移到同一起点 O 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量便是向量 b 与 a 的差 ba AB三角不等式 b ba babbcA B C A B C aD c由三角形两边之和大于第三边的原理 有|ab|a|b|及|ab| |a|b| 其中等号在 b 与 a 同向或反向时成立 2向量与数的乘法向量与数的乘法的定义 向量 a 与实数 的乘积记作 a 规定 a 是一个向量 它的模| a|a| 它的方向当 0 时与 a 相同 当 0 时与 a 相反 当 0 时 | a|0 即 a 为零向量 这时它的方向可以是任意的 特别地 当 1 时 有1aa (1)aa 运算规律 (1)结合律 (a)(
8、a)()a；(2)分配律 ()aaa；(ab)ab 例 1 在平行四边形 ABCD 中 设 a b AB D试用 a 和 b 表示向量 、 、 、 其中 M 是平行四边形对角线的交点 MA C解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以ab 即 (ab) AC22于是 (ab) 1因为 所以 (ab) M21 C又因ab 所以 (ba) DB2由于 所以 (ab) 21向量的单位化 设 a0 则向量 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea |于是 a|a|ea 向量的单位化 A B C DMa设 a0 则向量 是与 a 同方向的单位向量 记为 ea |于是 a | a | ea 定理 1 设向量
9、a 0 那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a 证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设 b / a 取 当 b 与 a 同向时 取正值 当 b 与 a 反向时 取负值 即|ba 这是因为此时 b 与 a 同向 且|a|a| |再证明数 的唯一性 设 ba 又设 ba 两式相减 便得()a0 即| |a|0 因|a| 0 故| |0 即 给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴 设点 O 及单位向量 i 确定了数轴 Ox 对于轴上任一点 P 对应一个向量 由 /i 根据定理 1 必有唯一的OP实数 x 使 xi(实数 x 叫做轴上有向线段 的值)
10、并知 与实数 x 一一对应 OP P于是点 P向量 xi实数 x 从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系 据此 定义实数 x 为轴上点 P 的坐标 由此可知 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是 xi O三、空间直角坐标系在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i、j、k 就确定了三条都以 O为原点的两两垂直的数轴 依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为 Oxyz 坐标系 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 而 z 轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右
11、手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面卦限 三个坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限 它位于 xOy 面的上方 在 xOy 面的上方 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限 在 xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I、II、III 、IV、V、VI、VII 、VIII 表示 向量的坐标分解式 任给向量 r 对应有点 M 使 以 OM 为
12、对角线、三条坐标轴为棱作长rO方体 有 RQPNOr设 ixPjykz则 jirM上式称为向量 r 的坐标分解式 xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量 显然 给定向量 r 就确定了点 M 及 三个分向量 进而ixOPjyQkzOR确定了 x、y、z 三个有序数 反之 给定三个有序数 x、y 、z 也就确定了向量 r 与点 M 于是点 M、向量 r 与三个有序 x、y 、z 之间有一一对应的关系 ),(zyxOkjir据此 定义 有序数 x、y、z 称为向量 r(在坐标系 Oxyz)中的坐标 记作 r(x y z) 有序数 x、y、z 也称为点 M(在坐标系 Oxyz)的坐标
13、 记为 M(x y z) 向量 称为点 M 关于原点 O 的向径 上述定义表明 一个点与该点的向r径有相同的坐标 记号(x y z)既表示点 M 又表示向量 .O坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的特征 例如 点 M 在 yOz 面上 则 x0 同相 在 zOx 面上的点 y0 在 xOy 面上的点 z0 如果点 M 在 x 轴上 则 yz0 同样在 y 轴上,有 zx0 在 z 轴上 的点 有 xy0 如果点 M 为原点 则 xyz0.四、利用坐标作向量的线性运算设 a(ax ay az) b(bx by bz)即 aaxiayjazk bbxibyjbzk 则 ab(axiayjazk
14、)(bxibyjbzk)(axbx)i(ayby)j(azbz)k (axbx ayby azbz) ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)(axbx)i(ayby)j(azbz)k(axbx ayby azbz) a(axiayjazk) (ax)i(ay)j(az)k (ax ay az) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设 a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量b/aba 即 b/a(bx by bz)(ax ay az) 于是 zyxb例 2 求解以向量为未知元的线性方程组 a235其中 a(2 1 2) b(1 1 2).解 如同解二元一次线性方程组 可得
15、x2a3b y3a5b 以 a、b 的坐标表示式代入 即得x2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y3(2 1 2)5(1 1 2)(11 2 16) 例 3 已知两点 A(x1 y1 z1)和 B(x2 y2 z2)以及实数 1 在直线 AB 上求一点 M 使 解 由于 O因此 )(BA从而 1)1 , ,1 (222xx这就是点 M 的坐标 另解 设所求点为 M (x y z) 则 ) ,(11zyxA) ,(22zyxMB依题意有 即 BA(xx1 yy1 zz1)(x2x y2y z2z)(x y z)(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)(x y z), 1 12x21
16、y2z点 M 叫做有向线段 的定比分点 当 1 点 M 的有向线段 的中点 其坐AB AB标为 21x21y21z五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间的距离公式设向量 r(x y z) 作 则rOM RQP按勾股定理可得 22|r设 ixOPjykzOR有 |OP|x| |OQ|y| |OR|z| 于是得向量模的坐标表示式 2|zr设有点 A (x1 y1 z1)、B(x 2 y2 z2) 则(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1) O于是点 A 与点 B 间的距离为212121)()()(| z例 4 求证以 M1(4 3 1)、M 2 (7 1 2)
17、、M 3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解 因为 | M1M2|2 (74)2(13)2(21)2 14 | M2M3|2 (57)2(21)2(32)2 6 | M1M3|2 (54)2(23)2(31)2 6 所以|M 2 M3|M1M3| 即 M1 M2 M3 为等腰三角形 例 5 在 z 轴上求与两点 A(4 1 7)和 B(3 5 2)等距离的点 解 设所求的点为 M(0 0 z) 依题意有|MA| 2|MB|2 即 (04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2 解之得 所以 所求的点为 914z )9, 例 6 已知两点 A(4 0 5)和 B(
18、7 1 3) 求与 方向相同的单位向量 e AB解 因为 )2, 3()5 ,4()3 ,17(B 2|所以 ),1 3(4|ABe2方向角与方向余弦当把两个非零向量 a 与 b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过 的夹角称为向量 a 与 b 的夹角 记作 或 如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 ) ,(a,b规定它们的夹角可以在 0 与 之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 非零向量 r 与三条坐标轴的夹角 、 、 称为向量 r 的方向角 向量的方向余弦 设 r(x y z) 则x|r|cos y|r|cos z|r|cos cos、cos 、cos 称为向
19、量 r 的方向余弦 |cosr|cs|cos从而 re|1) ,(上式表明 以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与 r 同方向的单位向量 e r 因此cos2cos2cos21例 3 设已知两点 )和 B (1, 3, 0) 计算向量 的模、方向余弦和方向 ,(AAB角 解 )2 ,1()0 ,21(B )| 2A 2coscsos 3433向量在轴上的投影设点 O 及单位向量 e 确定 u 轴 任给向量 r 作 再过点 M 作与 u 轴垂直的平面交 u 轴于点 M(点 M叫r作点 M 在 u 轴上的投影) 则向量 称为向量 r 在 u 轴上的分向量 设 O eO则数 称为向量 r 在 u
20、轴上的投影 记作 Prjur 或(r) u 按此定义 向量 a 在直角坐标系 Oxyz 中的坐标 ax ay az 就是 a 在三条坐标轴上的投影 即axPrjxa ayPrjya azPrjza 投影的性质 性质 1 (a)u|a|cos (即 Prjua|a|cos ) 其中 为向量与 u 轴的夹角 性质 2 (ab)u(a)u(b)u (即 Prju(ab) PrjuaPrjub) 性质 3 (a)u(a)u (即 Prju(a)Prjua)72 数量积 向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景:设一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M1 移动到点 M2以s 表示位移 由物理学知道力 F
21、 所作的功为 21MW |F| |s| cos 其中 为 F 与 s 的夹角数量积对于两个向量 a 和 b它们的模|a| 、|b |及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积记作 ab即ab|a| |b| cos 数量积与投影由于|b| cos |b|cos(a b)当 a0 时| b| cos(a b)是向量b 在向量 a 的方向上的投影于是 ab|a| Prj ab同理当 b0 时ab |b| Prj ba数量积的性质(1) aa|a| 2(2) 对于两个非零向量 a、b如果 ab0则 ab; 反之如果 ab则 ab0如果认为零向量与任何向量都垂直则 abab0数量积的运算律
22、(1)交换律 ab ba; (2)分配律 (ab)cacbc (3)(a)b a(b) (ab)(a)(b) (ab)、 为数(2)的证明 分配律(a b)cacbc 的证明因为当 c0 时 上式显然成立 当 c0 时 有(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcbacbc 例 1 试用向量证明三角形的余弦定理证设在 ABC 中BCA (图 724)BC|a CA|b |AB|c 要证c 2a 2b 22 a b cos 记 a b c则有CBABcab 从而 |c|2c c(ab)(ab)a ab b2a b|a|2|b|22|a|b|cos
23、(ab) 即 c 2a 2b 22 a b cos 数量积的坐标表示设 a(ax ay az )b(bx by bz ) 则abaxbxaybyazbz 提示 按数量积的运算规律可得ab( ax i ay j az k)(bx i by j bz k)ax bx ii ax by ij ax bz ikay bx j i ay by j j ay bz jkaz bx ki az by kj az bz kk ax bx ay by az bz 两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a b) 则当 a0、b0 时有22|cos zyxzyx提示 ab|a|b|cos 例 2 已知三点 M (111)
24、、A (221)和 B (212)求 AMB 解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向量 a与 b 的夹角a110b101因为ab11100112|2|所以 21|cosbaAMB从而 3例 3设液体流过平面 S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常向量v设 n 为垂直于 S 的单位向量（图 7-25(a)） 计算单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量 P(液体的密度为 )解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 A、斜高为| v |的斜柱体(图 7-25(b)这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是 v 与 n 的
25、夹角 所以这柱体的高为| v | cos体积为A| v | cos A v n从而单位时间内经过这区域流向 n 所指一方的液体的质量为PAv n二、两向量的向量积在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设 O 为一根杠杆 L 的支点有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处F 与 的夹OP角为 由力学规定力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M它的模sin|P而 M 的方向垂直于 与 F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从 以不超P OP过 的角转向 F 来确定的向量积设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列方式定出 c 的模|c|a|b|sin 其中 为 a
26、与 b 间的夹角; c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定那么向量 c 叫做向量 a 与 b 的向量积记作 ab即c ab根据向量积的定义 力矩 M 等于 与 F 的向量积即OP 向量积的性质(1) aa 0 (2) 对于两个非零向量 a、b如果 ab0则 a/b反之如果 a/b则 ab 0如果认为零向量与任何向量都平行则 a/bab0数量积的运算律(1) 交换律 abba (2) 分配律 (ab)cacbc(3) (a)ba(b)(ab) (为数) 数量积的坐标表示设 a ax i ay j az kb bx i by j bz k按向量积的运
27、算规律可得ab( ax i ay j az k)( bx i by j bz k)ax bx ii ax by ij ax bz ikay bx ji ay by jj ay bz jkaz bx ki az by kj az bz kk由于 iijjkk0ijkjk ikij 所以ab( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成aybziazbx jaxbykaybxkaxbz jazbyizyxb kji( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay b
28、x) k例 4 设 a(2 1 1) b(1 1 2)计算 ab 解 2ij2kk4ji i5j 3kji例 5 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (123)、B (345)、C (247)求三角形 ABC 的面积解 根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积|21sin|21CBSAC由于 (222) (124)因此AB 4i6j2k21ji于是 )6(421|64|21kjiABCS例 6 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转计算刚体上一点 M 的线速度解 刚体绕 l 轴旋转时 我们可以用在 l 轴上的一个向量 表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住 l 轴当
29、右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是 的方向设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a 再在 l 轴上任取一点 O 作向量 r 并以 M表示 与 r 的夹角那么a|r| sin 设线速度为 v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v 的大小为 |v|a | |r| sin ; v 的方向垂直于通过 M 点与 l 轴的平面即 v 垂直于 与 r又 v 的指向是使、r、v 符合右手规则因此有vr 7 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中 任何曲面都可以看作点的几何轨迹 在这样的意义下 如果曲面 S 与三元方程F(x y z)0有下述关系 (1) 曲面 S 上任一点的
30、坐标都满足方程 F(x y z)0 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F(x y z)0 那么 方程 F(x y z)0 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S 就叫做方程 F(x y z)0 的图形 常见的曲面的方程 例 1 建立球心在点 M0(x0 y0 z0)、半径为 R 的球面的方程 解 设 M(x y z)是球面上的任一点 那么|M0M|R 即 z2020)()(或 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 这就是球面上的点的坐标所满足的方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 就是球心在点 M0(x0 y0 z0)、半径为
31、 R 的球面的方程 特殊地 球心在原点 O(0 0 0)、半径为 R 的球面的方程为x2y2z2R2 例 2 设有点 A(1 2 3)和 B(2 1 4) 求线段 AB 的垂直平分面的方程 解 由题意知道 所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的几何轨迹 设 M(x y z)为所求平面上的任一点 则有|AM|BM| 即 2222 )4(1)()3()1( zyxzyx等式两边平方 然后化简得2x6y2z70 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 研究曲面的两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面
32、的方程 (2) 已知坐标 x、y 和 z 间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 例 3 方程 x2y2z22x4y0 表示怎样的曲面？解 通过配方 原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25 这是一个球面方程 球心在点 M0(1 2 0)、半径为 5R一般地 设有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0 这个方程的特点是缺 xy yz zx 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化成方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 的形式 它的图形就是一个球面 二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 设在
33、yO z 坐标面上有一已知曲线 C 它的方程为f (y z) 0 把这曲线绕 z 轴旋转一周 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 它的方程可以求得如下 设 M(x y z)为曲面上任一点 它是曲线 C 上点 M1(0 y1 z1)绕 z 轴旋转而得到的 因此有如下关系等式 0),(1zyf12|yx从而得 0) ,(2zf这就是所求旋转曲面的方程 在曲线 C 的方程 f(y z)0 中将 y 改成 便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成2yx的旋转曲面的方程 ,2xf同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0) ,(2zxyf例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 所得旋
34、转曲面叫做圆锥面 两直线的交点叫做圆锥面的顶点 两直线的夹角 ( )叫做圆锥面的半顶角 2试建立顶点在坐标原点 O 旋转轴为 z 轴 半顶角为 的圆锥面的方程 解 在 yO z 坐标面内 直线 L 的方程为zycot 将方程 zycot 中的 y 改成 就得到所要求的圆锥面的方程2x cot2yz或z2a2 (x2y2) 其中 acot 例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周 求所生12c成的旋转曲面的方程 解 绕 x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 12czyax绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 2z这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面 三、柱面
35、例 6 方程 x2y2R2 表示怎样的曲面？ 解 方程 x2y2R2 在 xOy 面上表示圆心在原点 O、半径为 R 的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标 z 即不论空间点的竖坐标 z 怎样 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过 xOy 面上的圆 x2y2R2 且平行于 z 轴的直线一定在 x2y2R2 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆 x2y2R2 叫做它的准线 这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线 例 6 方程 x2y
36、2R2 表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中 过 xOy 面上的圆 x2y2R2 作平行于 z 轴的直线 l 则直线 l 上的点都满足方程 x2y2R2 因此直线 l 一定在 x2y2R2 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆 x2y2R2 叫做它的准线 这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线 柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面 定曲线C 叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线 上面我们看到 不含 z 的方程 x2y2R2 在空间直角坐标系中表
37、示圆柱面 它的母线平行于 z 轴 它的准线是 xOy 面上的圆 x2y2R2 一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面上的曲线 C F(x y)0 例如 方程 y22x 表示母线平行于 z 轴的柱面 它的准线是 xOy 面上的抛物线y22x 该柱面叫做抛物柱面 又如 方程 xy0 表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面的直线 xy0 所以它是过 z 轴的平面 类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z)0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z)0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴
38、的柱面 例如 方程 xz0 表示母线平行于 y 轴的柱面 其准线是 zOx 面上的直线 xz0 所以它是过 y 轴的平面 四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面 怎样了解三元方程 F(x y z)0 所表示的曲面的形状呢 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线的形状 然后加以综合 从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法 研究曲面的另一种方程是伸缩变形法 设 S 是一个曲面 其方程为 F(x y z)0 S 是将曲面 S 沿 x 轴方向伸缩 倍所得的曲面 显然 若(x y z)S 则( x y z
39、)S 若(x y z)S 则 zy) ,1(因此 对于任意的(x y z)S 有 0 ,1F 即 是曲面 S的方程 0 ,xF例如，把圆锥面 沿 y 轴方向伸缩 倍 所得曲面的方程为22aab 即 2)(zbx2zyx(1)椭圆锥面由方程 所表示的曲面称为椭圆锥面 22zbyax圆锥曲面在 y 轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面 沿 y 轴方向伸缩 倍 所得曲面称为椭圆锥面 2zab 22zbyax以垂直于 z 轴的平面 zt 截此曲面 当 t0 时得一点(0 0 0) 当 t0 时 得平面 zt 上的椭圆 1)(2btyax当 t 变化时 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆 当|t |从大到小并变
40、为 0 时 这族椭圆从大到小并缩为一点 综合上述讨论 可得椭圆锥面的形状如图 (2)椭球面由方程 所表示的曲面称为椭球面 122czbyax球面在 x 轴、y 轴或 z 轴方向伸缩而得的曲面 把 x2y2z2a2 沿 z 轴方向伸缩 倍 得旋转椭球面 再沿 y 轴方ac 122czayx向伸缩 倍 即得椭球面 b122zbyx(3)单叶双曲面由方程 所表示的曲面称为单叶双曲面 122czbyax把 zOx 面上的双曲线 绕 z 轴旋转 得旋转单叶双曲面 再2ax 12czayx沿 y 轴方向伸缩 倍 即得单叶双曲面 122czbyax(4)双叶双曲面由方程 所表示的曲面称为双叶双曲面 122c
41、zbyax把 zOx 面上的双曲线 绕 x 轴旋转 得旋转双叶双曲面 再2czax 12cyzax沿 y 轴方向伸缩 倍 即得双叶双曲面 c 122czbya(5)椭圆抛物面由方程 所表示的曲面称为椭圆抛物面 zbyax2把 zOx 面上的抛物线 绕 z 轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面 ax2 zayx2再沿 y 轴方向伸缩 倍 所得曲面叫做椭圆抛物面 zbyax2(6)双曲抛物面 由方程 所表示的曲面称为双曲抛物面 zbyax2双曲抛物面又称马鞍面 用平面 xt 截此曲面 所得截痕 l 为平面 xt 上的抛物线 2azby此抛物线开口朝下 其项点坐标为 当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作),0 (2at平移 而 l 的项
