1、高等数学期末复习第八章 向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量13、会用点法式求平面方程，通常先确
2、定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点 在 面上的投影点为( )； （内容要求 1）)2,4(PyozA. B. C. D. Q)2,01Q)0,4(Q)2,40(Q解： 面不含 x，所以 x 分量变为 0，故选 Dyoz2、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ） ，则azox, 321,321（ ）32212cscs(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知， ，所以选 C。 （内容要求
3、 2）223cs3、设向量 与三个坐标面 的夹角分别为 （ ） ，则azoxyx, 321,031;32212coscos解： ，所以填 2。 （内容要求 2）24、向量 ， ，则 ( )；),(a),1(bbaA. B. C. D. 0 )2,15(解： ，所以选 C。 （内容要求 3）31()23ab5、向量 则 ,ijkbijk(2)ab解： ，所以 ，所以填 。264614(1)6（内容要求 3）6、设 a=2 i+2j +2k， b=3j -4k， 则 ab= 。解： ，所以填-2 。 （内容要求 3）02()7、向量 ， ，则 ( )；3,1a,1bbaA. B. C. D. 66
4、1,31,3解： ，所以选 C。 （内容要求 4）1032ijkabij8、向量 ,则 ；1,ba解： ，所以填 ，或填 。 （内容要求 4）312ijkabijk 2ijk1,29、 与 为两个向量， 为二者的夹角，则 ( ).ab(A) (B) (C) (D) sinsinabcoscosab解：由定义，选 D。 （内容要求 5）10、设 为非零向量，则 ( ) .,abab(A) (B) (C) (D) 解：因为 ，所以 ，选 B。 （内容要求|cos |cos|ab5）11、已知 ，且 与 的夹角为 ，则 ( ).1,2abab4(A) (B) (C) (D) 12解： ，所以， ，选
5、 A。 （内容要求22|cos55ab6）12、设 为非零向量，且 ，则必有( ).,abab(A) (B) abab(C) (D) 解： ， （ =0）222|cos|bcos|ababa所以选 C。 （内容要求 6）13、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，则 ,;222coscos解： ，所以填 1。 （内容要求 7）14、设向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ，已知 则a , ,4,解：因为向量 与三个坐标轴的正向的夹角分别为 ， ,，所以 ， ，所以填 。 （内容要求222coscos1cos0227）15、设 ，且 ，则 ( )；1,3,4ab /ab(A) (B) (C)
6、 (D) 0306解：因为 ，所以 ，所以选 C。 （内容要求 8）/23416、设向量 ， ，则向量 与向量 的关系是( ).,10a,1bab(A) 平行 (B) 斜交(C) 垂直 (D) 不能确定解： ，所以选 C。 （内容要求 9）b17、已知向量 ， ，则 ( )；4,1,a1,2mbA. B. C. D. 1 2解：因为 ，所以 ，所以选 D。 （内容要求 9）b018、在空间直角坐标系中, 方程 表示的曲面是( )； 492yxzA. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面解： 为椭圆抛物面，所以选 A。 （内容要求 10）492yxz19、在空间直角坐标系中
7、，方程 表示的曲面是 ( ).22zxy(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面解： 为圆锥面，所以选 D。 （内容要求 10）22zxy20、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；22RyxA. 圆 B. 球面 C. 椭球面 D. 圆柱面解： 为圆柱面，所以选 D。 （内容要求 10）22Ryx21、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；2yxzA. 球面 B. 圆锥面 C. 圆柱面 D. 旋转抛物面解： 为旋转抛物面，所以选 D。 （内容要求 10）2yxz22、空间直角坐标系中，方程 表示的图形是( )；24yxA. 球面 B. 圆柱面 C.
8、 圆锥面 D. 旋转抛物面解： 为圆柱面，所以选 B。 （内容要求 10）24yx23、方程 表示( ).4z(A) 双曲柱面 (B) 双曲线 (C) 单叶双曲面 (D) 双叶双曲面解： 为双曲柱面，所以选 A。 （内容要求 10）2y24、指出旋转曲面 的一条母线和旋转轴( ).2zxy(A) ， 轴 (B) ， 轴20zxy20zx(C) ， 轴 (D) ， 轴2 2yx解： 为 绕 轴旋转的旋转抛物面，所以选 A。 （内容要求 10）2zxy20z25、平面 在 轴上的截距分别是( ).1,xy(A) (B) 1,212,(C) (D) 解：化截距式方程为 在 轴上的截距为 ，所以选 B
9、。 （内容要12xyz,xyz12,求 11）26、过三点 ， ， 的平面方程为( ).(1,)(2,)1,2)(A) (B) 30xyz3xyz(C) (D) 0解：过三点 ， ， 的平面法向量(1,)(2,)(1,2)()()33961120ijkijkn ijk所以所求平面方程为 ，所以选3()9(1)6()020xyzxyzA。 （内容要求 12）27、求过点 且与直线 垂直的平面方程.(1,0)24131z解：过点 且与直线 垂直的平面的法向量就是直线xy的方向向量 ，所以所求平面方程为24131xyz,（内容要求 13）()(1)0320xyzxyz28、求过点 且与直线 垂直的平
10、面方程.,241x解：直线 的方向向量为 ，所以过点 且与直线2413z,(1,)垂直的平面方程为xy（内容要求 13）()()1030yzxyz29、求通过点 且与两直线 和 平行的平面方2 ,0-A-213-1xyz程.解：所求平面法向量为 ，于是所求平面方程为1432ijknijk（内容要求 13）4(2)3(1)04310xyzxyz30、已知两条直线的方程是 ， ，求过2:L21:xyzL且平行于 的平面方程. 1L2解：所求平面法向量为 ，令 得直线上103ijknijk12310xyz的点 ，于是所求平面方程为(2,)（内容要求 13）3(2)0320xyzxyz31、过点 且平
11、行于 面的平面方程为 ,5o解：因为平行于 面的平面为 型，所以平面方程应填 。或者，xzyd5y面的平面的法向量为 ，所以平面方程为xoz0,1n0(2)(5)(3)yz所以平面方程应填 （内容要求 13）32、过点 且与平面 垂直的直线方程为 (,13)740xyz解：过点 且与平面 垂直的直线方向向量就是平面2的法向量 ，所以所填直线方程为 。 （内容要740xyz,21374xyz求 14）33、求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程. ) ,21( 032zyx0z解：两平面 和 的交线的方向向量为03zyx12310ijknijk所以，过点 与两平面 和 的交线平行的直线方程
12、为)4 ,( 0zyx01zx（内容要求 14）24131x34、过点 且平行于直线 的直线方程为( ).(1,23)2134xyz(A) (B) 4xyz 3(C) (D) 1232xyz解：过点 且平行于直线 的方向向量为直线 的(,) 1342134xyz方向向量 ，由直线对称方程，选 B。 （内容要求 14）4s35、已知直线 和平面 平行，则 ( )；273xyz-20xyazaA. B. C. D. 3-3解：因为直线 和平面 平行，所以直线 的方向向量4-27xyz与平面 的法向量 垂直，即2,73s-20xyaz4,-na4()32故选 A。 （内容要求 15）36、已知直线 和平面 垂直，则 ( )；12zyx034mzyxA. B. C. D. 3366解：因为直线 和平面 垂直，所以直线 的zyx2zyx 312zyx方向向量 和平面 的法向量 平行，即2,13s 034m4,-nm46故选 C。 （内容要求 15）37、直线 的方向向量为( ).12()31)2xyz(A) (B) ,3s,s(C) (D) 12143解：因为直线 写成对称形式为 ，所以(2)()xyz1(2)(13xyz方向向量为 ，故选 C。 （内容要求 16）31,s
