mabR语言金融工程中文教程 - Copy.pdf-道客多多

资源描述

1、R语语语言言言金金金融融融工工工程程程中中中文文文教教教程程程 Financial Engineering with R, Chinese Manual 李智 Li, Zhi February 4, 2014匲Contents 前前前言言言 i 符符符号号号注注注释释释 iii 1 线线线性性性代代代数数数 1 匱匮匱关于函数匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匱匮匲标量，向量和

2、矩阵匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匱匮匳矩阵乘法和矩阵逆匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匵匱匮匴线性方程求解匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匷匱匮匵二次形式匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匸 2 回回回报报报率率率 9 匲匮匱回报率

3、的计算匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匹匲匮匲房产的价格匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匱匲匮匳杠杆原理匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匳匲匮匴回报率的估计匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匴匲匮匵预测回报率匮匮匮

4、匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匶 3 债债债券券券种种种类类类 23 匳匮匱零息匨博卥卲卯匩息票（千卯卵印卯卮）债券匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匳匳匮匲到期收益率匨卙卩卥卬卤却卯卍卡却卵卲卩却卹匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匵匳匮匳期限结构匨協卥卲卭卓却卲卵卣却卵卲卥匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匶 4 投投

5、投资资资组组组合合合理理理论论论 27 匴匮匱组合两种资产匨協卷卯十即即卥却即匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匷匴匮匲基本定义匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匰匴匮匳组合多种资产匨华十即即卥却即匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匳匴匮匴资本资产定价模型匨千十卐卍匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮

6、匮匮匮匮匮匮匮匳匶匴匮匵卂卬卡卣卫匭卌卩却却卥卲卭卡卮模型（匱匹匹匱）匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匲匳匴扃扏扎扔扅扎扔打 5 布布布莱莱莱克克克 -肖肖肖尔尔尔斯斯斯模模模型型型（（（ Black-Scholes））） 45 匵匮匱零回报匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匵匵匮匲相关的定义匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮

7、匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匸匵匮匳套利命题匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匸匵匮匴计算布莱克匭肖尔斯匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匵匰 6 对对对冲冲冲基基基金金金 (Hedge Funds) 57 匶匮匱套期保值匨卉卮即卵卲卥卤卐卯卲却卦卯卬卩卯匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匵匷匶匮匲德尔塔

8、避险匨卄卥卬却卡卨卥卤卧卩卮卧匩匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匶匰List of Figures 匲匮匱房产的市场价格匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匲匲匮匲收房租就是分红匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匳匲匮匳回报率的估计匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匵匲匮匴欧

9、元匯美金牌价匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匷匲匮匵卅单卒单卓卄回报率卑卑图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匸匲匮匶卅单卒单卓卄升卡卲卣卨模型卑卑图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匱匹匲匮匷欧元匯美金回报率预测匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匱匴匮匱两个资产投资组合作图匮

10、匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匲匹匴匮匲默顿切线方法演示图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匱匴匮匳默顿第一定理演示图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匵匴匮匴资本市场线作图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匳匸匴匮匵资本资产定价模型（千十卐卍）估计匮匮匮匮

11、匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匱匵匮匱匱匰个随机生成的股票价格序列匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匴匷匵匮匲认购价的凹性匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匵匱匵匮匳布莱克匭肖尔斯，波动性计算匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匵匴匶匮匱套期保值再平衡策略投资价值走势举例插图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匮匶

12、匱匶匮匲德尔塔避险再平衡策略投资花费举例输出插图匮匮匮匮匮匮匮匮匮匶匵匵匶扌扉打扔扏扆扆扉扇払扒扅打前前前言言言在上小学的时候，有一年暑假回济南，去看望姥爷和姨，姨夫们。那天，三姨和三姨夫在家里招待了我们所有的人。他们家小区的后面是一个没有树的小山包。吃完晚饭，趁着明媚的夕阳，我们又一起去爬山。表哥，我，和表弟，小哥三个

13、，自然地排成了一个小队，向山顶走。旁边路过，有一个老人，他用早上刚升起来的太阳形容我们。转眼二十多年的时间过去了，感谢老人的鼓励，我们兄弟三个都有了属于自己的事业，为祖国的发展做着贡献。我非常喜欢走过北京机场協匳航站楼的出站口。因为那里众多急切接飞机的人们，使我感觉像是一个明星，走在火红的地毯上。但是这次寒

14、假回国，只有老迈的妈妈来接我，爸爸再也不会来了。爸爸是一个老党员，去世前大量写作，他起草完成过几千个技术专利申请的文件。我也要写作，作为一个传统，实现人生价值的传统。这主要还是一部关于卒语言编程应用的著作，最好的学习方法是把所有卒语言程序的例子挑出来，运行后知道如何使用就可以了。知识本应该是免费的，我只是没有

15、精力都写出来。本书的每一章都独立成文，分开阅读完全可行。重要的最后关于对冲的一章，是对这个概念的精确接触。如果有对本书的意见提出，请加入与本书同名的卑卑群进行讨论，也可以联系作者的卑卑匲匴匷匶匷匸匴匹匸匶。对冲是一个非常广泛应用，种类繁多的金融方法。再继续进行举例，多写几百页，也不可能结束。基于点到为止，深入浅出的原则

16、，只给读者一点尝试，同时又练习了卒语言。卩卩卩前言符符符号号号注注注释释释卲匭净回报率卒匭毛回报率卓匭方差协方差矩阵卓匭股票价格単匭期权履约价匭期望值 2 匭方差匭标准差，波动性却匭某一时间点匁 t 匭某一个时间段却卩卭卥却卯卭卡却卵卲卩却卹 N匨匩匭正态分布概率的函数卬卯卧匭对数函数计算卥卸印匭指数函数计算匆匭总和计算卩卩卩卩卶符号注

17、释Chapter 1 线线线性性性代代代数数数 (Linear Algebra) 1.1 关关关于于于函函函数数数函数匨卆卵卮卣却卩卯卮匩是一个大学一年级的概念，虽然不是金融的有关部分，但它是数学的基础，为了要是这本书能够做到自圆其说，在这里必须要介绍清楚函数。对函数的的精确又简便的描述是：数数数据据据入入入数数数据据据出出出 (Data In Data Out)

18、。例如有一个名叫 f匨 x匩的函数： f匨 x匩匽匳 x 2 匨匱匮匱匩卒卣卯卤卥区 x=7 f=3*x2 f 在这个函数中， x只是一个用来占位子的符号，也是数据输入的位置。如果输入 x 匽匷，这个函数就会根据其带有的表达式进行计算，匳匷 2 ，然后输出 f匨匷匩匽匱匴匷的结果。值得注意的是，函数是不可以有模棱两可的输出的，对于已经定义的函数匨匱匮匱匩，如果输入

19、的数值是匷，那么输出的数值只可能是匱匴匷，不可能是其他的数值。这样就生成了一个从匷到匱匴匷的指向关系，所以函数也被称作映象匨卍卡印印卩卮卧匩：匷 ! 匱匴匷但是换一个角度来看，匷也可以通过函数匨匱匮匱匩指向匱匴匷匨匌也就是说一个函数的输入可以是多个的，却都可以指向同一个输出：匷匷 ! 匱匴匷匱匲扃扈扁扐扔扅扒戱戮线性代数更多的情况下，需要使用函数建

20、立一一对应匨卂卩卪卥卣却卩卯卮匩的映象关系，也就是说，一个输入值只对应一个输出值，而且一个输出值也只能对于一个输入值。例如函数匨匱匮匱匩，可以取消匷对应匱匴匷的可能性，只允许匷对应匱匴匷。这就需要定义 x的有效范围 x 匰，在这个有效范围之内，所有的 x和 f匨 x匩之间就建立起了一一对应的映象关系： f匨 x匩匽匳 x 2 x 匰匨匱匮匲匩数学写法匨华卯却卡却卩卯卮

21、匩十分重要，它是记录数学语言的方式。比方上面用 f匨 x匩指代函数匨匱匮匱匩，和使用 x作为占位子的符合，甚至使用匰来代表什么都没有，都是数学写法。这些写法使困难的事情变得简单，使不可能完成的事变得可能。复合函数匨千卯卭印卯即卩却卥卆卵卮卣却卩卯卮匩被记为 f g，是把一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后输出最终结果。具体来讲 g匨匩是一个

22、函数，它的输入是 x。然后 f匨匩也是一个函数，它的输入是 g匨 x匩： f g匨 x匩匽 f匨 g匨 x匩匩匨匱匮匳匩使用上面函数匨匱匮匱匩， f匨 x匩匽匳 x 2 ，然后定义一个新函数 g匨 x匩匽 x 匸，只需要把 g匨匩的结果输入到 f匨匩的里面，就生成了这个复合函数： f g匨 x匩匽 f匨 g匨 x匩匩匽 f匨 x 匸匩匽匳匨 x 匸匩 2 卒卣卯卤卥区 x-7 g-function(x)x-8 f-function(x)3*x2 f(g(

23、x) 最大值函数匨卍卡卸卩卭卵卭卆卵卮卣却卩卯卮匩输出最大值的函数，写法卭卡卸匨匩。比方说有组数值被存放在了电脑里，需要找出其中最大的数值，就需要使用最大值函数。例如这组数值为：匳 :匱匴匱匰匰匰匰 :匵匹匹匹匹匹匹匹。要找出其中最大值，使用卭卡卸匨匩可以得出结果：卭卡卸匨匳 :匱匴 ; 匱匰匰匰 ; 匰 :匵 ; 匹匹匹 ; 匹匹匹匹匩匽匱匰匰匰匨匱匮匴匩卒卣卯卤卥区 max(3.14 , 1000 ,

24、0.5 , 999 , -9999) 在这里等于号匽可以被理解成输出的意思。戱戮戲戮标量，向量和矩阵匳 1.2 标标标量量量，，，向向向量量量和和和矩矩矩阵阵阵数学家和统计学家之间总存在着一种争论，向量应该是横着的还是竖着的。数学家们喜欢把向量竖着放，统计学家喜欢把向量横着放。他们从来都是不同意对方的做法，认为对方的做法很傻。这两种不

25、同的做法，都有着其中不同的历史和传承。在这里我们不会去关心统计学，所以这里的向量都是竖着放的。标量匨卓卣卡卬卡卲匩只是一个数值，可以用任何符号来代表，大家可以把它理解成只有一行一列的匱匱矩阵。向量匨卖卥卣却卯卲匩指的是一列数字，也被称为数列，它是只有一列，但可以有很多行的匱 n矩阵。卒卣卯卤卥区 x=10 #Scalar y=c(3.14 , 1000

26、 , 0.5 , 999 , -9999) #Vector 矩阵匨卍卡却卲卩卸匩是把多个向量放在了一起，这就使矩阵可以是多行多列 m n，这个英文词汇原本和环境、富饶多产的土壤有关系。可以使用卒语言，生成几个向量，放在一起，并输出生成的矩阵：卒卣卯卤卥区 x=c(1,2,3) #vector y=c(4,5,6) #vector z=c(7,8,9) #vector A=cbind(x,y,z)#matrix A 矩阵转置匨協卲卡

27、卮即印卯即卥匩是把矩阵里每一列的数字写在行里，写法是在代表矩阵的符号右上角画上一个小 T。例如上面语句中生成的矩阵 A，它的转置就是 A T ： A 匽匱匴匷匲匵匸匳匶匹 A T 匽匱匲匳匴匵匶匷匸匹匨匱匮匵匩卒卣卯卤卥区 x=c(1,2,3) #vector y=c(4,5,6) #vector z=c(7,8,9) #vector A=cbind(x,y,z)#matrix t(A) #traspose匴扃扈扁扐扔扅扒戱戮线性代数向量

28、和常量都属于矩阵，所以向量和常量都可以被转置。竖着的向量转置后就成了横着的向量，横着的向量被转置后就成了竖着的向量。常量的转置还是常量，没有变化。 x 匽匱匲匳 x T 匽匱匲匳 b 匽匱匳匵 b T 匽匱匳匵 a 匽 j匱匰 j a T 匽 j匱匰 j 对称匨卓卹卭卭卥却卲卹匩是说，如果一个转置后的矩阵 m m，必须是正方形的矩阵，与其没有转置的时候相同，

29、被称为对称矩阵。下面就是一个用 S代表的对称矩阵，无论如何转置，都不会有变化。 S 匽匱匲匳匲匵匴匳匴匶加法匨十卤卤卩却卩卯卮匩，矩阵的加法，是把矩阵中有相同位置的数值，对应相加，这也就使相加的矩阵之间必须有相同的行数和列数，例如： x 匫 y 匽匱匲匳匫匴匵匶匽匱匫匴匲匫匵匳匫匶匽匵匷匹卒卣卯卤卥： x=c(1,2,3) #vector y=c(4,5

30、,6) #vector x+y A匫 B 匽匱匴匷匲匵匸匳匶匹匫匱匱匱匲匲匲匳匳匳匽匱匫匱匴匫匱匷匫匱匲匫匲匵匫匲匸匫匲匳匫匳匶匫匳匹匫匳匽匲匵匸匴匷匱匰匶匹匱匲卒卣卯卤卥： x=c(1,2,3) #vector y=c(4,5,6) #vector z=c(7,8,9) #vector A=cbind(x,y,z)#matrix B=cbind(x,x,x)#matrix A+B戱戮戳戮矩阵乘法和矩阵逆匵一个常量可以和任何行数和列

31、数的矩阵相加，尽管常量会与矩阵的行数和列数不同，只需要把矩阵中的所有数字，与这个常量相加，例如： a 匫 A 匽匱匰匫匱匴匷匲匵匸匳匶匹匽匱匰匫匱匱匰匫匴匱匰匫匷匱匰匫匲匱匰匫匵匱匰匫匸匱匰匫匳匱匰匫匶匱匰匫匹匽匱匱匱匴匱匷匱匲匱匵匱匸匱匳匱匶匱匹卒卣卯卤卥： a=10 A=cbind(x,y,z)#matrix a+A 1.3 矩矩矩阵阵阵乘乘乘法法法和和和矩矩矩

32、阵阵阵逆逆逆点乘匨卄卯却卐卲卯卤卵卣却匩，指的是两个相同长度的向量，先把相同位置的数值相乘，然后把所有的乘积加起来做和。这种向量之间的乘法的写法是一个圆点，所以叫做点乘，例如： x y 匽 X 匱匲匳匴匵匶匽 X 匱匴匲匵匳匶匽 X 匴匱匰匱匸匽匴匫匱匰匫匱匸匽匳匲卒卣卯卤卥： x=c(1,2,3) #vector y=c(4,5,6) #vector x%*%y 但是，平时书写点

33、乘的时候，需要把两个向量里，处在前面的向量横过来，这是从解决线性方程中来的传统，例如使用传统方法的点乘： x y 匽 j 匱匲匳 j 匴匵匶匽匱匴匫匲匵匫匳匶匽匳匲使用传统方法的点乘，行与列之间的相乘相加，还可以定义矩阵乘以向量，做法如下： A x 匽匱匴匷匲匵匸匳匶匹匱匲匳匽匱匱匫匴匲匫匷匳匲匱匫匵匲匫匸匳匳匱匫匶匲匫匹匳

34、匽匳匰匳匶匴匲卒卣卯卤卥区匶扃扈扁扐扔扅扒戱戮线性代数 A%*%x 矩阵与矩阵之间的相乘，也是用行乘以列来定义，结果是一个矩阵。矩阵的相乘是复合函数匨匱匮匳匩在矩阵上的应用区 A A 匽匱匴匷匲匵匸匳匶匹匱匴匷匲匵匸匳匶匹匽匳匰匶匶匱匰匲匳匶匸匱匱匲匶匴匲匹匶匱匵匰卒卣卯卤卥区 A%*%A 从上面一系列的卒代码中可以清楚的看到，点乘的卒语言命令，使用匥匥来代表

35、，并完成运算的。矩阵逆匨卍卡却卲卩卸卉卮卶卥卲即卥匩，指的是使用一个矩阵的逆，和这个矩阵相乘，乘积是一个只在左右对角线上是匱，其他位置是匰的矩阵。矩阵逆的写法，是把减一符号放在表示矩阵符号的右上角。找到一个矩阵的逆不是一件容易的事，但卒语言提供了 solve匨匩函数来解决这个问题。在下面的例子里，可以看到，一个矩阵乘以它的逆

36、，结果的确是一个匰匬匱矩阵： A A 1 匽匱匴匷匲匰匸匳匶匹匰 :匸匰 :匱匰 :匵匳匳匳匰 :匱匰 :匲匰 :匱匰 :匲匰 :匱匰 :匱匳匳匳匽匱匰匰匰匱匰匰匰匱卒卣卯卤卥区 A=matrix(c(1,4,7,2,0,8,3,6,9),nrow=3,ncol=3,byrow = TRUE) solve(A) A%*%solve(A) 满秩矩阵匨卆卵卬卬卒卡卮卫卍卡却卲卩卸匩，并不是所有的正方形矩阵都有逆，这也是把匰放入上面十矩阵的原因。

37、只有满秩矩阵才有逆。因为有时候在矩阵中，有些行或列可以使用其它的行和列表达出来，能被其它行和列表达出来的，就不带有比其它行和列更多的信息。所以矩阵中所有的行、列，都不能被其它行、列表达，就说明这个矩阵有足够的信息，也就是满秩，还可以被称为非奇匨华卯卮匭即卩卮卧卵卬卡卲匩。笛卡尔乘积匨千卡卲却卥即卩卡卮卐卲卯卤卵卣却匩，指的是两个

38、向量相乘，用一个竖直的向量，乘以另一个横躺的向量。不是相同位置的数值相乘再作和。而是每一个数值，都与另一个向量里的数值相乘： x y 匽匱匲匳匴匵匶匽匱匴匱匵匱匶匲匴匲匵匲匶匳匴匳匵匳匶笛卡尔乘积的符号是一个小差号，笛卡尔乘积实际上表示的是计算机程序算法中的卦卯卲匭卬卯卯印循环。戱戮戴戮线性方程求解匷 1.4 线线线性性性方方方

39、程程程求求求解解解多元的线性方程，是每个高中学生都有能力解决的问题。请看下面的例子：匳 x 匫匶 y 匫匲 z 匽匵匨匱匮匶匩匲 x 匫匵 y 匫匴 z 匽匱匱匲匶 x 匫匵匹 y 匫匳匶 z 匽匷可以看出这组线性方程是没有解的。因为第一个方程中的系数乘以匴，再加上第二个方程的系数乘以匷，就是第三个方程的系数。也就是说第三个方程可以用第一、二个方程来代

40、表。所以这组线性方程是奇异的，是不满秩的。再举一个满秩例子，来学习使用卒语言解线性方程： x 匫匴 y 匫匷 z 匽匱匱匨匱匮匷匩匲 x 匫匸 z 匽匹匳 x 匫匶 y 匫匹 z 匽匵把这组线性方程写成矩阵形式：匱匴匷匲匰匸匳匶匹 x y x 匽匱匱匹匵等号左右两边都乘以系数矩阵的逆：匱匴匷匲匰匸匳匶匹 1 匱匴匷匲匰匸匳匶匹 x y x 匽匱匴匷匲匰匸匳匶匹 1

41、匱匱匹匵 x y z 匽匱匴匷匲匰匸匳匶匹 1 匱匱匹匵匽匵 :匲匳匰 :匲匲 :匴匳卒卣卯卤卥区 A=matrix(c(1,4,7,2,0,8,3,6,9),nrow=3,ncol=3,byrow = TRUE) f=c(11,9,5) solve(A)%*%f匸扃扈扁扐扔扅扒戱戮线性代数 1.5 二二二次次次形形形式式式二次形式匨卑卵卡卤卲卡却卩卣卆卯卲卭匩是把多元二次方程用矩阵的写法表达出来，多元二次方程和二次形式实际上是同一个东西，

42、只是它们的书写形式有所区别。例如，这里是最普通的二元二次方程： x 2 匫匲 xy 匫 y 2 二元指的是两个变量 x、 y，二次指的是每一项的次方为二。表达式匨匱匮匸匩可以被写成矩阵形式： x y 匱匱匱匱 x y 所有的二元二次方程都可以把变量提出来，写成一个向量，用 x代表。并且把系数提出来写成一个对称的正方形矩阵，用 A代表。二次形式就成为了

43、向量和矩阵之间的点乘： x T Ax 匨匱匮匸匩卒卣卯卤卥区 t(x)%*%A%*%x 表达式匨匱匮匸匩是二次形式的准确表述。可以看出，二次形式只有匳个部分，一个向量横过来，乘以一个正方形的矩阵，再乘以这个向量竖着放。表达式匨匱匮匸匩并没有要求正方形的矩阵 A是对称的，但是为了要使二次形式整齐好看，所有的教科书都会额外规定矩阵 A是对称的。矩阵 A装载的是

44、多元二次方程里系数的信息，不改变多元二次方程的系数，矩阵 A是完全可以被写为对称的。Chapter 2 回回回报报报率率率（（（ Returns））） 2.1 回回回报报报率率率的的的计计计算算算净回报率匨华卥却卒卥却卵卲卮匩，可以被想象成银行的存款利息。比方说银行的存款年利息是匶匥，存入本金匨卄卥印卯即卩却匩匤匱匰匰匰匰，一年后再取出来，存款就变成了

45、匤匱匰匶匰匰。如果说这匤匱匰匰匰匰是一笔投资，匶匥就是这笔投资的回报率。这一正本书都是关于回报率的描述，为了体现回报率的重要性，在编程和写作中，我们使用一个专门的英文字母，小写的 r指代回报率。这个银行存款的例子里 r 匽匰 :匰匶。收益匨卒卥卶卥卮卵卥匩，指的是经过投资，增长出的，以前本金中没有的数额。收益可以是正值或负值，正值说明投资挣到了钱，负值说明投资赔了钱。在上面存款的例子里，收益是匤匶匰匰。写成数学语言： Revenue 匽 r Deposit 匽匰 :匰匶匱匰匰匰匰匽匶匰匰。总回报率匨升卲卯即即卒卥却卵卲卮匩，也被称为毛回报率，指的是经过投资，结果的总数与本金之间的比率。

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