1、11三角形内不等式zhangyuong(数学之家)前言关于三角恒等式和三角形内不等式的书籍不多,而且介绍的内容比较散,但是在05年联赛又确实出现过一道相当难的三角,并且三角恒等变换在高中数学竞赛中也确实占有重要地位.因此我在离开学校之前搜集了一些资料,对三角不等式的内容进行了一些总结教程编排本教程以介绍知识为主，对读者有一定知识需求第一部分是教程本身.要是一些基础的介绍和呈现二例题.一些教程的内容的证明会放在例题当中,同时在例题当中会再介绍一些重要的定理,如换元的理论基础,以及实际例子等,都将包含第三部分是习题.基本上是例题的变式或者相类似的题目,供读者模仿练习和思考使用本教程时候,每一个部分
2、都不能忽略,每一个部分价值都是同等的特殊记号, , , , , ,aaaaSRrhmwIHA a a a如 不 加 说 明 ， 用 字 母 分 别 表 示 三 角 形 面 积 外 接 圆 半 径 内 切 圆 半 径 ，所 对 旁 切 圆 半 径 边 上 的 高 线 长 边 上 中 线 长 边 上 角 平 分 线 长 内 心 ， 垂 心22第一部分讲面积公式我们最初在中学习三角形面积的时候，是从开始的，然后在高中，我们用三12aSah=角函数表示底边上的高，从而得到公式，然后再由于正弦定理的引入，还ah 1sin2SabC=有其他三角形内的性质，面积公式越变多。1.建立面积公式的第一个途径第一个
3、建立面积公式的是基于1sin2SabC=如果我们将角元素全化为边，那么可以得到4abcSR=同样，如果我们将边元素全部化为角，就可以得到2sinsinsinSRABC=只保留一边，可以得到21sinsinsin()BCSa= +由于三边可以确定一三角形，因此尝试仅用边来表示面积考察公式,1sin2SabC=由于 2222 2 ( )( )( )( )sin1cos1( )2 2abcabcbcacbabcC C ab ab+= =因此( )( )( )( )1sin2 4abcabcbcacbSabC+= =如果在这里采用半周 ，则面积公式可以写为1( )2pabc=+ ()()()Spapb
4、pc=但是将个公式展开，则可以得到222222 44412( )( )4S abbccaabc= +上述仅用边表示的面积公式，称为海伦公式2.建立面积公式的第二个途径33另一个途径，则是回忆初中经常考虑的问题，已知三角形三边长和面积，求内切圆半径这个问题的解决，只要将三角形各顶点跟内心连线，将原三角形分成三个小三角形，然后三小三角形面积分别表示之后，再相加，便得到面积因此可以得到，如果将半周运用正弦定理全部化为角的形式，那么可以得到Spr=事实上这条面积公式可以将乘积用三边表示出来(sinsinsin)SRrABC= + Rr再考虑到旁切圆：上图中F，D分别是内切圆和旁切圆的切点，由于aAFI
5、ADI因此 ()aarAFpaSprprrDp= =，用上面的两个途径，我们可以得到以下面积公式：2 2222222 44411 1sinsinsin sinsinsin ()()()22 4 sin()12( )( ) (sinsinsin)()4a aabc BCSahabCprRABCa papbpcRabbccaabcRrABCpr= = = =+= += +=44第二讲三角形中的一些基本量3.内切圆代换三角形很特殊，是因为它的三边a,b,c有着互相约束的关系：1m ax,( )2abcabc这之所以被称为内切圆代换，那是因为a,b,c的代换量x,y,z分别就是自A，BC到内切圆的切线
6、长度如图， , ,ayzBCBDCDbzxACEAEcxyABAFBF=+=+=+=+=+=+这个代换的强大之处在于，它将三角形的三边约束条件，转化为三个正数的条件这是因为存在一个三角形的充分必要条件是：三边a,b,c满足1m ax,( )2abcabc + + +实 数 为 三 角 形 三 内 角 则在这里给出两个比较常见的方法:(方法一)由 展开即得，读者可以自行验证此方法2 2( coscos)(sinsin)0xyCzByCzB + 的正确性(方法二) , , , ,ijk ij Cjk Aki B =构 造 三 个 平 面 单 位 向 量 使 得2( )0ixjykz+则 由 展 开
7、 即 得(4)对于嵌入不等式,我还想讨论更多.在例题4中,请证明第11目出现的所有三角基本不等式在例题3的中,令x=yz,马上就可以得到 3coscoscos2ABC+注意到第5目中出现的恒等式:(coscoscos)11sinsinsin222 4 8ABCABC+= 另一方面,由均值不等式:3coscoscos1coscoscos( )3 8ABCABC+ =继续运用恒等式:2 2 22 2 2 3coscoscos12coscoscos49sinsinsin22coscoscos4ABCABCABC ABC+= +=+ 考虑正弦函数:2 2 2 3sinsinsin3(sinsinsin
8、)2CauchyABCABC+ +由 不 等 式 1 3coscoscos(sinsinsin)2224 8ABCABC=+3sinsinsin3sinsinsin( )3 8ABCABC+ =这些就是在第11目出现过的所有基本三角不等式1414(5)证明第12目的基本三角不等式tantantantantantan,13tantantan3(tantantan), tantantantantantan3cotcotcotcotcotcot1cotcotcot3(cotcotcotcotcotcot)3tantantan3222cABCABCABCABC ABCABCBC AAB ABBCCAC
9、+= += + + =+ + + =+由 由 均 值 不 等 式 有因 此由 得 到同 理由 此1 1tantantan222otcotcot(tantantan)( )3222222 3ABCABCABC += (6)(Weitzenbck)222, , 43abc Sabc S+三 角 形 三 边 长 为 面 积 为 则在这里给出几个朴素的证法，希望读者可以基于这些证法熟悉本教程的内容(方法一)222 2 2222 2 222cos 1,22 2 1cos2, 2(3sin1)(3sin1), 3sincos21cosabc c cC abababCabcabc cabc Cc CC+=
10、+ +由 于 得而 本 题 即 证即 而 这 由 可 知 成 立(方法二)222 2222, 3( )( )( )( )( )( )( ) 3( ), ( )3( )abc abcbcacbabcabcbcacbabc abc abcabcabcabbcca+ + +由 海 轮 公 式 即 证而 由 可 知 即 证而 这 是 显 然 的 因 为(方法三)2 2 22223 3 31 1 1sin sin sin2 21()(sinsinsin), 3()2 3sinsinsin ,8SabCbcAcaBSabcABCabcabcABC= = = +因 此 又因 此 即 证 这 是 我 们 熟
11、知 的 结 果(方法四)1515222: 4(cotcotcot)abcS ABC+=首 先 证 明 面 积 公 式 222 222 222222cos , cot2 2sin, cotcotcot( ), 4cotcotcot3,bca bcabcaA A R Rbc RbcAabcR abcABCabc Sabc RABC+ + += = =+=+ =+这 是 由 于 因 此还 有 类 似 二 式 三 式 相 加 有 注 意 到 面 积 公 式而 且 因 此 本 题 证 毕(7)若正数a,b,c满足,则存在三角形ABC使1abbcca+=cot, cot, cot( tan, tan, t
12、an)2 2 2ABCaAbBcCa b c= =或本例题是三角换元的理论基础,有了本题的结论,三角换元才是有道理的这里只证明余切函数,正切函数的证明是完全一样的cot, cot, cot, , (0,)211cotcottantan1cot cot( )cotcottantanaAbBcCABCabABABC ABabABC = = = =+ + +=设 其 中 都 是 区 间 的 角那 么因 此这就证明了我们的结论在习题中,会让你证明余弦函数的换元的可行性,在之后的例题中,假设读者已经证明了余弦函数换元的可行性(8)对于正数a,b,c满足,1abbcca+= 2 22 22 2( )( )
13、( )1aabbbbccccaa+求 证2 2 2 22 21 1 3() ( )(), 7 tan, tan, tan2 2 4 2 2 2cos 32, , coscoscos,2228coscos22 ABCaabbababab a b cC ABCabAB+=+ =+= 由 于 而 由 例 题 可 设有 代 入 后 即 证 这 是 我 们 熟 知 的 结 果(9)x,y,z,a,b,c都是正数且,那么1abbcca+=222 2 2 22 2 21 1 1a b cxyz yz zx xya b c+ + + + +2227 cot, cot, cot, 2cos2cos2cos,aA
14、bBcCxyzyz zx xyC=+ + +由 例 题 可 设 那 么 原 不 等 式 等 价 于这 是 我 们 已 证 明 的 嵌 入 不 等 式1616(10)正数x,y,z满足 ,那么2 2 21112111x yz+=+ 22 22 22651 1 1xy yz zxxy yz zx+在本例题中,我们将使用余弦函数的换元2222 2 22 22 2 21112, , , , 1111 3cos, cos, cos, 21212(2-1)(34)0, ( )2525112366( ) ,25255111pxyqyzrzxpqrpqx yzABCpAqBr Cpqrppp pppqr pq
15、rpqr+= = +=+ = + +由 于 展 开 后 并 令 可 得可 知 存 在 三 角 形 使 因 此 有由 于 展 开 有所 以 这 就 是 所 要 证 明 的(1)三角形ABC中,有 1cotcotcot(cotcotcot)3222ABCABC+本例开始将使用切代换由于切代换有2种,分别是正切和余切的代换,但是两种代换各有优劣在这里我将把两代换的方法都给出,读者自行比较(方法一)2tan, tan, tan,2 21133 , ( ) ( )2 2, 2ABCu v wu vw vwuvw uvuu u uvw uwuvuvw uu vw= =+ + + 则 原 不 等 式 等 价
16、 于即即 而 这 由 等 三 式 知 成 立(方法2)22cot, cot, cot1cos1 1,cot ()( )2sin 12() ()( ),uAvBwCuAAu uuvuwuuvwuvuw= += = =+令 由 半 角 公 式因 此 原 不 等 式 等 价 于 这 是 显 然 的1717(12)(05联赛)三角形ABC中,证明2 2 2coscoscos11cos1cos1cos2ABC+ + +这是一道相当难的问题,这里给出的是标准答案的方法,也就是运用切代换解决的方法22 2 22 32 22 2 2 223 32 22 33222cot, cot, cotcos ( 1)11
17、cos ( 1) 1 1 11 1 11( )2()( )cos 1 11cos 2 2uAvBwCuA u uuu uu uu uuu u uuu uu uuvuwuvuwA uvuvwuv= += = = =+ + + + += + + =+ 令 有所 以(13)三角形ABC中,用不同于例题4中的方法证明以下不等式:1sinsinsin2228ABC3coscoscos23sinsinsin2ABCABC+在例题12介绍的方法,则是一个三角函数有界性的运用,cos( )1,BCBC BC =对 于 三 角 形 内 角 则 其 中 等 号 条 件 为由于三角不等式的证明当中许多的等号条件都是
18、角相等因此上述经常能够运用上21 1 1sinsinsin(cossin)sin(sin)sin22222 222228 3coscoscos2coscos12sin12sin(1sin)2 2 2 22sinsinsin2sincos2sincos2cos(sincos)2 2 22 22 24(3sin)(1s2ABCABCC CCABAB CCCABCABABCCCCABABCC = += + + += + = + +4463in)(1sin)(1sin) ()2 2 23 2CCC+ =1818(14)正数x,y,z,a,b,c满足, ,aybxcxazbbzcya+=+=+=求证:
19、21-1-1-xyzyzzxxy+这个例子也是运用例题13介绍方法的例子里需要余弦换元,将题设给出方程组解出x,y,z就很明了当然如果从另一个角度,那就是三角形的射影定理: ,那么这个换元是显然coscosabCB=+的cos, cos, coscos 2cos2cos12211coscos2(cos( )cos)1cos1cos121cos1 9 9231cos3cos32xAyBz Cx A A Ayz BC BCA ACauchyAA A= = = + + =+ + +令 则 则 原 不 等 式 等 价 于 ， 由 不 等 式(15)锐角三形ABC中,有coscoscos2(coscos
20、coscoscoscos)ABCABBCCA+ + +本例题是介绍常数1的运用23 2coscoscos1(coscoscos)2 3coscoscos(coscoscos)2(coscoscoscoscoscos)3ABC ABCABCABCABBCCA+ + + +由 于 ， 所 以因 此本题直接来看,我们没有余弦函数和的基本不等式,但是经过上面的变形之后,不仅方向改变了,而且还能使不等式齐次化,这个技巧值得大家注意1919第三部分习题2222221., coscoscos14sinsinsin,2222., 1, cos, cos, cos,3. ,2 ( )()()()4.(ABCAB
21、CABC ABCpqrpqrpqrABCpAqBr CABCxyzabcabcabbccaxyz xy yz zxabcac a bFin +=+ += +=+ + + + +三 锐 角 满 足 求若 正 数 满 足则 存 在 锐 角 三 角 形 使 其 中求 证 对 任 意 正 数 有222 2 2 22 2 22 2), , ,43()()()5. ,14coscoscos2(coscoscoscoscoscos)6.tantantan28sinsinsin2227.(sinsin)(sinsin)(sin2 2slerHadwigerabc Sabc SabbccaABCBCCAABAB
22、C ABCABBC+ + +是 三 角 形 三 边 长 是 三 角 形 面 积 则锐 角 三 角 形 中22 2 2 2 2 22sin)328., 111 3141119. tantantantantantancotcotcot10.,CAxyzxyyzzxzx yzABCABCBCCAABFlFAFBFCabclabbcca+=+ + +=+正 数 满 足那 么三 角 形 中 ，锐 角 三 角 形 中 费 马 点记 表 三 边 长证 明2020习题解答： 1.5 , coscoscos14sinsinsin222 22sin4sinsinsin1coscos02222()2sin4sins
23、insin1coscos222() , ()() 2.ABCABCABCCABCABx ABxfx ABfx fCfCCABCf +=+ +=+ += =+=由 第 目 的 恒 等 式 ， 假 设 三 角 形 内 锐 角 满 足即 考 察 函 数有 在 正 数 范 围 内 单 调 且 依 题 设 有 ， 因 此所 以考 察 函 数 2 22() 2 1()cos, cos, cos,(cos)(cos),3. , ,()() ()() ()()()2222xxqrxqr fxpAqBr CABCABCf Cf CCABCab bc cap q rcacb abac bcbaababbcpqrp
24、qr=+= += = =+ + +=， 则 在 正 数 范 围 内 单 调设 ， 其 中 都 是 锐 角由 三 角 形 内 的 恒 等 式 ， 设 锐 角 三 角 形 三 内 角则 依 题 意 有所 以 因 此令有2 22 2()()2 1()()() ()()()2 cos, cos, cos, ,2222cos2cos2cos1cos() ()4.tan2sin 2sin 4tantantan22bccaca abcabca abcapCqAr BABCxyzxyCyzAzxBAAabcabcbcA SAB+ =+=+ + + = = =+由 习 题 第 题 知 可 设 其 中 是 锐 角
25、 三 角 形 的 内 角原 不 等 式 等 价 于由 于且 222 2 2 23, 43()()()2C abc Sabbcca +所 以2 2 2 2 2 22 25.14coscoscoscoscoscos6coscoscos6coscoscos2(coscoscoscoscoscos)(coscoscos)2, 1(coscoscos)3, 9coscoscos2(coscoscoscos)6ABCABCABCABCABBCCAABCABCABC ABAB+ =+ + + + + +即 证当 右 式 为 非 正 时 显 然 成 立 ， 当 右 时 为 正 数 时 由 于相 乘 即 证3
26、2 23 2 2 coscoscoscos(coscoscoscos)cos3coscoscos(coscoscoscos) ABCA ABABAABC ABABSchur + + 即 这 由 不 等 式 知 显 然 成 立21212 2 26.05tan, tan, tan2 2 2sin2sin2sin22sincos( )2sincos2sin(cos( )cos( )4sinsinsintantantan2tantancos2tantancos2tantancos22 22 22ABCx y zABCCABCCCABABABCABCAB BC CAC A B= =+= += +=+ +
27、 +这 事 实 上 是 联 赛 题 的 等 价 形 式在 嵌 入 不 等 式 中 令注 意 到有 sinsin cossincos22 222cos( 1)2(coscoscos)2 28sinsinsin222coscos coscoscos22 222sin2sin2sin228sinsinsin28sinsinsin16sinsinsin222 222 2222coscoscos22228si AB CCC ABCC ABCAB ABCABC ABC ABCABC= += += + =+ = nsinsin222ABC7.2sinsincos14sinsinsin22 222tan, t
28、an, tan2 2 22 14()()( )()( )() 2211 22 ( )()()( )()( )()14(AB ABCAABCu v wuv uvwuv uuvwuwvuvuv uvwuvuvuvwuwvuvwuuvwuwvuvwu=+ = =+ + + += + +=+展 开 后 ， 由 二 倍 角 公 式 ， 即 证令原 不 等 式 等 价 于而)()( )v u+221 18.tan, tan, tan cos(cos)22 2 2 2211 3sincossin, coscossin2222 21coscossin2sin(coscos)2sin(1cos)22 2 2 2
29、4 46(3cos)(1cos)(1cos)(1cos) (2 2 2 234ABC Ax y z Axz CCC ABCz CABCCCABCCCCC= = =+= = + += + += +令 ， 则因 此 原 不 等 式 等 价 于 3) 2=,证 毕2 2sinsincos( )cos( )cos( )cos cos9.tantan 12coscoscos( )cos( )cos( )coscos( )coscos1cos1cos12 ( )cot1cos1cossinBCBCBCBCA ABC BCAA A AA+ += = = =+ + + = = = ， 还 有 类 似 二 式
30、相 加 即 可10. ,222222 222cos( ) 2 cos2sinsin3 2 3 31222( )232 12222 2 2( )()()2AC ACDBCE FAEBDPtolemy lBD bcal cbbcAbcbc bcAbcabc SFinslerHadwigerl abc abbc = +=+ +=+ +=+ +由 平 面 几 何 知 识 可 知 ， 以 为 边 向 外 作 正 三 角 形 同 理 有 ， 则 费 马 点则 由 定 理 知 ， 这 样 由 余 弦 定 理， 由 不 等 式 有2()caabbcca+=+2323参考文献1杨学枝:数学奥林匹克不等式研究2沈跃虎:高中数学竞赛专题讲座三角函数3李世杰:高中数学竞赛专题讲座不等式4陈计,季潮丞:数学奥林匹克命题人讲座：代数不等式5朱华伟:从数学竞赛到竞赛数学6沈文选:平面几何证明方法全书7苏勇,熊斌:数学奥林匹克小丛书（高中卷5）不等式的解题方法和技巧8中等数学207年第4期，207年第5期9O.Botem a:几何不等式10熊斌,冯志刚:奥数教程（高一分册）
