1、第四章 运输问题,运输问题的表示网络图、线性规划模型、运输表初始基础可行解西北角法、最小元素法非基变量的检验数闭回路法、对偶变量法确定进基变量，调整运量，确定离基 变量,运输问题的提出,运输问题的直接背景是单一品种的物质的运输调度问题，其典型情况是：设某物品有m个产地A1,A2,Am,各产地的产量分别为a1, a2, , am; n个销地B1, B2, , Bn,各销地的销量分别为b1, b2, , bn. 假定从产地Ai(i=1,2, ,m)向销地Bj(j=1, 2, , n) 运输单位物质的运价为cij, 问怎样调运这些物品才能使得总运费最小？,运输问题的表示网络图,产地,销地,若 则称该
2、问题为平衡运输问题，否则称为非平衡运输问题。,运输问题的表示表格表示,这个表常称为运输表,运输问题的数学模型,平衡问题的数学模型为,各产地运出的物资数量等于其产量,各销地接受的物资数量等于其销量,其中,运输问题一定存在最优解 实际上是平衡运输问题的一个可行解。此外由于目标函数有下界，因此平衡运输问题存在最优解。,运输问题系数矩阵的特点,m,n,上述矩阵的列向量具有形式,第i个,第(m+j)个,因此运输问题约束条件系数矩阵的元素只能是0或1，对应变量xij列除了第i个与第(m+j)个分量为1外，其它分量均为零,此外产销平衡运输问题的数学模型还具有特点： 所有约束条件都是等式 前m个约束条件的和等
3、于后n个约束条件的和（可以证明尽管有m+n个约束条件，但独立的约束条件只有m+n-1个）,运输问题的例子表格表示,运输问题的例子线性规划模型,供应地约束,需求地约束,运输问题的解,运输问题的解可以表示为X=(xij), 它表示一个运输方案，其中xij表示从产地Ai到销地Bj 运送的物质数量 在用运输表表示运输问题时，也常将xij取的值填入对应的格子表示一个解。 但是对基可行解，通常仅将基变量取的值填入相应的格中，称之为数字格，而对应着非基变量的格子，则不填数字，称之为空格。 注：在一个基可行解中，所有mn个变量（格子）中，只有m+n-1个基变量（数字格）,求解运输问题的表上作业法,求初始基可行
4、解（初始调运方案）,西北角法 最小元素法 沃格尔法,初始基可行解西北角法,8,8,6,4,8,14,初始基可行解最小元素法,8,2,10,14,8,6,沃格尔（Vogel）法,14,8,8,12,2,4,检验数的计算,两种方法：闭回路法和对偶变量法闭回路法的原理：非基变量的检验数等于非基变量增加一个单位时，目标函数的改变量,检验数的计算闭回路法（1）,8,2,10,14,8,6,1,检验数的计算闭回路法（2）,8,2,10,14,8,6,1,2,检验数的计算闭回路法（3）,8,2,10,14,8,6,1,2,1,检验数的计算闭回路法（4）,8,2,10,14,8,6,1,2,1,-1,检验数的
5、计算闭回路法（5）,8,2,10,14,8,6,1,2,1,-1,10,检验数的计算闭回路法（6）,8,2,10,14,8,6,1,2,1,-1,10,12,检验数的计算对偶变量法,对偶变量法也称为位势法，它是利用运输问题的对偶问题求检验数。 设运输问题的对偶变量矩阵为则对偶问题为,利用单纯形法的矩阵表示可知，变量xij的检验数可以表示为,另一方面，对于(m+n-1)个基变量而言，检验数等于零，故可以得到包含(m+n)个变量的(m+n-1)个方程,由该方程组求出对偶变量后即可计算出所有的检验数。,检验数的计算对偶变量法,8,2,10,14,8,6,u1=0,v3=4,v4=11,u2=-1,u
6、3=-5,v1=3,v2=10,1,2,1,-1,10,12,解的改进,8,2,10,14,8,6,-1,解的改进,8,12,14,8,4,2,解的改进,8,12,14,8,4,2,u1=0,v3=4,v4=11,u2=-2,u3=-5,v1=4,v2=10,最优解（最优调运方案）,8,12,14,8,4,2,最小运费：,表上作业法的几个问题,换入变量的确定 退化（两种情况） 无穷多个最优解的判别,产销不平衡的运输问题,解决的基本思路：将其转化为产销平衡的运输问题求解,产大于销的运输问题,这时有,，数学模型为,处理的办法为增加一个假想的销地Bn+1，其销量为,各个产地运送物质到假想销地的单位运
7、价为零，即ci(n+1)=0,假想的销地,这时有,，数学模型为,销大于产的运输问题,处理的办法为增加一个假想的产地Am+1，其产量为,假想产地运送物质到各个销地的单位运价为零，即c(m+1),1=0,假想的产地,表上作业法的计算步骤：,表上作业法计算中的问题：,（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取ij0中最小者对应的变量为换入变量。 （2）无穷多最优解产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的ij0，则该问题有无穷多最优解。, 退化解： 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则
8、需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过2个最小值）作为调整量，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“”以示作为非基变量。,12,4,11,4,8,3,10,2,9,5,11,6,(0),(2),(9),(2),(1),(12),8,12,4,2,8,14,如下例中11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。,产销不平衡的运输问题,运 输 问 题,运输问题的应用,例： 有三个供应地要将物资运往五个需求地区，各产地的产量和个地
9、区的需求以及运费情况如下表。要求：其中B2地区的115个单位必须满足。,问：应如何运输总运费最小？,运 输 问 题,运输问题的应用,解：由于产量小于需求，因此虚设以产地A4，其产量为供需的差额20。与此项有关的费用一般设为0。,又因为B1地区的需求要保证，所以应该迫使虚设产地运输到该地区的运费成本极高，从而在优化过程中实现0运量。因此取该项费用为一个充分大的数M。,由此可以建立如下的产销平衡运输费用表：,运 输 问 题,运输问题的应用,运 输 问 题,思考题1：,某部有B1，B2，B3三个作战单位。每年分别需要某军用品3500吨、1100吨、2400吨，这些用品都要由A1, A2两兵工厂负责供
10、应，两兵工厂生产的军用品质量均相同。 假设A1, A2的供应能力分别为1500吨、4000吨，运价(元/吨)如下表所示。由于需求大于供给，经院研究决定B1区供应量可减少0-900吨， B2区必须满足需求量， B3区供应量不少于1 600吨，试求总费用为最低的调运方案。,运 输 问 题,思考题1（解）：,解根据题意以及给定的数据可知，这是一个产销不平衡的运输问题，需求量大于生产量。由于B1区供应量可减少0-900吨， B2区必须满足需求量，B3区供应量不少于1 600吨。可以把B1区和B3区分别设为两个区:一个为必须满足需求量的区域，另一个为可以调整供应量的区域。这样，原问题化为五个需求区域B1
11、， B1，B2，B3 ，B3的问题，同时增加一个虚设的产地A3。在运输费方面，取M代表一个很大的正数，使必须满足需求量区域的相应变量x31, x33, x34运费的取值为M，可调整需求量区域的相应变量x32 , x35运费的取值为0，作出产销平衡的运价表,运 输 问 题,思考题2：,已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示,求解运输费用最少的方案和总运费,运 输 问 题,思考题2（解）：,因产销不平衡，补充一虚拟销售地B4如下：,采用最小元素法可以得到初始可行解如下：,运 输 问 题,思考题2（解）：,计算检验数（位势法）,1,0,8,-6,-2,5,-5,0,10,8,5,4,-3,1,
12、0,8,-6,-2,5,-8,0,10,8,5,7,3,最优解！,运 输 问 题,思考题2：,已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示,求解运输费用最少的方案和总运费 ,A1B3(15) A2B1(18) A3B2(12);B3(1);B4(4) 总费用93. 但方案不唯一,(浙大2005年研究生考题),第4组作业,某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供15、20、30、25台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.18万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,第五组,P91页 4.4,
