1、儿童对概率概念的理解,杭州师范大学：巩子坤 Email：,一、研究的缘起,（一）课程改革我国于2001年，将“概率”内容全面列入课程标准之中。研究表明，有关该部分内容的教与学问题最多、最突出，表现在：（1）教师不适应课程标准的要求；（2）学生不适应课程标准的要求；（3）课程标准的安排缺乏层次性。于是：修订课程标准，大幅度降低难度。然而，相对于其他国家的课程标准，我国无论在内容的深度、还是在内容的广度上，都是比较低的。这样做的理论依据和实践依据是什么？,一、研究的缘起,（二）认知心理学“学习从属于发展，而不是相反。向儿童教授新概念应尽可能按其在自发的认识过程中的顺序进行。因为过早地教给儿童自己日
2、后能够发现的东西，这样会使他不能有所创造，结果也不能对这种东西有真正的理解。” （Copeland,1979）只有从心理学的角度拿出数据来，界定了儿童的概率概念认知发展阶段，才能够解决了标准中的问题，才能够使争论得以化解。,二、研究的问题,因此本研究主要关注，在课程改革已实行几轮的背景下小学生，即612岁儿童，对概率概念的理解，具体地说，主要研究两个问题：1. 目前我国小学生对概率概念的理解主要有哪些错误认识？2. 小学生对概率概念的理解处于什么水平层次？,三、研究的方法,（一）研究对象选取的对象是杭州市的小学一至六年级的小学生，总数为803人。每个年级选取了四个班级，其中两个班级来自城市学校
3、，两个班级来自农村学校。 表 儿童的基本信息,三、研究的方法,表 各年级学生的平均年龄,三、研究的方法,（二）理论基础,表 学生概率思维发展框架,三、研究的方法,主观水平（S）：处于这一水平的学生总是基于自己的个体特性或主观经验进行推理回答，比如说以自我为中心的回答、完全无关地回答、不合逻辑的回答等。过渡水平（T）：该水平是主观水平（S）向不规范的定量水平（I）的过渡阶段。处于这一水平的学生认识到量化的重要性，但他们的回答往往是天真且固执的，而且往往会倒退到主观水平，有时总是寻找一个例证来说明自己理由，而不考虑其他的情况。不规范的定量水平（I）：处于这一水平的学生能认识到一个试验的多个方面的特
4、征，而且能进行一部分整合，利用量化推理。比如计算一个事件的概率时考虑到列出试验的所有结果，但往往带有局限性。数值水平（N）：处于这一水平的学生不仅能利用系统化的策略列出试验的所有结果，而且能利用准确的数值去描述等可能性情境或不等可能性情境下事件发生的概率。,三、研究的方法,（三）问卷设计 1.问卷结构本研究主要从四个方面了解学生对概率概念的认识。这四个方面分别为：（）区分必然事件、可能事件和不可能事件；（）样本空间（区分、罗列样本点）；（）事件的概率；（）概率比较。,表 一、二年级测试卷（问卷A）中各个类型题目的数量,表 三六年级测试卷（问卷B）中各个类型题目的数量,三、研究的方法,2.题目举
5、例 1.下列现象中哪些不可能发生，哪些可能发生，哪些一定会发生，在括号中填上你认为最合适的答案：A不可能 B.可能 C.一定 （4）投掷一个骰子，正面朝上的点数比6大。 （ ） （5）投掷一个骰子，正面朝上的点数不是6。 （ ） （6）投掷两个骰子，正面朝上的两个点数都比7小。 （ ） （7）投掷两个骰子，正面朝上的两个点数都是6。 （ ） （8）投掷两个骰子，正面朝上的两个点数之和是1。 （ ） 4.如下面的第一个转盘，当指针指向左边时就得到数字1，指向右边时就得到数字2。现在同时转动两个转盘的指针，用得到的两个数字组成两位数，你一共能组成几种不同的两位数？（ ） A.1种 B.2种 C.4
6、种 D.8种 E.不知道为什么？说说你的理由,7 (1).在一个盒子里面有1片红色和4片绿色的口香糖。假设你摸到了一片红色的口香糖。拿出这片口香糖，再摇一摇，你闭上眼睛再摸一次，你最有可能摸到什么颜色？（ ） A.红色 B.绿色 C.不知道 为什么？说说你的理由：（2）你知道摸到这种颜色的口香糖的可能性有多大吗？说说你的理由。 理由：13同时抛两枚普通的硬币，下面说法正确的是（ ）A两个正面朝上的可能性大B两个反面朝上的可能性大C一个正面朝上一个反面朝上的可能性大D都一样大E无法比较为什么？说说你的理由：,三、研究的方法,四、研究的结果（一）：错误理解,（）总体情况通过分析803位儿童的书面回
7、答发现，目前儿童在回答时反映出的错误概念仍然较多。这里将儿童的错误概念根据认识上的共性按照由高到低的频次分为以下九类：（1）主观判断；（2）等可能性偏见；（3）机会不能量化或预测；（4）代表性；（5）预言结果法；（6）用自己的方法比较或计算机会；（7）用数据匹配解释机会值；（8）用经验或举例说明或比较机会；（9）简单复合法。每类错误概念使用次数见图1。,四、研究的结果（一）：错误理解,使用各类错误概念的例子从图1可以看出前三类错误概念使用频率较高，第8类和第9类错误概念使用频率较低。前三类错误概念，将在下面详细论述。此处举例说明第4-9类错误概念。第4类代表性。这一错误概念的使用主要是在概率比
8、较问题中使用。比如对于问题5，一位9岁的儿童03208108给出的回答是：答案：（C）。 理由：因为抛硬币会有正面出现，也有反面出现，应该是一个正面朝上一个反面朝上的可能性大。这类儿童往往会从反映这一事件或样本的产生过程内在特点的程度出发来考虑问题。犯第5类预言结果法错误概念的儿童会预测每一次试验的结果，他将概率看作为一种预测，因而，在每次试验以后就判断说某一概率是预测对了还是错了。例如对于问题1，一位9岁的儿童03226109给出的回答是：答案：（B）。理由：这一次应该会摸到红色，肯定会对的。,四、研究的结果（一）：错误理解,第6类。这类儿童使用的错误概念是用自己的方法比较或计算机会。例如对
9、于问题5，儿童16113011给出的答案是：（D）。 理由： 。访谈了解到，她的计算方法是这样的：每个结果出现都有两个面，所以每种情况的可能性就是 ，所以可能性是一样大的。第7类。这类儿童往往在解释机会值的时候寻找一些数量来支撑自己的说法，所以属于用数据匹配解释机会值这类错误概念。例如对于问题4，儿童03201009给出的答案是：（A）。 理由：转盘甲有4块，转盘乙有3块，所以甲的可能性大。第8类。这类儿童回答时往往寻求上次的经验或者类似问题的经验，容易犯用经验或举例说明或比较机会的错误。例如对于问题3，一位9岁的儿童03221009给出的答案是：（B）。 理由：上次我和同学玩这个游戏的时候，
10、我们抛到反面的次数很多，所以反面的可能性大。,四、研究的结果（一）：错误理解,第9类。简单复合法是将一个多步的任务分割成多个独立的一步任务，也就是认为一个两步试验等于两个一步试验，例如对于问题5，儿童15316010给出的答案是：（D）。 理由：因为每抛一次硬币，正面和反面的可能性是一样大的，所以抛两次也是一样大。这个儿童就是将两枚硬币分割成两个一步试验，第一次的机会一样，第二次的机会也是一样，两次相加也是一样，所以使用是简单复合法这一错误概念。,四、研究的结果（一）：错误理解,（一）主观判断1. 学生在回答时总是基于自己的个性特点或主观经验进行推理回答，比如是以自我为中心的回答、完全无关的回
11、答或不合逻辑的回答。这种错误概念在每个年级都会出现，但随着年龄及知识的增长，使用比例逐渐减少，但仍然存在。2.相关例子（1）对于问卷A的问题2，盒子里有4个绿球、3个红球、2个黄球，现在我摇动盒子，你闭上眼睛从盒子里摸出一个球，你摸到的球可能是什么颜色？ A绿色 B.红色 C.黄色 D.绿色或红色或黄色 E.不知道一位一年级的学生LS1204107给出的答案及理由是：答案：（C）。理由：因为黄色hn pio ling.另一位二年级的学生TD2210107给出的答案是：答案：（B）。理由：因为我妈妈喜欢红色。,（2）问卷B的问题6，在一个盒子里面有1片红色和4片绿色的口香糖。摇一摇后，你闭上眼睛
12、并从里面摸出一片口香糖。你摸出的口香糖最可能是什么颜色？ A.红色 B.绿色 C.不知道 一位三年级的学生LS3201009给出的答案及理由是： 答案：（B）。 理由：因为绿色口香糖很香很清爽，红色口香糖有一点香（有）一点清凉，所以绿色口香糖的可能性大。（3） 问卷B的问题9，一枚普通的硬币，现在把硬币抛向空中，落地后哪一面朝上的可能性大？或是一样大？ A正面可能性大 B反面可能性大 C一样大 D无法比较 一位三年级学生LS3221008给出的回答是： 答案：（D）。 理由：因为上面和下面一样美，很容易吸引人们，所以无法比较。,四、研究的结果（一）：错误理解,3.使用频率,四、研究的结果（一）
13、：错误理解,表3.1 各年级使用“主观判断”错误概念的频数及频率,四、研究的结果（一）：错误理解,以上表及图表明，主观判断这一错误概念在一年级及二年级是一种常见的、主要的错误概念；虽然在三年级这一错误概念的使用频率只到19.5%，但任然是三年级观测到的错误概念中使用频率最高的。图表明随着年级的增加及概率相关知识的学习，学生对主观判断这一错误概念的使用比例逐渐减少，但是在少数高年级学生中依然存在。,四、研究的结果（一）：错误理解,从图2可以看出，所有的这些儿童，无论是低年级还是高年级儿童，或多或少都会在理解可能性时使用主观判断这个错误概念，如果说低年级儿童是因为相关知识及认知水平不够，那么高年级
14、儿童又是因为什么原因呢？究其原因还是因为儿童没有真正理解概率中所体现出的这种随机思维。不过随着教学的逐步进行，这种错误概念的使用随着儿童年龄的增加而逐渐减少。,四、研究的结果（一）：错误理解,（二）机会不能量化或预测1. 很多没有学习过多少概率知识的学生甚至是成人都认为随机现象是没有规律可言的，它们是不确定的，因此机会是不能量化或进行预测的，这在每个年级的小学生之间更是一个普遍存在的错误概念。2.相关例子（1）第一类学生把预言哪一个结果发生的可能性较大看作是预言哪一个结果将会发生，这是导致“机会不能比较”的一个主要理由。如对问卷B的问题9：一枚普通的硬币，现在把硬币抛向空中，落地后哪一面朝上的
15、可能性大？或是一样大？一位三年级的学生LS3110109回答说： 答案：（D）。理由：因为硬币落下来有时是正面，有时是反面，如果是正面就是正面可能性大，如果是反面就是反面可能性大，这只能看你运气好不好，所以无法比较。另一位六年级的学生LS6423012给出的理由也是类似：答案：（D）。理由：因为在没有落地之前，我不会知道。落地之后，正面可能性大或反面可能性大，所以不能比较。,四、研究的结果（一）：错误理解,一位五年级的学生TD5204010认为这与抛的次数有关，她是这样回答的：答案：（D）。理由：因为如果投偶数次，两面出现次数可能相同，如果投奇数次，一面可能出现3次或2次或1次，是要看投的次数
16、，这不能比较的。（2）第二类学生认为机会就是运气，因此机会是不能量化或进行预测的，更不用说进行比较大小了。同样还是对于问卷B的问题9，一位四年级的学生TD4406010给出的回答是：答案：（D）。理由：因为谁也不知道硬币落下来是哪一面，这是要看运气的，当然不能比较了。另一位学生TD4215010写道：答案：（D）。理由：我不是巫师，我不能猜测的。两个面都有可能，谁大要看运气的，要听天由命。,四、研究的结果（一）：错误理解,所有的这些学生把机会看作了预言结果的根据，然而结果是不确定的，全凭运气，所以他们认为无法预言哪一结果出现的可能性更大。尤其对于每一结果出现的可能性相等或每一部分的元素数目相等
17、时使用这种错误概念的人数就会多一些。3.使用频率,表 各年级使用“机会不能量化或预测”错误概念的频数及频率,四、研究的结果（一）：错误理解,数据表明，机会不能量化或预测在整个小学阶段是一个常见的错误概念，其中在四年级“机会不能量化或预测”是使用频率最高的一个错误概念。然而在小学阶段这一错误概念的使用并没有随着年龄的增长及概率相关知识的学习而逐渐减少，反而有点增长的趋势，这可能与学生缺乏对随机现象反复观察的经验有关，也可能与学生缺乏对随机现象的正确认识有关。,四、研究的结果（一）：错误理解,（三）等可能性偏见1. 等可能性偏见是西方学生及我国中学生在回答时常见的一个错误概念，本研究表明在小学生中
18、，尤其是在高年级小学生中，等可能性偏见也是一个常见的错误概念。当学生无法对一个事件发生的大小赋予一个数值时，那么这个时候这个错误概念就冒出来了，而且学生认为每个结果发生的可能性相等，而且认为都是50%，也就是说有可能即相等；另外当学生列出一个试验的所有可能结果或者可能只是部分结果（ n个）时，这样他们会认为每个结果发生的可能性就是1/n ，当然这种情况比较容易在小学高年级学生中出现。,四、研究的结果（一）：错误理解,2.相关例子（1）第一种情况，这在小学低年级学生中比较容易出现。比如对于问卷A的问题6，下面有两个转盘，用力旋转甲、乙两个转盘的指针，指针停下来后停留在其中一个区域上。如果你想让指
19、针停在黄色上，哪个转盘的可能性大？还是一样大？A转盘甲的可能性大B转盘乙的可能性大C两个转盘的可能性一样大D无法比较一位一年级学生LS1229007回答说：答案：（C）。理由：yn wi du 只有一个，su y一样大。在回答接下来的问题7时（想让指针停在红色上） 她给出的回答是：答案：（B），转盘乙的可能性大。理由：yn wi乙比甲多一个。也就是这位学生在进行比较时认为每块的可能性是一样大的，她考虑的是目标对象的数量，数量大可能性就大。 而另一位学生LS2130008对上面的问题7给出的回答是：答案：（C）。理由：因为它们两个都有可能，所以一样大。,四、研究的结果（一）：错误理解,六年级学生
20、在回答一个两步试验的问题，问卷B的问题13：同时抛两枚普通的硬币，下面说法正确的是， A两个正面朝上的可能性大 B两个反面朝上的可能性大 C一个正面朝上一个反面朝上的可能性大 D都一样大 E无法比较他同样还是使用了等可能性偏见这一错误概念，他给出的回答是：答案：（D）。理由：不管是哪一种都有可能，几率都是50%。在这里，无论是一步试验还是两步试验，他都认为只要可能发生，那么可能性就是50%。所有这些学生认为因为随机，所以可能性相等，Lecoutre称这种说理方式使用的是“机会模式”，这种情况在学生中比较普遍,四、研究的结果（一）：错误理解,（2） 第二种情况是学生看出所有结果发生的可能性的和为
21、1，因而他们认为有n 种结果，每个结果发生的可能性就是1/n 。这是因为学生不能正确列出事件中的所有基本事件，也就是不能正确找出样本空间，从而导致了等可能性偏见这一错误概念的使用。这种情况的出现需要学生学习了一定的概率相关知识及分数知识，因而在五、六两个年级中较容易出现。比如仍然对于问卷B的问题13，一位六年级的学生LS6417111这一回答道：答案：（D）。理由：因为一共有三个结果，每个结果的可能性都是33.3%，所以选D。 虽然这里他使用的是百分数，但仍然是由上面的这种 模式得出的百分比。另一位五年级的学生TD5320111对这题给出的回答是这样的：答案：（D）。理由：因为它们每个结果都占
22、 ，所以相等。,四、研究的结果（一）：错误理解,这位五年级学生TD5320111在回答后面的问题15：抛一枚普通的硬币5次，下面哪个结果出现的可能性最大（H代表正面，T代表反面），或者一样大，以及问题16：抛一枚普通的硬币5次，下面哪个结果出现的可能性最小（H代表正面，T代表反面），或者一样小时给出的回答都是：答案：（E）。理由：因为每个结果的可能性都是 。由此可见，高年级学生在处理两步或两步以上试验时对试验的样本空间还是不能完整罗列出来，因而导致使用了等可能性偏见，不能正确找出事件发生的可能性大小。,四、研究的结果（一）：错误理解,3. 使用频率,表 各年级使用“等可能性偏见”错误概念的频数
23、及频率,四、研究的结果（一）：错误理解,四、研究的结果（一）：错误理解,四、研究的结果（一）：错误理解,这是因为儿童不能正确列出事件中的所有基本事件，即不能正确找出样本空间，从而导致了等可能性偏见这一错误概念的使用。这种情况的出现需要儿童学习了一定的概率相关知识及分数知识，因而在11、12岁儿童中较容易出现，具体见图3。通过本研究发现在儿童中，使用等可能性偏见这一错误概念主要分为两种情况：一是认为有可能即机会相等，都是50%，这种情况主要在小学低年级儿童中使用；另一种情况是所有结果平分机会，而不管每个结果是不是等可能的，这种情况主要是在学习了一定概率知识的小学高年级儿童中使用。,四、研究的结果
24、（一）：错误理解,(四)代表性方法1. “与母体性质越相似（代表性越好）的情境，其发生的可能性就越大；与母体性质有一样的相似性（同等代表性）的两个情境，其发生的可能性也一样。”根据样本是否代表或者类似总体来判断其出现的概率：越具有代表性的，被判断为出现的概率越大；越少代表性的，出现的概率越小。比如：BGGBGB比BBBBGB，BBBGGG，更具有代表性。,四、研究的结果（一）：错误理解,2.相关例子（1）比如：对于问卷B的问题13，同时抛两枚普通的硬币，下面说法正确的是， A两个正面朝上的可能性大 B两个反面朝上的可能性大 C一个正面朝上一个反面朝上的可能性大 D都一样大 E无法比较一位三年级
25、学生LS3208108给出的回答是：答案：（C）。理由：因为不可能是一样，不会都是正面朝上或反面朝上，运气没那么好，应该是一个正面朝上一个反面朝上的可能性大。（2）再比如对接下来问卷B的问题14：抛一枚普通的硬币5次，每次朝上的都是正面，再抛一次，下面说法正确的是， A这一次正面朝上的可能性大 B这一次反面朝上的可能性大 C这一次正面和反面朝上的可能性一样大D无法比较,四、研究的结果（一）：错误理解,同样还是这位三年级学生LS3208108，他给出的回答是：答案：（B）。理由：因为不可能次次都是正面，这一次一定是反面。由此可见当学生不能对一个事件发生的可能性大小进行量化时，他们往往使用代表性的
26、方法来进行机会大小的比较。这样的情况在高年级学生中同样存在。实际上从问卷B的问题15和问题16我们更容易发现学生在主观估计机会过程中常常使用代表性方法这一错误概念，统计发现在三至六年级学生中，对于问题16有24.4%的学生认为选项C：THTTT出现的可能性最小，而理由几乎都是因为选项C中反面（T）出现的次数过多，从而不太可能。,四、研究的结果（一）：错误理解,3.使用频率,表 各年级使用“代表性”错误概念的频数及频率,四、研究的结果（一）：错误理解,小结本研究观察到了612岁儿童使用的九组有关概率的错误概念，本章详细报告了四组，其中主观判断、机会不能量化或预测是68岁学生使用的主要的两组错误概
27、念，主观判断这一错误概念会随着年龄的增长逐渐减少，但是机会不能量化或预测这一错误概念在高年级学生中仍然顽固存在；等可能性偏见、机会不能量化或预测及代表性是812岁学生中三组常见的错误概念，另外预言结果法这一错误概念的使用比例也相对较高。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,（一）四个水平的例子类型：事件的概率该类型的问题要求学生对一个事件发生的可能性大小进行量化，主要考察学生对事件发生的可能性大小倾向于进行定性还是定量描述。该类型问题的背景都是摸球问题，对学生来说是比较熟悉也是比较容易理解的背景，用来标记学生回答水平的依据都是学生回答的书面理由。 1. 主观水平的回答该水平的学生总是基于主观
28、判断预测事件发生的可能性的大小。比如对于问卷A的问题4：在一个盒子里面有1粒红色和4粒绿色的口香糖，摇一摇后，你闭上眼睛并从里面摸出一片口香糖。（1）你摸出的口香糖最可能是什么颜色？ A.红色 B.绿色 C.不知道 一位二年级的学生TD2208008给出的回答是：答案：（B）。理由：因为平常的口香tng的外皮都是绿色的。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,另外一位一年级的学生TC1522106给出的回答是：答案：（B）。理由：yn wi绿色在zu上min。很显然，虽然这两位学生选择的答案是正确的，但是从他们的回答的理由来看，他们的思维方式又是错误的，他们只不过是“误打误撞”基于自己的主观判
29、断而选择了正确答案，而不是基于数量关系来进行判断的，所以他们的回答都是属于主观水平。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,2. 过渡水平的回答处于该水平的学生会基于数量来预测事件可能性的大小，但会倒退到主观水平。例如仍然是问卷A的问题4，另一位二年级学生TD2219008给出的回答是：答案：（B）。理由：因为绿色多，多的就有可能摸到。但是对问题4（2）：你能用1到10之间的一个数来说明这个可能性的大小吗？并说说你的理由。 该学生给出的回答是：不能，因为又可能大，又可能小。而另外一位三年级学生TD3403009给出的回答是：答案：（B）。理由：我知道摸到这种颜色的口香糖的可能性很大，因为它的数
30、量比较多。处于这一水平的学生知道从数量上来判断可能性的大小，但是都倾向于定性描述可能性的大小，通常用可能性很大或可能性很小来描述事件发生的可能性，低年级的学生大多倾向于这种方式。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,3. 不规范的定量水平的回答处于这一水平的学生能基于量化的形式预测包括出现不连续结果事件可能性的大小，非正式地利用数值比较可能性大小。例如问卷B的问题6：在一个盒子里面有1片红色和4片绿色的口香糖。摇一摇后，你闭上眼睛并从里面摸出一片口香糖。（1）你摸出的口香糖最可能是什么颜色？（2）你知道摸到这种颜色的口香糖的可能性有多大吗？学生LS4215110给出的回答是：6（1）答案:（
31、B）。理由：因为绿色的口香糖比红色的口香糖多3个。6（2）答案：百分之70。理由：因为红色的只有一片，不大有可能摸出来。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,在这里我们可以发现这位学生是在红色口香糖的数量与绿色口香糖的数量进行比较的基础上得出结论的，而且他用一个百分数来描述拿到绿色口香糖的可能性大小，也就是说他倾向于定量的方式描述可能性。而且我们发现50%往往是处于这一水平的学生用来描述可能性大小的一个分界点，可能性大他们会取大于50%的一个百分数，一般是70%；可能性小他们就会取小于50%的一个百分数，一般是20%。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,4. 数值水平的回答该水平的学生能
32、预测一步或两步试验可能性的大小，能量化事件发生的概率。下面我们仍然以问卷B的问题6为例进行说明。一位五年级学生LS5216011给出的回答是：6（1）答案：（B）。理由：因为红色的可能性是1/5 ，绿色的可能性是4/5 。我们可以看到无需看6（2）的答案就知道这位学生能正确找出一个一步试验的发生的可能性大小。对于问卷B的问题7：在一个盒子里面有1片红色和4片绿色的口香糖。假设你摸到了一片红色的口香糖。拿出这片口香糖，再摇一摇，你闭上眼睛再摸一次，你最有可能摸到什么颜色？A.红色 B.绿色 C.不知道这位学生给出的回答是：答案：（B）。理由：因为只有一片红色的，拿出来以后就只剩下绿色的口香糖，所
33、以摸到绿色口香糖的可能性是4/4 。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,也就是说处于这一水平的学生对于“不放回”情境的问题也考虑得比较全面，不但考虑到部分在变化，而且也注意到总体也在变化。一般都是学习了分数知识之后的五六年级学生基本上都能正确量化一步试验的概率，少数四年级学生能正确量化，而且大多以百分数进行量化。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,(二)儿童的理解水平,表 各年级学生对三种类型问题给出的回答水平的数目,* 1.括号内的数字表示这样的回答所占的百分比。2.S表示主观水平，T表示过渡水平，I表示不规范的定量水平，N表示数值水平。,四、研究的结果（二）：儿童的理解水平,四、研
34、究的结果（二）：儿童的理解水平,大部分一至三年级对学生对概率概念的理解处于主观水平和过渡水平，大部分四年级学生处于过渡水平和不规范的定量水平，大部分五年级和六年级的学生处于不规范的定量水平和数值水平，其中两步试验情境下的概率对小学生来说不易理解，分数知识的学习是学生量化概率的关键点。另外从相同年级横向来看，农村学校学生与城市学校学生对概率概念的理解水平有显著差异，也就是说学校教师的教学水平可能对学生对概率概念的理解产生一定的影响。,五、意见建议,（一）对教师的建议三点建议：1.鉴于概率这种特殊的数学知识以及小学生的认知水平，直观教学的方式应该更可取。也就是说教师应创造情境，鼓励学生用真实的数据
35、及活动去检查、修正或改正他们对概率的认识，即使这在课堂上是比较占用教学时间，对小学生来说更应该这样做。2.教师应关注学生回答的理由。因为从本研究来看，即使学生给出了正确的选择，但他作出选择的原因可能是错误的，这样才能真正了解学生对概率的认识，真正帮助学生正确学习关于概率的知识。3.教师应在课堂上充分利用现代信息技术辅助教学。比如说教学“抛一枚普通的硬币，正面朝上的可能性是1/2”时，教师却不能在几次或几十次试验后保证学生能观察到这一事实，让学生心理上接受这一说法，那么这个时候利用计算机来进行试验模拟就更有说服力了。,五、意见建议,（二）对课程开发者的建议1.研究表明农村学校学生与同级城市学校学
36、生的概率概念理解水平有显著差异。造成这个现象的原因也许是多方面的，但课程标准的制定应要结合农村学校与城市学校来考虑，尤其是边远地区的学校，根据农村学校的学生及城市学校学生的认知水平合理制定课程标准。2.从本研究来看，小学生对一步试验比较容易理解，那么教材的编制应该不能涉及两步试验的概率情境，最早也只能到六年级开始涉及。而且问题情境的选择应该来源于学生的现实生活，从这点来看，课程标准修改稿中降低小学阶段概率内容的要求是可取的。,巩子坤 简介巩子坤，杭州师范大学教授，教育学博士，心理学博士后，国培专家。原杭州师范大学理学院副院长，现学科教育研究所副所长，从事数学教育研究工作。主要研究方向：一是程序性知识的教与学研究，即数学中算法等程序性知识如何学、如何教；二是学生的认知发展研究，比如，概率认知、统计推理认知发展研究，概念的学习过程刻画研究。主持“义务教育数学课程标准的适应性研究”等国家级课题4项； 在教育研究等期刊发表文章62篇； 编写义务教育小学数学教材，浙教版初中数学教材；,52,出版专著程序性知识教与学研究、小学数学教师专业能力必修等5部； 获得2012年“浙江省第四届基础教育教学成果一等奖”。（主持）,谢 谢,
