1、一、数学期望的概念,三、数学期望的性质,二、一维随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下,引例1 射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,一、数学期望的概念,解,平均射中环数,设射手命中的环数为随机变量 Y .,平均射中环数,“平均射中环数”的稳定值,“平均射中环数”等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1. 离散型随机变量的数学期望,射击问题,“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望,注： 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数 各项次序的改变而改变 。,随机变量 X
2、的算术平均值为,假设,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.,当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.,试问哪个射手技术较好?,实例1 谁的技术比较好?,故甲射手的技术比较好.,实例2 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?,解,设 X 为投资利润，则,存入银行的利息:,故应选择投资.,解,例3 已知随机变量X服从几何分布，其分布律为,令,其中0p1,q=1-p，求数学期望E(X).,实例4 分
3、组验血,解,2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.,实例5 顾客平均等待多长时间?,设随机变量,则有,例6,求E(X).,解,例7,1. 离散型随机变量函数的数学期望,解,二、一维随机变量函数的数学期望,设随机变量 X 的分布律为,例8,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X), 且,则有,定理 ：,设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，,(2)若X 的概率密度为 f ( x ),（1）若 X 的分布律为,2. 连续型随机变量函数的数学期望,例9 设,解,练习 设,解,因为,性质1 设 C 是常数, 则有,性质2 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,例如,三、数学期望的性质,性质4,性质3 设 X 是一个随机变量,a,b常数, 则有,推广,解,实例10,例11 设,解,方法1,解,方法2,若改用性质4则方便许多.,例11 设,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,习题3.1 2;3;5;8,
