1、1第一章 随机事件的概率第二节 概率的定义及性质四：概率的公理化定义统计概率克服了古典概率和几何概率的局限性。然而统计概率在理论上却是不严密的。因此，有必要建立概率的公理化定义。从概率的古典定义、几何定义和统计定义可以看出：尽管它们的定义内容不相同，但是概率都是随机事件 的实值函数，)(APA而且还具有共同的三条属性。因此概率的公理化定义应以这些共同的属性为依据，使它既可概括前述三种概率定义，又具有更广泛的一般性。据此我们得到概率的公理化定义如下：定义 6 设 是定义在由试)(AP2验 的一些事件（包含 和 ）所组ES成的集合 上的一个实值函数。F如果 满足下列三个条件：)(AP（1） 对每一
2、个 ,FA;（非负性）1)(0P（2） ；（称为规范性）S（3） 对互不相容的, , FAi2,1i成立,)()(11iiii APAP（称为可列可加性）则称 为事件 的概率。)(APA随机试验 ,样本空间 ,ES（包含 和 ）|SAF事 件 3,即 是一些（某些具有一定结构关F系的）随机事件组成的集合,称为事件域.（事件域 的通俗说法：F事妈，事婆，戳事娄子。 ）定义 6 设 是定义在 上)(APF的一个实值函数, ；F并且 满足下列三个条件：)(AP(1)对每一个 , ;F1)(0AP(2) ；1)(SP(3)对互不相容的 , , FAi2,1i成立,)()(11iiii APAP则称 为
3、 上的概率测度函数,F4称 为事件 的概率。)(APA这个定义称为概率的公理化定义.苏联数学家科尔莫戈罗夫于1933 年提出了概率的公理化结构，这个结构综合了前人的结果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起了积极作用。科尔莫戈罗夫的这个理论已被普遍接受。概率测度的存在性: 古典概率、几何概率和统计概率自然是它的特例.称为概率空间.),(PFS理论上在 上可以定义许),(FS多种不同的概率测度.(设 是 上的非负)(xf ),(S可积函数，且 ，对任意1dxf5可测集 ，定义 SA，dxfPAf)()(则容易验证 就是一个概率测度。fP函数无穷多，概率测
4、度亦无穷多。）验证给定的集函数是概率也是很困难的.人们通常在某一实用的概率空间中讨论.不难验证，古典概率、几何概率和统计概率都是公理化定义范围内的特殊情形。由定义可以推导出概率还具有下列几个性质：（4） 不可能事件的概率为 0，即 ;0)(P证：因为 ;S且 ,S6故由性质（3）得,)()()()(PSP于是得 ;0（5） 概率具有有限可加性。即若 互不相容,则有nA,21;)()(11iiiiPP证 令 ,21nnA由性质（3）得;)()()()( 1111 niiiiiinii APAP（6） 对任意事件 ,有, ;)(1)(APAP)(1)(AP证：因为 ，且 ，S故，)()()(1AP
5、SP7即 ;)(1)(APAP（7） 若 ，B则 ，)()()( BPAAP且 ;)()(B证：因为 ，所以A，且 与 互不)(A)(B相容，故由有限可加性得,)()()(APBP即 BA又因为 ，)()()(0PAP故 ;)()(AB（8） 对任意事件 有BA,；)()()()( PPBAP；)()()( BA证：因 ，)(故由性质（5）得)(BA8,)()()( ABPBAP又 ，故由性质（7）得，,)()()( ABPABP于是得;)()()()( ABPAPBAP因为 ，0(所以 )()()()( ABPAPBAP)()(9)利用归纳法还可以证明：对任意 个事件 ，有nnA,21)()
6、(11niiniiPAP)(1jnjiiP；)(1kjnkjii )()(21nnA ；)()(11niinii APP9当 时有3n)()()()( 321321 APAPAP.)()()()( 321323121计算复杂事件的概率或理论推导时要用到概率的性质.例 6 从佩戴号码为 1 至 10的 10 名乒乓球运动员中任意选出4 人参加比赛。求比赛的 4 人中：（1）最大号码为 6 的概率。 （2）偶数号码不少于 3 个的概率。 （3）至少有一个号码为奇数的概率。解：设 “比赛的 4 人中最A大号码为 6”,“比赛的 4 人中偶数号码B不少于 3 个”,“比赛的 4 人中至少有一C10号码
7、为奇数”,从 10 人中任选 4 人，每种不同的选法即为一基本事件，故基本事件总数为 .410C（1） 事件 发生意味着 6 号运A动员被选出，而另外 3 名只能从 号这 5 名运动员1中任意选出。于是 含基本A事件数为 。故35C;21!4789103)(435AP（2） 令 “比赛的 4 人中恰iB有 个偶数号码” ， 。i ,3i由于事件 发生意味着比赛i的 4 人中有 个是从佩戴偶数号码的 5 名运动员选出，而其余个只能从佩戴奇数号码的 5i名运动员中任意选。故事件 所iB11含基本事件数为 ， 。iiC454,3, ,4105)(BPiii又因为 ，且 ，4343B故有;421)()
8、()( 0541015343 CBPBP（3） 因 ，于是，4C.421)(1)()( 504CBPP(有人这样做,至少有一号码为奇数,就任选出一个奇数,其它三个从 9 个中任选,2)(4103915CP这显然错了,错在哪里,错在这种计数有重复的,例如:先选出 1,然后选 3,2,4， 1，3，2，4 ，与先选出 3,然后选出121,2,4， 3，1，2，4 ，两个是同样的.)求 时，也可将 表成)(CPC互不相容的事件之和:；其中 “比赛4321Ci的 4 人中恰有 个奇数号码”i。分别求出 后再利用,i )(iCP概率的有限可加性便得到 。)(, ,4105)(CPiii 432,1,43
9、21互不相容,4321,C)()()()()( 4321 PPCP.4例 7 将 个有区别的球随机地r放入 个不同的盒中（每个盒子容n纳球的个数不限） ， ，nr13试求：（1） 某盒（指定的一个盒）不多于两个球的概率；（2）至少有一盒多于一个球的概率；（3）恰有一盒多于一个球的概率。解：设 “某盒不多于两个球”,A“某盒恰有 个球”,i i;2,10i“至少有一盒多于一个球”,B“恰有一盒多于一个球”C,每个球有 种放法,由乘法原理n知， 个球有 种不同放法, 基本事rr件总数为 。r（1） 含基本事件数为iA, ,irirnC)1( riiinCAP)1()(14,210i由于 ，且 互不
10、210AA210,A相容。故依概率的有限可加性得 )()()()( 210PP;rrrrrnnCCn21 （2） “每盒最多有一个球” ，B所含基本事件数为 ，rnA;rnABP)(所以由概率性质得;rnABP1)(1)(（3） 设 “恰好第 盒多于一iCi个球”,(另外的 盒每盒)1(n最多有一个球),15, ,rjrnrjji ACP12)( ni,2由于 ,n21且 互不相容,nC,21故依概率的有限可加性得 )()()()(21 nCPPCP.rjrnrjjAn12注意从 n 个盒子中选出一个( “某盒至少有一球”,D.)rnP)1()(1)( 例 8 袋中装有 2 个伍分、3 个贰分
11、、5 个壹分的硬币.任取其中 5 个,求(1)总值超过壹角的概率;16(2)总值不少于壹角的概率;(3)总值等于壹角的概率.解 设 总值超过壹角;A总值不少于壹角;B总值等于壹角,C(1) ,214796)(510253132382 CAP(2) ,42317986)(510351223312382 CBP(3) .214796)(51032例 9 从 这十个数码中任意取出 4 个排成一行号码,求(1)所排号码恰排成四位偶数的概率;(2) 所排号码恰排成四位奇数的概率;17(3) 所排号码没排成四位数的概率.解(1) 设 排成四位偶数 ,A(末尾是 2,4,6,8 之一,或末尾是 0),;90
12、41)(4103928ACP(2) 设 排成四位奇数,B;904)(410528ACP(3)设 没排成四位数,即首位为 0.109)(4103ACP例 10 从 这十个数码中9018任意取出 4 个，求所取的四个数码能排成四位偶数的概率。解 设 能排成四位偶数 ,A考虑从所有组合中去掉全是奇数在一起的组合，。421)(054105CAP（有人这样考虑,能排成四位偶数,只要四个数中有一个偶数就可以了,于是 ,2)(410395CAP这显然错误,计数中有重复。 ）例 9 与例 10 是不同的问题。作为组合问题与作为排列问题是不同的问题。19作为组合问题，如果把分子分母都乘以 ，显然构成样本空!4间
13、的每一种 4 个数的组合都可以给出 个排列，但是构成分子的!4组合中，例如1,3,5,2四个数一组，它们的所有排列中，既有奇数又有偶数；1,3,5,2与1,3,6,2虽然都等排成偶数， 但它们排成偶数的个数是不同的。)例 11 民航机场的一辆送客汽车载有 5 位旅客.设每位旅客在途中 8 个站的任何一站下车的可能性相同.试求:(1)至少两位旅客在同一站下车的概率;(2)某站(指定的一站)恰有两位旅客下车的概率;(3)仅有一站恰有两位旅客下车的概率。 （剩下的是201，1，1 组合或直接为 3）解 (1) 至少两位旅客在同A一站下车,每站最多有一位旅客下车,A,58)(P;794.08151)(1)( 358AA(2) 设 某站(指定的一站)恰有两B位旅客下车,;1047.87)(532CBP(3)设 仅有一站恰有两位旅客下车,C,5298.08)(51725372518 ACP(8 站中有一站有两人下车,其他三人在其它 7 站中各下一站或三人同一站下).
