1、概率1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 n1，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 nmP()2. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件 .如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广： )P()(P)AP( n21n21 .对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从 152 张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃” 互为互斥事件不是对立事件.而抽到“红色牌” 与
2、抽到黑色牌“ 互为对立事件注意：i.对立事件的概率和等于 1： 1)AP()(. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.相互独立事件：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(AB)=P(A)P(B).例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽一张设 A：“ 抽到 K”；B：“ 抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件 261P(),2156P(B),13524P() 推广：若事件 n,A, 相互独立，则 )P()(P)n21n1 .注意：i. 一般地，如果事件 A 与
3、B 相互独立，那么 A 与 B,与 B， A与 也都相互独立.ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不受其他各次试验的影响，则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率： knkn)(1PC().1、分类加法计数原理:完成一件事情，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 种不1m同的方法，在第 2 类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种2mn不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.（也称加mN21互 斥 对 立法原理）分步乘法计数原理：完
4、成一件事情，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同1m的方法，做第 2 步有 种不同的方法做第 n 步有 种不同的方法.那么完2mn成这件事共有 种不同的方法.（也称乘法原理）nN1求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率(1)等可能性事件 (古典概型)的概率：P(A) ;nm等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数 ;设所求事件 A，并计算事件 A 包含的基本事件的个数 ;依公式 求值;()mPn答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A) P(B);特例：对立事件的概率：P(A)P( )P(A )1.A(3)相互独立事件同时发生的概率
5、：P(AB)P(A) P(B);特例：独立重复试验的概率：Pn(k) .knknpC1(4)解决概率问题要注意 “四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质等 可 能 事 件 互 斥 事 件独 立 事 件n次 独 立 重 复 试 验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算和 事 件积 事 件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式 求解()1)knknmPABCp等 可 能 事 件 : 互 斥 事 件 ：独 立 事 件 ：n次 独 立 重 复 试 验第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例 1在五个数字 中，若随机取出
6、三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 12345， ， ， ，（结果用数值表示） 例 2.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为_.（精确到 0.01）故填 0.94.离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母、 等表示.随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 ， ， ， 取每一个值 （1x2ixix1，2，）的概率
7、 P（ ）= ，则称下表.i ii为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1 ） ， 1，2，; （2） =1.0iP21P常见的离散型随机变量的分布列：（1 ）二项分布次独立重复试验中，事件 A 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为n0， 1，2，n，并且 ，其中 ， ，随机变量 的分布列knkqpCP)(n0pq1如下： 0 1 nP nqpn kn0qC称这样随机变量 服从二项分布，记作 ),(pB例 3 厂家在产品出厂前,需对产品做检验, 厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验
8、,以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 件进行检验,求至少有 1件是合格的概率；（）若厂家发给商家 20 件产品中, 其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件. 都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.E1x2 ixP P1 P2 i例 4 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问5432题能否正确回答互不影响.（）
9、求该选手被淘汰的概率;（）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.离散型随机变量的期望与方差(1) 离散型随机变量的数学期望： ；21pxE期望反映随机变量取值的平均水平(2) 离散型随机变量的方差： ；2211)()(EDnnpEx2)(方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.(3)若 B(n ，p) ，则 ; D =npq（这里 q=1-p） ; np例 5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、， 和 的分布列如下： 0 1 2 0 1 2P 63P 530则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路：一是要比较两名工
10、人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.例 6. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为1 2 3 4 5P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润（）求事件 ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ；A ()PA（）求 的分布列及期望 E抽样方法与总体分布的估计1简单随机抽样：设一个总体的个数为 N，如果
11、通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.4.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.例 1.某工厂生产 A、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：
12、3 ：5. 现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= 80 .正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质（1 ）正态分布的概念如果连续型随机变量 的概率密度函数为 ，x 其中 、 为2)(1)(exf R常数，并且 0，则称 服从正态分布，记为 （ ， ）.N2（2 ）期望 E =，方差 .2D（3 ）正态分布的性质正态曲线具有下列性质:曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x 对称.曲线在 x= 时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.曲线的对称轴位置由 确定；曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖” ；反之越“高
13、瘦”.三 原则即为数值分布在（,+)中的概率为 0.6526数值分布在（2,+2)中的概率为 0.9544数值分布在（3,+3)中的概率为 0.9974（4 ）标准正态分布当 =0， =1 时 服从标准的正态分布，记作 （0，1 ）N.2.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对 n 个样本数据（ ） ， （ ） ， （ ） ，其回归直线方程，
14、或经验公1,xy2,nxy式为： .其中 ，其中 分别为| |、| |的平均数.abxy,)(12baxniii yx,iiy（）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品 ”为事件 A用对立事件 A 来算，有 410.298PA（） 可能的取值为 0,2 xya标 准 正 态 分 布 曲 线S阴 =0.5+S，2170369CP，25320113653029190E记“商家 任取 2 件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率7PB所以商家拒收这批产品的概率为 295（）记“该选手能正确回答第 轮的问题”的事件为 ，则 ，i (123)iA， ， 14()5P，
15、，23()5PA2()该选手被淘汰的概率12312123()()()()APP4055（） 的可能值为 ， ，123， ， 1()(5A，48(2)()2PAP 12123()5的分布列为1 2 3P585125182735E工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为： 1265903190，7.013206E；891.03).2()()7.( D工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为：，7.012305E 64.012)7.(3)7.(5).(22 D由 E=E 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 DD，可见乙的技术比较稳定.（）由 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款” A知 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”， 2()10.4).16P()()0.26.784PA（） 的可能取值为 元， 元， 元250，(2)().，50(3)4PP(3)1205010.2的分布列为 23P.4.4.（元） 20.450.3E0
