1、概率典型题及解析一、选择题1将0,1内的均匀随机数 a1 转化为 2,6内的均匀随机数 a，需实施的变换为( )答案 C解析 0a 11，08a 18，28a 126.2小红随意地从她的钱包中取出两枚硬币，已知她的钱包中有 1 分、2分币各两枚，5 分币 3 枚，则她取出的币值正好是 7 分的概率是( )A. B.17 27C. D.37 47答案 B解析 共有取法 65432121 种，其中 币值正好 为 7 分的必有一枚 5 分币，故有 326 种， 概率 P .621 273从正六棱锥 PABCD 的侧棱和底边共 12 条棱中任取两条，能构成异面直线的概率为( )A. B.111 211
2、C. D.411 811答案 C解析 共能组成 11109166 对，其中 为异面直 线的有6424 对(侧棱都共面，底面多边形的边当然共面，异面的只有一条侧棱和底面的一条边的情形，一 侧棱可与底面多边形的 4 条 边构成异面直线)，P .2466 4114在棱长为 3 的正方体内任取一个点，则这个点到各面的距离都大于 1的概率为( )A. B. 13 19C. D.127 34答案 C解析 在正方体内到各面的距离都大于 1 的点的集合是以正方体的中心为中心、棱长为 1 的正方体，所以所求概率 P .V小 正 方 体V大 正 方 体 133 1275某人利用随机模拟方法估计 的近似值，设计了下
3、面的程序框图，运行时，从键盘输入 1000，输出值为 788，由此可估计 的近似值约为( )A0.788 B3.142C3.152 D3.14答案 C解析 由条件知，投入 1000 个点( a，b)， 1a1，1b1，其中落入 x2y 21 内的有 788 个 ，圆 面 积正 方 形 面 积 4 ， 3.152.4 78810006在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于的概率为( )S3A. B.13 23C. D.19 49答案 B解析 如图所示，作 ADBC 于 D，PEBC 于 E，对于事件 W“PBC 的面积大于 ”，有 BCPE BCAD，即S3 1
4、2 1312PE AD，BP AB，13 13由几何概型的概率计算公式得 P(W) .23ABAB 237利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线 y2 x与 x1 及 x 轴围成的图形的面积时，设计了如下算法：设事件 A 为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分” S 表示阴影部分的面积S1：用计数器 n 记录做了多少次投点试验，用计数器 m 记录其中有多少次(x，y )满足 125，当 m 取 1、2、3 时， n 只能取 5 或 6，有236 种；当 m 取 4 时，n 只能取 4、5、6 有 3 种；当 m 取 5 或 6 时， n 可取 1至 6 的任何值，有 2612 种事件
5、A 包含的基本事件数共有 631221 个，P(A ) .2136 71210任意一个三角形 ABC 的面积为 S，D 为ABC 内任取的一个点，则DBC 的面积和ADC 的面积都大于 的概率为_S3答案 19解析 在 AB 上取三等分点 E、F，过点 E 作 EMBC 交 AC 于 M，过点F 作 FNAC 交 BC 于 N，则当点 D 在AEM 内时，满足 SDBC ，S3在BFN 内时，满足 SDAC ，设 EM 与 FN 的交点为 G，则当点 D 在S3EFG 内时，同时满 足 SDBC ，SDAC ，所求概率 P .S3 S3 S EFGS ABC 1911已知函数 f(x)x 2a
6、xb.若 a、b 都是区间0,4内的数，则 f(1)0成立的概率是_答案 932解析 0a4,0b4， 点( a，b)构成区域为正方形 OBDE 及其内部，f(1)1ab0，ab1，满足条件的点构成区域为ABC 及其内部，其中 A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，SABC ，所求概率 P .92 S ABCS四 边 形 OBDE 9244 932三、解答题12向边长为 2 的正方形内投飞镖，用随机模拟方法估计飞镖落在中央边长为 1 的正方形内的概率解析 用几何概型概率计算方法可求得概率 P .S小 正 方 形S大 正 方 形 14用计算机随机模拟这个试验步骤如下：S1 用计数器 n 记录
7、做了多少次 飞镖试验，用 计数器 m 记录 其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值 n0， m0；S2 用函数 rand( )*42 产生两组22 的随机数 x，y，x 表示所投飞镖的横坐标，y 表示所投 飞镖的 纵坐标；S3 判断(x，y) 是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x|1 ，|y|1，如果是则 m 的值加 1，即 m m1；否则 m 值保持不变；S4 表示随机试验次数的记数器 n 的值加 1，即 nn1，如果还需要继续试验， 则返回步骤 S2，否则，程序 结束程序结束后，飞镖投在小正方形内 发生的频率 表示概率的近似值，全班mn同学一块试验，看频率是否在 附近波动，次
8、数越多，越有可能稳定在 附近14 1413已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min.用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率解析 地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min 可以看作在 01min 这个时间段内，车停在停车点，在 111min 这个时间段内行驶，乘客到达站台立即乘上车的条件是他在 01min 这个时间段内到达站台设事件 A 乘客到达站台立即乘上车 S1 用计算机产生一组0,1区间的均匀随机数 a1RAND ；S2 经过伸缩变换 a11*a 114在长为 18cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形用随机模拟法估计该正方形的面 积介
9、于 36cm2 与 81cm2 之间的概率，并写出算法解析 正方形的面积只与边长有关，本 题可以转化为在线 段 AB 上任取一点 M，使 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间设事件 A 正方形的面 积介于 36cm2 与 81cm2 之间(1)利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1RAND ；(2)经过伸缩变换， aa 1*18;算法为：INPUT“n” ；nm0DOi1a18*rand( )15如图，射击比赛使用的靶子是一个边长为 50cm 的正方形木板，由内到外画了五个同心圆，半径分 别为 5cm,10cm,15cm,20cm,25cm，由内到外依次为 10
10、环，9 环，8 环，7 环，6 环某人在 20m 之外向此板射 击，设击中线上或没有击中靶子时不算，可重新射 击，假 设击中靶子上任意位置的可能性相等用随机模拟法估算下列概率：(1)得到 8 环以上(包括 8 环)的概率；(2)得到 9 环的概率；(3)得到 8 环以下(不包括 8 环 )的概率解析 设事件 A“得到 8 环以上(包括 8 环)” ，事件 B“得到 9 环” ，事件 C “得到 8 环以下(不包括 8 环)” S1 用计算器产生两组0,1区间上的均匀随机数a1RAND ，b1RAND；16利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y9 x2 与 x 轴和yx 围成的图形)的面积
11、解析 设事件 A 为“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分” (1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数，x1RAND ，y1RAND；(2)经过伸缩平移变换， x(x 10.5)*6，y y 1*9；设阴影部分的面积为 S，矩形的面 积为 9654.由几何概率公式得 P(A) .S54所以，阴影部分面积的近似值为 ：S .54N1N17利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y 与直线 x2 及 xx轴围成的图形)的面积解析 设事件 A“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分” S1 用计数器 n 记录做了多少次 试验，用 计数器 m 记录其中有多少次 (x，y)满
12、足 y (所投的点落在阴影部分) 首先置 n0，m0；xS2 用变换 rand( )*2 产生 02 之间的均匀随机数 x 表示所投点的横坐标；用变换 rand( )*2 产生 0 2 之间的均匀随机数 y 表示所投点的纵坐标；S3 判断点是否落在阴影部分，即是否 满足 y .如果是，则计数器 m 的值x加 1，即 mm1.如果不是，m 的值保持不变；S4 表示随机试验次数的计数器 n 的值加 1，即 nn1.如果还要继续试验， 则返回步骤 S2继续执行，否则，程序结束程序结束后，事件 A 发生的频率 作为事件 A 概率的近似值mn设阴影部分面积为 S，正方形面 积为 4，则 P (A) ，mn S4S .4mn
