1.1.3集合的基本运算.doc-道客多多

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1、中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素26第 1.1.3 节集合的基本运算某地对所在地的居民中拥有电视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查，调查结果：3 户特困户三种全无；至少有一种的：电视机 1090 户，电冰箱 747 户，组合音响 850 户；至少有两种的：电视机、组合音响 570 户，组合音响、电冰箱 420 户，电视机、电冰箱 520 户， “三大件”都有的 265 户.可是调查组在统计上述数字时发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新调查而解决这个问题吗？研习教材重难点研习点 1. 并集与交集1并集（重点）定义：一般地，由所有属于集合 A 或

2、属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集（union set）,记作（读作“ 并 ”），即，或B|x.x从定义可以看出两个集合的并集还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.（1）理解并集定义中“或”字的意义：或包括如下三种情况：x 但；但；且 .xAxx由集合 A 中元素的互异性可知，集合 A 与 B 的公共元素在中只出现一次，因此是由所AB有至少属于 A，B 两者之一的元素组成的集合.例如：，则3,5684,7，而不是3,4567,8,47.并集用韦氏图（venn）表示为:AB BAAB由并集的

3、定义及韦氏图不难看出，并集具有以下性质：（吸收律）；； 1 2 （交换律）； (结合律) 3 4 ()()BC【探究发现】并集与子集之间的关系由并集的韦氏图表示不难发现，如果集合 A 是集合 B 的子集即，就意味着；同相AB关可以分析，如果集合 B 是集合 A 的子集即，就意味着；如果且，则A.典例 1.（1）设集合，求；1,23,45（2）设集合，，求 .|x26BxAB【研析】（1）；AB,1,3（2）在研究集合的运算时，我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有 x52036中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素27从而

4、 AB|35x26x|36.x2交集（重点）定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集（intersection set）,记作（读作“A 交 B”），即且|,Ax.正如并集一样，两个集合的交集仍然是一个集合，所不同的是交集是由两个集合中的共同元素所组成的集合.也就是说，交集是由那些既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的.如，由于这两个集合中都有共同元素 2、4、5，从而1,2345,2,89AB.交集用韦氏图（venn）表示为:ABA B由交集的定义及韦氏图不难看出，交集具有以下性质：（吸收律）；； 1 A 2A（交换律）

5、； (结合律). 3 B 4 ()()BC【梳理总结】交集的定义的理解我们可以从以下三个方面去理解交集的概念: (1) 中的任一元素都是集合 A 中的元素,也都是集合 B 中的元素;A(2) 是由集合 A 与集合 B 的的公共元素组成的;(3)当集合 A 与集合 B 没有公共元素时,不能说集合 A 与集合 B 没有交集,而是说 .AB典例 2 设集合 ,且 ,求2,12,417xyxCC实数的值及,xy.【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性.此时包含了,AB两层意思:一方面1,7 是集合 A 与集合 B 的公共元素;另一方面集合 A 与集合 B 的公共元素也只

6、有1,7.由已知且得:2,1,2,4,1,7xyxCC且 , 在集合 A 中 ,解得: 或 .7AB2x3当时,在集合中, ,又故 ,但 ,故不合题xB2x意,舍去.当时, 在集合中, ,故有 ,解得 ,经检验知满足347x21y2.ABC中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素28综上知,所求 13,.2xy此时, 故7,47AB1,247.B研习点 2.全集与补集1全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作 .U对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进

7、行,这个范围以外的问题则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集.另外,全集并不是一成不变的,它是依据所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集作为全集;在研究图形集合时,常常将所有的空间图形的集合作为全集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据经验来判断全集什么样的集合了.2补集对于一个集合 A,由全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集

8、的补集UU(complementanry set),简称为集合 A 的补集,记作 ,即且 ,读作全集U|,x中集合 A 的补集.U补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,利用集合的定义可以发现,求已知集合的补集,其实就是从全集中去掉属于集合 A 的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集中集合 A 的补集.其韦氏图（venn）表示如下图所示: AU3全集与补集的性质全集与补集具有以下性质:(1) ;()UA(2) ; ;(3) ;()()UU(4)*(德摩根(De Morgan)定律) ; .()UAB()()UUAB典例 3. 已知，全集 U=x|5x3 ，A=x|5x

9、0，求 AB 和 AB【研析】 A=x|x 25x60=x|6x 1，B=x|x23x0=x|x0 如图所示： AB=x|6x1 x|x 0=R 或|61|B0或|x0.x探索发现集合问题大都比较抽象，解题时应先将相关的两个集合分别表示出来，然后尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解典例 2. 设 A=x|21，B=x |x2 xb0，已知 AB=x|x2，AB=x|12，且 AB=x|14240,思维指南空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何

10、集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误此题容易发生的错误是由 A = 只片面地R推出方程只有两个负根（因为两根之积为 1，因为方程无零根），而把 A= 漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言【拓展变式】7. 已知，，若，则的值为 |(1)0Axm2|30BxABm创新思维探究题型一开放探究题典例 8 设集合 A = (x， y)|y x1= 0 ，集合 B =(x， y)| 4x 2x 2y5 = 0 ，集合 C =(x， y)| y 2= kx b ，是否存在 k， b N，使得？若存在，

11、请求出 k， b 的值；若不存在，请说()AC明理由【研析】因为，即，所以且 ()BC()AB将 y = kxb 代入 y x 1= 0，得 k x (2kb1) xb 1= 0，222因为，所以 = (2kb1) 4k ( b 1)0，即 4k 4kb10，若此不等式有解，A1应有 16b 160，即 b 122又将 y = kxb 代入 4x 2x 2y 5 = 0，得：4x (22k) x(52b) = 0，因为，所以 = (2 2k) 4k(5 2b)0，即 k 2k8b190，若此不等式有解，BC应有 44(8 b19)0，解得 b 由不等式、及 b N，得 b = 2将

12、b = 2 代入由 0 和 0 组成的不等式组，得，再注意到 k N，求得 k = 1224810,3.k中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素341故存在自然数 k = 1，b = 2 使得 ()BC理念链接在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、 “不存在( 否定型)”、 “是否存在( 讨论型)”等形式出现 “存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在 “不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证 “是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另

14、(2) 一个负根一个零根 ;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可概括为较小的根小于零,即利用求根公式,但是求解此不等式也并不轻松.但是如果考虑的反面,则可先求出方程两根402aAR非负时的取值范围,然后再利用补集思想求解时的的取值范围,就显得比较容易了.a【拓展变式】9. 已知集合 A=x|x24mx 2m6=0,xR，若 AR ，求实数 m 的取值范围题型 3 奥赛欣赏题典例 10 已知集合 , ,其中 , .,4321aA,24321aB4321aN4321,若 , .且中的所有元素之和为 124,求集合 A、B.41aB0A【研析】 ,且 , ,又 ,所以4324121

15、N.1中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素35又 ,可得 ,并且或1041a9442a.423若 ,即 ,则有解得或 (舍)9232 ,18353a63此时有 .1,255BA若 ,即 ,此时应有 ,则中的所有元素之和为 100 124.不合题意.23a3aBA综上可得, .891品思感悟本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【拓展变式】10. 已知 A 为有限集,且 ,满足集合 A 中的所有元素

16、之和与所有元素之积相等,写出所有这样的*N集合 A.高考思维探究本节内容联系面广，多与高中数学其它知识相结合，方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应该注意采用逆向思维,从问题的反而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空题的形式出现,有时也可以出解答题.典例 11（2007 年北京卷）已知集合， |1Axa 2540Bx若，则实数的取值范围是 ABa【研析】集合 =x| a1xa+1， =x| x4 或 x1 |x 2又，，解得 20 得 R 且 2，把 x=1 代入方程得 R，把 x=2 代入方程得 =3a a综上的值为 2 或 3a5. 解：

17、 13122a或 320a或检验： 1,0BABAa时当 4392当时6. 解： “正难则反” ，先求出 200 个数不满足条件的，即能被 2 或 3 或 5整除的自然数个数，再从 200 中减去.设不能被 2、3、5 整除的数的集合分别是 A、B、C ，则符合条件的数的集合为 ABC,不符全条件的数的集合为：，()()(UUUBC如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：（2002）2003(200 5)(20010)200 6200 1520030 146(式中x为不超过 x的最大整数)所以，符合条件的数共有 20014654（个）7. 解：当时，由得，由得或A(1)0mx1x

18、m230x1x3| 3B，或 3，或B 1 2 3_3 的倍数_2的倍数 _ 5 的倍数UAuBuC中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素39当时， A1m综上所述，得的值为 23，8. 解：存在满足题意，因为，，而，a2,3B4,2CAB则至少有一个元素在中，又，，，即，2,3A329190a得而矛盾，5或 5时，与 .a9. 解:设全集 =m|=(4m) 24(2m6)0= m|m1 或 m U32若方程 x24mx2m6=0 的二根为 x1、x 2 均非负，1230,6则因此，m|m 关于补集 m|m1 即为所求3U10. 解：设

19、集合 A= 且 ,由 ,)1(,21na na21 na21 na21,得 ,即*)(Nnan2 )!()!(或 (事实上,当 3时,有 .23)()!( 当时, ,而1,12121 aaa 2,22na当时, ,n 3233 .1由 ,解得3.综上可知, .21A11. 解：D 提示：从而选 D.|1,|1,31.xBxAB，优化考题新演练1B 提示：方法一（直接法）： , ,故2SxSxR20T，，，， ST.2，方法二(排除法)：由可知中的元素比 0 要大, 而 C、D 项11xx中有元素 0，故排除 C、D 项，且中含有元素比 1，故排除 A 项.故答案为 B.ST2

20、. A中学数学教材学习讲义(必修 1)人教 A 版主编：贾广素403. D 提示：AB= A，B A,又 B , ，即 2m4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1724C 提示：集合，所以，集合|1|3xx或 |3UCA，所以为 .2|680|24x()UB|2x5. 26 提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.6 （1）（2）解析：（1）如图所示，可知的|b9b取值范围是；（2）若则（x，y）在|,xyA图中的四边形内，t= 在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以 b= .97. 解： 2)2(642 yxyxyA19118BNyy92,4,3A8. 解：M= 1， 3 M 当时， ax 1=0 无解， a=0N ,时当 31313aax或或或综得：所求集合为 1， 0， .22b

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