1、1.(2009 年浙江丽水) 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图,C ,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3). 现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发,点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动,点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动,设运动时间为 t 秒.(1)填空:菱形 ABCD 的边长是 、面积是 、 高 BE 的长是 ;(2)探究下列问题:若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度为每秒 2 个单位.当点 Q 在线段 BA 上时,求APQ 的面积 S 关于 t的函数关系式,以及 S 的最大值;若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单
2、位,在运动过程中 ,任何时刻都有相应的 k 值,使得APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边2.(2009 年浙江宁波)26如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(8,0) ,直线 BC 经过点 B(8,6) ,将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 OABC,此时声母 OA、直线 BC分别与直线 BC 相交于 P、Q(1)四边形的形状是 ,当 =90时, BPQ的值是 (2)如图 2,当四边形 OABC的顶点 B落在 y 轴正半轴上时,求 BP的值;如图 3,当四边形 OABC的顶点 B落在直线 BC 上时,求 OPB的面积(3)在四
3、边形 OABC 旋转过程中,当 0018时,是否存在这样的点 P 和点 Q,使 BP= 12B?若存在,请直接写出点 P 的坐标;基不存在,请说明理由O xyABCDE3.(2009 年浙江衢州) (本题 14 分)如图,已知点 A(-4,8) 和点 B(2,n)在抛物线 2yax上(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 AQ+QB 最短,求出点 Q 的坐标;(2) 平移抛物线 2y,记平移后点 A 的对应点为 A,点 B 的对应点为 B,点 C(-2,0) 和点 D(-4,0)是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时,AC+C
4、B 最短,求此时抛物线的函数解析式; 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 ABCD 的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由4.(2009 年浙江嵊州) ABC与 是两个直角边都等于 4厘米的等腰直角三角形,M、N 分别是直角边 AC、BC 的中点。ABC位置固定, 按如图叠放,使斜边 BA在直线 MN 上,顶点 B与点 M 重合。等腰直角 CBA以 1 厘米/秒的速度沿直线 MN 向右平移,直到点 与点 N 重合。设 x秒时, C与 A重叠部分面积为 y平方厘米。(1)当 与 重叠部分面积为 23平方厘米时,求 移动的时间;(2)求 y与 x的函
5、数关系式;(3)求 与 重叠部分面积的最大值。4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44备 用 图 备 用 图(2009 年浙江丽水 24 题解析)解:(1)5 , 24, 5243 分(2)由题意,得 AP=t,AQ=10-2t. 1 分如图 1,过点 Q 作 QGAD,垂足为 G,由 QGBE 得 AQGABE, BAE,QG= 2548t, 1 分 tPS5241( t5). 1 分 6)(2542t( t 5).当 t= 时,S 最大值为 6.1 分 要使APQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形,根据轴对称的性质,只需APQ 为等腰三角形即可.当 t=4 秒时
6、,点 P 的速度为每秒 1 个单位,AP = 4.1 分以下分两种情况讨论:第一种情况:当点 Q 在 CB 上时, PQBE PA,只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P.如图 2,过点 Q1 作 Q1MAP ,垂足为点 M,Q 1M 交 AC 于点F,则 AM= 2A.由AMF AODCQ 1F,得431ODC, 2, 01. 1 分CQ 1= QF34= 25.则 1APtk, 0CQk .1 分第二种情况:当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3,分别使 A P= A Q2,PA=PQ3.若 AP=AQ2,如图 3,CB+BQ2=10-4=6.则 1BCtk, 2kAP.1 分 若 P
7、A=PQ3,如图 4,过点 P 作 PNAB ,垂足为 N,由ANPAEB,得 EN. AE = 572A , AN 28.AQ 3=2AN= 6, BC+BQ 3=10- 51946则 31BQCPtk. 073APBk. 1 分综上所述,当 t= 4 秒,以所得的等腰三角形 APQ沿底边翻折,翻折后得到菱形的 k 值为 或 2或 59.(2009 年浙江宁波 26 题解析)解:(1)矩形(长方形) ; 1 分47BPQ 3 分(图 3)xyABCDOQ2P NE(图 4)xyABCDOQ3PEQ1FMODCBAyx(图 2)P(2) POCBA, PCOAB90, AB,即 68,92,
8、72 4 分同理 CQO ,B, 即 1068,3, 5 分72PBQ6 分在 OC 和 AP 中,90B, ,来源: 学科网 ZXXK(S)PA 7 分O设 x,来源:学科网在 RtC 中, 22(8)6x,解得 54x 8 分1574OPBS 9 分(3)存在这样的点 和点 Q,使 12BP 10 分点 的坐标是 13962, , 764, 12 分对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求过点 Q画 HOA 于 ,连结 Q,则 HOC,12PSC, 12POSA ,设 Bx,12Q, 如图 1,当点 P 在点 B 左侧时, 3Ox,QCBA O xP yHQCBA O xPyH
9、在 RtPCO 中, 22(8)6(3)xx,来源:学科网 ZXXK解得 13x, 21(不符实际,舍去) 9B,1362P,如图 2 ,当点 P 在点 B 右侧时,OQx, 8PCx在 RtC 中, 22(8)6,解得 54PB574,2764,综上可知,存在点 13962P, , 2764P, ,使 12BPQ(2009 年浙江衢州 24 题解析)解:(1) 将点 A(-4,8)的坐标代入 yax,解得 121 分将点 B(2,n)的坐标代入 21yx,求得点 B 的坐标为(2,2),1 分则点 B 关于 x 轴对称点 P 的 坐标为(2 ,-2) 1 分直线 AP 的解析式是 543 1
10、 分令 y=0,得 4x即所求点 Q 的坐标是( 5,0) 1 分(2) 解法 1:CQ=-2- 4= 1, 1 分故将抛物线 yx向左平移 5个单位时,AC+CB最短,2 分此时抛物线的函数解析式为 214() 1 分解法 2:设将抛物线 2yx向左平移 m 个单位,则平移后 A,B的坐标分别为 A(-4-m,8) 和 B(2-m,2) ,点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(-4-m,-8)直线 AB的解析式为 53 1 分要使 AC+CB最短,点 C 应在直线 AB上, 1 分将点 C(-2,0)代入直线 AB的解析式,解得 145 1 分故将抛物线 21yx向左平移 45个单位时 AC
11、+CB最短,此时抛物线的函数解析式为(第 24 题(1)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44QP(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44A(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44AB214()5yx 1 分 左右平移抛物线 1yx,因为线段 AB和 CD 的长是定值,所以要使四边形 ABCD 的周长最短,只要使 AD+CB最短;1 分第一种情况:如果将抛物线向右平移,显然有 AD+CBAD+CB,因此不存在某个位置,使四边形 ABCD 的周长最短1 分第二种情况:设抛物线向左平移了 b 个单位,则点 A和点 B的坐标分别为 A(-4
12、-b,8) 和 B(2-b,2) 因为 CD=2,因此将点 B向左平移 2 个单位得 B(-b,2) ,要使 AD+CB最短,只要使 AD+DB最短 1 分点 A关于 x 轴对称点的坐标为 A(-4-b,-8),直线 AB的解析式为 52yx 1 分要使 AD+DB最短,点 D 应在直线 AB上,将点 D(-4,0)代入直线 AB的解析式,解得 165b故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形 ABCD 的周长最短,此时抛物线的函数解析式为 2()yx (2009 年浙江嵊州 14 题解析) (1)解 如图 1,当 在ABC 内时,重叠部分是平行四边形,由题意得:23x 解得 x= 3(2
13、 分)如图 3 ,当 A在ABC 内时,重叠部分是平行四边形,由题意得: N= x6 列式得( x6) 2= 3解得 x= 2(2 分)综上所述,当 CBA与 重叠部分面积 为 23平方厘米时, CBA移动的时间为 23或( 6)秒。(2) 如图 1,当 0x 2时 xy(1 分)如图 2,当 x 4时,如图,D BN, MEA, FGC是等腰直角三角形, BN x,GF=MN= , xA22)4(1)(412421 xy 即 4231xy(3 分)如图 3,当 x 6时, y(1 分)(3)当 0x 时, 最 大 值 (1 分)当 x 时, 5最 大 值 (2 分)图 1图 3图 1 图 2当 24x 6时, 4最 大 值y(1 分)所以, CBA与 重叠部分面积的最大值为 5。