1、7-4 第四章、图形认识初步专题复习 姓名：第一部分：知识要点 11、我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。几何图形分为立体图形和平面图形。2、有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。3、有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。4、将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。5、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体简称为体。6、包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。7、面与面相交的地方形成线（线有直的和曲的）
2、 ，线和线相交的地方是点（点无大小之分） 。8、点动成线，线动成面，面动成体。9、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。10、正方体的 11 种展开图：“141 型” ，中间一行 4 个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有 6 种基本图形。“132 型” ，中间 3 个作侧面，共 3 种基本图形。“222 型” ，两行只能有 1 个正方形相连。、 “33 型” ，两行只能有 1 个正方形相连。11、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线（公理） 。12、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。13、射线和线
3、段都是直线的一部分。14、点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 和 MB，点 M 叫做线段 AB 的中点。15、两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 （公理）16、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。17、一般地，用一个大写字母表示一个点，用两个大写字母（也就是两个点）或者一个小写字母来表示直线。18、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。19、把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1；把一度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1；把 1 分的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的
4、角，记作 1。20、角的度、分、秒是 60 进制的。21、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。22、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。23、如果两个角的和等于 90（直角） ，就是说这两个叫互为余角，即其中的每一个角是另一个角的余角。24、如果两个角的和等于 180（平角） ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。25、等角的补角相等，等角的余角相等。知识要点 21、线段，射线，直线 不同点名称延伸性 端点数联系 共同点线段 不能延伸 2射线 只能向一方延伸 1直线 可向两方无限延伸 无线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直
5、的线2、点、直线、射线和线段的表示（1） 、在几何里，我们常用字母表示图形。如四边形 ABCD（2） 、一个点可以用一个大写字母表示，如点 A（3） 、一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线 l,或者直线 AB（4） 、一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面） ，如射线 l， 射线 AB（5） 、一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段 l,线段 AB3、点和直线的位置关系有两种： 点在直线上，或者说直线经过这个点 点在直线外，或者说直线不经过这个点。4、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连
6、线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 （5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法5、线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。M 是线段 AB 的中点AM=BM= AB（或者 AB=2AM=2BM）216、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5
7、）两条不同的直线至多有一个公共点。知识要点 31、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。2、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。角的表示：用数字表示单独的角，如1，2，3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如， 等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B，C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD，BAE，CAE 等。注意：用三个大写英文字母
8、表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3、用一副三角板，可以画出 15，30，45，60，75，90，105，120，135，150，1654、角的度量（1） 、角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“1” ，n 度记作“n” 。把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1 ”。把 1 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1” ”。（2） 、角的性质 角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 角的大小可以度量，可以比较 角可以参与运算。5、角的平分线从一个角
9、的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。OB 平分AOCAOB=BOC= AOC（或者AOC=2AOB=2BOC）216、余角和补角 如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果+=90，那么 与 互余；反过来，如果 与 互余，那么+=90 如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果+=180，那么 与 互补；反过来如果 与 互补，那么+=180 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。7、对顶角 一对角，如果它们的顶点重
10、合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角。注意：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角。 对顶角的性质：对顶角相等如图，1 和4 是对顶角，2 和3 是对顶角; 1=4，2=3MA BO BC12341=60，1=60”A8、平行线：1、概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“ABCD” ，读作“AB 平行于 CD”。注意： 平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。 当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论（1） 、平行公理：经过直线外一点
11、，有且只有一条直线与这条直线平行。 （2） 、推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3） 、补充平行线的判定方法： 平行于同一条直线的两直线平行。 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。 平行线的定义。9、垂直：（1） 、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD” （或“CDAB”)，读作“AB 垂直于 CD”（或“CD 垂直于 AB”） 。（2） 、垂线的性质：性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有
12、线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。点到直线的距离：过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。 同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。第二部分：重点题型总结及应用题型一 计算几何图形的数量 1数直线条数例 1 已知 n(n2)个点 P1，P 2，P 3，P n在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上设 Sn表示过这 n 个点中的任意 2 个点所作的所有直线的条数，显然，S 2=1，S 33，S 46，S 610，由此推断，S n .2数线段条数例 2 如图 441 所示，C、D 为线段 AB 上的任意两点，那么图中共有多少条线段?例
13、 3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有 6 人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢? 小明通过认真思考得出了答案为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：参加人数 2 3 4 5 握手示意图握手次数 1 21=3 321=6 4321=10 3数直线分平面的块数例 4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块?题型二 两角互补、互余定义及其性质的应用例 5 一个角的补角是这个角的 4 倍，求这个角的度数例 6 如果一个角的补角是 120，那么这个角的余角是( )A30 B60 C90 D150例 7
14、根 据 补 角 的 定 义 和 余 角 的 定 义 可 知 ，10的 角 的 补 角 是 170， 余 角 是 80； 15的角的补角是 165，余角是 75；32的角的补角是148，余角是 58. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角 代替题中的 10、15、32的角来说明你的结论题型三 角的有关运算例 8 如图 443 所示，AB 和 CD 都是直线，AOE 90，3=FOD，12720，求2、3 的度数例 9 如图 444 所示，OB、OC 是AOD 内任意两条射线， OM 平分AOB，ON 平分COD ，若MON，BOC= ，用 、 表示AOD.例 10 (1)用度、分、秒
15、表示 5412 (2)324424等于多少度? (3)计算：13322433方法总结角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算角度制的单位是 60 进制的，和计量时间的时、分、秒一样加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢 60 要进位，而相减不够时要借 1 作 60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢 60 进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数题型四 钟表的时针与分针夹角问题例 11 15：25 时钟面上时针和分针所构成的角是 度题型五 图形的转化例 12 下
16、列图形中不是正方体的平面展开图的是( )例 13 如图 446 所示，将标号为 A、B、C 、D 的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为 P、Q、M 、N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A 与 对应； B 与 对应；C 与 对应；D 与 对应题型六 方位角例 14 如图 447 所示，我海军的两艘军舰( 分别在 A、B 两处)同时发现了一艘敌舰，其中 A 舰发现它在北偏东 15的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母 C 表示)思想方法归纳 1分类讨论思想分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象
17、按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答注意分类时要做到按同一标准且不重不漏例 1 已知线段 AB8cm ，在直线 AB 上画线段 BC，使它等于 3cm，求线段 AC 的长例 2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )A1 或 3 B3 C2 D12数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的例 3 如图 4
18、411 所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线 BC 滚动一周，求 B 点转动的角度3转化思想解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终 例 4 将下列选项中的平面图形绕直线 l 旋转一周，可以得到如图 4413 所示立体图形的是( )中考热点聚焦 考点 1 线段考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解例 1 （2011 广东佛山，12，3 分）已知线段 AB=6，若 C 为 AB 中点，则 AC= （2011 广西崇左，5，2 分）在修建崇钦高速公路时，
19、有时需要将弯曲的道路改直，依据是 考点 2 余角和补角考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解例 2 （2011 清远，6，3 分）已知 35，则 的余角是（ ）A.35 B.55 C.65 D.145（2011南通）已知=20，则 的余角等于 70 （2011 福建福州，5，4 分）下列四个角中，最有可能与 70角互补的角是（ ）A B C D例 3 如果60，那么 的余角的度数是( )A30 B60 C90 D12030角的补角是( )A30角 B60角 C90角 D150角考点 3 钟表上的角度问题考点突破：此类题是近几年中
20、考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题解决此类问题需明确：在钟表上，1 分钟分针走 6，1小时时针走 30例 4 从 3 时到 6 时，钟表的时针旋转角的度数是( )A30 B60 C90 D120考点 4 从不同方向看立体图形考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形例 5 如图 4415 所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个例 6 如图 4416 所示的几何体是由 7 个大小相同的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为( )综合验
21、收评估测试题一、选择题1. 下列说法正确的是( )A平角是一条直线B周角是一条射线C用 2 倍的放大镜看 1 cm 的线段，这条线段变成了 2 cmD用 2 倍的放大镜看 30的角，这个角变成了 602下列说法正确的是( )A直线 AB 与直线 BA 不是同一条直线B线段 AB 与线段 BA 不是同一条线段C射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线D射线 OA 与射线 AO 是同一条射线3. 如图 4417 所示，ABCD ，则 AC 与 BD 的大小关系是( )AACBD BACBD CACBD D不能确定4. 如果线段 AB 6 cm，BC=5cm，那么 A、C 两点间的距离是( )A1
22、cm B55 cm C11 cm D11 cm 或 1 cm5. 若 的补角是 42， 的余角是 52，则 和 的大小关系是( )A B C D不能确定6. 如图 4418 所示，115，AOC90，B、O、D 三点在一条直线上，则3 等于( )A75 B105 C15 D1657. 一个角和它的补角的度数比为 18，则这个角的余角为( )A10 B20 C70 D808. 如图 4419 所示，已知AOCBOD=78，BOC 35，则AOD 等于( )A113 B121 C156 D86二、填空题9. 2930= 度，1825 度 分 秒10. 15 分钟时间，时钟上的时针转了 度，分针转了
23、 度11. 如图 4420 所示，由点 B 观测点 A 的方向是 12. 一个画家有 14 个棱长为 1 米的正方体，他在地面上把它们摆成如图 4421 所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为 三、解答题13. 请仔细观察如图 4422 所示的折纸过程，然后回答下列问题：(1)求2 的大小(2)1 与3 有何关系?(3)1 与AEC，3 与BEF 分别有何关系?14. 如图 4423 所示，已知 AC=CDDB，AC2AM，BN BM，如果 MN5cm，求 AB、CN 的12长15. 如图 4424 所示，一只蚂蚁从 O 点出发，沿北偏东 30方向爬行 25 cm，碰到障碍物 B 后，又沿西北方向爬行 3 cm 到达C 处(1)画出蚂蚁爬行的路线；(2)求OBC 的度数；(3)测出线段 OC 的长度( 精确到 01 cm)
