椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系-高中数学.doc

1、中小学教育资源交流中心 http:/ 提供椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一. 教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识点1. 第 二 定 义 ： 平 面 内 与 一 个 定 点 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 的 距 离 之 比 是 常 数ecaM()0的 动 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 ， 定 点 为 椭 圆 的 一 个 焦 点 ， 定 直 线 为椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率。注意： 对 对 应 于 右 焦 点 ， 的 准 线 称 为 右 准 线 ，xybaFc2 2100()()方 程 是 ， 对 应 于 左 焦 点 ， 的 准

2、线 为 左 准 线acFcxac21 2()e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对 于 椭 圆 ， 设 ， 为 椭 圆 上 一 点 ， 由 第 二 定 义 ：xaybPxy210()()左 焦 半 径 左 左rxcrecaex02020右 焦 半 径 右 右racxrex2003. 椭圆参数方程中小学教育资源交流中心 http:/ 提供问题：如图以原点为圆心，分别以 a、b（ab0）为半径作两个圆，点 B 是大圆半径 OA与小圆的交点，过点 A 作 ANOx，垂足为 N，过点 B 作 BNAN

3、 ，垂足为 M，求当半径 OA绕 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程。解： 设 点 的 坐 标 是 ， ， 是 以 为 始 边 ， 为 终 边 的 正 角 ， 取 为Mxy()OxA参数。那 么 xONAyBayb|cosincosin()1这 就 是 椭 圆 参 数 方 程 ： 为 参 数 时 ， 称 为 “离 心 角 ”说明： 对上述方程（1）消参即xaybxybcosin21普 通 方 程由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。4. 补充 名 称 方 程 参 数 几 何 意 义 直 线 xty0cosin()为 参 数 Pxy00()， 定 点 ， 倾 斜 角 ,tP

4、0，P（ x， y） 动 点 圆 arbsi()为 参 数 A（ a， b） 圆 心 ， r半 径 ， P（ x， y） 动 点 ， 旋 转 角 椭 圆 xycoin()为 参 数 a长 半 轴 长 ， b短 半 轴 长 离 心 角 不 是 与 的 夹 角()OMx 一 般 地 ， 、 取 ，02 中小学教育资源交流中心 http:/ 提供5. 直线与椭圆位置关系：（1）相离xaybkxb21 相 离 无 解ykxb2求椭圆上动点 P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作 ll 且 l与椭圆相切）关于直线的对称椭圆。（2）相切 相 切 有

5、一 解xaybk21 过 椭 圆 上 一 点 ， 的 椭 圆 的 切 线 方 程 为Pxyxayb00 021() ()312相 交 有 两 解abykx中小学教育资源交流中心 http:/ 提供弦长公式：|()()ABxy121241kx212|2ka|【典型例题】例 1. 已 知 ， ， 是 椭 圆 的 右 焦 点 ， 点 在 椭 圆 上 移 动 ， 当AFxyM()23162|MA|2|MF|取最小值时，求点 M 的坐标。分析： 结 合 图 形 ， 用 椭 圆 的 第 二 定 义 可 得 |MAFPA2这里|MP| 、 |AP|分别表示点 A 到准线的距离和点 M 到准线的距离。解：设

6、直 线 是 椭 圆 的 右 准 线 ， ， 垂 足 为 ， 则 ，l Pl eM|1| |MFabcePF， 由 已 知 方 程 得 ， ， ， ， 由 此 得423122|， 从 而 得中小学教育资源交流中心 http:/ 提供|MAFPAMAPMAP2， 即 当 点 、 、 三 点 共 线 且 是 内 分 点时 ， 等 号 成 立 ， 此 时 取 得 最 小 值 ， 点 的 坐 标 为 ，| ()F223例 2. 椭 圆 的 焦 点 为 、 ， 点 为 其 上 的 动 点 ， 当 为 钝 角xyPFP212 1294时，点 P 横坐标的取值范围是_。（2000 年全国高考题）分析：可先求F

7、 1PF290时，P 点的横坐标。解：法一 在 椭 圆 中 ， ， ， ， 依 焦 半 径 公 式 知 ，abcPFx325351| |PFxFP2 121221235， 由 余 弦 定 理 知 为 钝 角()()()259352 2xx， 应 填法二 设 ， ， 则 当 时 ， 点 的 轨 迹 方 程 为 ，PxyFPPy12 205由 此 可 得 点 的 横 坐 标 ， 点 在 轴 上 时 ， ； 点 在 轴 上xFP35012时 ， 为 钝 角 ， 由 此 可 得 点 横 坐 标 的 取 值 范 围 是FPPx12 35小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、

8、计算能力。例 3. 过 椭 圆 内 一 点 ， 引 一 条 弦 ， 使 弦 被 点 平 分 ， 求 这 条xyMM216421()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一 设 所 求 直 线 方 程 为 ， 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 ， 得ykx12()()()()41242602kxkx， 又 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为中小学教育资源交流中心 http:/ 提供AxyBxyxxk()() ()1212 122841， 、 ， ， 则 、 是 方 程 的 两 个 根 ， 于 是 ，

9、又 为 的 中 点 ， ， 解 之 得 ， 故 所 求 直 线 方Mkk1224()程 为 xy240法二 设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 ， 、 ， ， ， 为 的 中 点 ，AxyBxyMAB()()()121 ， ， 又 、 两 点 在 椭 圆 上 ， 则 ，xy xy1212 12246464012， 两 式 相 减 得 ()()xy yx1212()即 ， 故 所 求 直 线 为kxyAB40法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A（x，y），由于中点为 M（2，1），则 另 一 个 交 点 为 ，()42 、 两 点 在 椭 圆 上 ， 有 ， xy2 2241646()()

10、 得 ：xy0由 于 过 、 的 直 线 只 有 一 条 ， 故 所 求 直 线 方 程 为ABxy20法四 直 线 方 程 为 xty21cosin代 入 椭 圆 得 ： ()(i)416022tt 482tcosssn (in)(inco)82tt ， t1222040ssi 8sico中小学教育资源交流中心 http:/ 提供 ，8212sincostan即 ， 故 所 求 直 线 为kxyAB140例 4. 已 知 椭 圆 ， 在 椭 圆 上 求 一 点 ， 使 到 直 线 ：xyPlxy28 40的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一 设 ， 由 参 数 方 程 得P(c

11、osin)()则 d|i| |24342其 中 ， 当 时 ，tanmin12d此 时 ，cosisico233即 点 坐 标 为 ，P()81法二 因 与 椭 圆 相 离 ， 故 把 直 线 平 移 至 ， 使 与 椭 圆 相 切 ， 则 与 的 距 离 ，l ll l 即 为 所 求 的 最 小 值 ， 切 点 为 所 求 点 最 大()设 ： ， 则 由 消 得lxymxymx008292849802 2， 令 ()解 之 得 ， 为 最 大 ， 由 图 得33()中小学教育资源交流中心 http:/ 提供此 时 ， ， 由 平 行 线 间 距 离 得Pl()min8312例 5. 已

12、知 椭 圆 ： ， ， 是 椭 圆 上 一 点ExyPxy2516()()12求 的 最 大 值xy（2）若四边形 ABCD 内接于椭圆 E，点 A 的横坐标为 5，点 C 的纵坐标为 4，求四边形ABCD 的最大面积。分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出 y2 代入 x2+y2，转化为x x的 二 次 函 数 求 解 。 法 二 ： 用 椭 圆 的 参 数 方 程 ， 将 、 代 入 ， 转 化 为 三 角问 题 求 解 。 法 三 ： 令 ， 则 利 用 圆 与 椭 圆 有 公 共 点 这 一 条 件 求 的 最xyr r22 2值，解题时可结合图形思考。得最大值为 25

13、，最小值为 16。题（2）可将四边形 ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于 AC 是定线段，故长度已定，则当点 B、点 D 到 AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时四 边 形 的 面 积 最 大 。 求 得AC20解：() ()125161652法 一 由 得 ，xyx则 ，xy2229() 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为2516法 二 ： 令 ，xy4cosin则 ，22225169165icos法 三 令 ， 则 数 形 结 合 得 ，xyrr（2）由题意得 A（5，0 ），C（0，4），则直线 AC 方程为：4x5y200， 又 设 ， ， 则 点 到

14、直 线 的 距 离BBAC(cosin)中小学教育资源交流中心 http:/ 提供d120204142012041|cosin|sin()|同 理 点 到 直 线 的 距 离DACd24 四 边 形 的 最 大 面 积 S|()120例 6. 已 知 椭 圆 ， 是 椭 圆 上 两 点 ， 线 段 的 垂 直 平xaybABAB2()分线与 x 轴相交于点 P（x 0，0）。求 证 ： a22（1992 年全国高考题）分析： 本 题 证 明 的 总 体 思 路 是 ： 用 、 两 点 的 坐 标 、 及 、 来 表 示 ，ABxabx120利 用 证 明221axa证明：法一 设 ， 、 ，

15、， 由 题 意 知 且 ， ，AyxyxPx()()()12120由 得 |PBx0112又 、 两 点 在 椭 圆 上 ， ，ybxaybxa12221()()代 入 整 理 得 ，210212()()x ， 有 xab120122又 ， ， 且 axx121 22xa中小学教育资源交流中心 http:/ 提供由 此 得 abxab202法二 令 ， 则 以 为 圆 心 ，|PArrxyr为 半 径 的 圆 的 方 程 为 ()022圆 与 椭 圆 交 于 、 两 点xaybAB21由 、 消 去 整 理 得 axxrb220220由 韦 达 定 理 得 ，xba1202() aba20法三

16、 设 ， 、 ， ， 的 中 点 为 、AxyBxyAMmn()()()12 ，mn12又 、 两 点 在 椭 圆 上 ，xaybxayb1221则 两 式 相 减 得 ()()()12121220将 及 ， 代 入 整 理 得 ：yxmxnmyn1201212abab02122， 下 略这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。中小学教育资源交流中心 http:/ 提供例 7. 设 椭 圆 的 中 心 是 坐 标 原 点 ， 长 轴 在 轴 ， 离 心 率 ， 已 知 点 ，xeP32032()到 这 个 椭 圆 上 的 点 的 最 远 距 离 是 ， 求 这 个 椭 圆 的 方

17、 程 ， 并 求 椭 圆 上 到 点 的7距 离 等 于 的 点 的 坐 标7解法一：设椭圆的参数方程为xaybabcosin( )， 其 中 ，02由 ， 得e22134()设 椭 圆 上 的 点 ， 到 点 的 距 离 为xyPd则 d223()ab2cosin)31432(i如 果 即1b那 么 当 时 ， 取 得 最 大 值sin()()73222db由 此 得 与 矛 盾b731因 此 必 有 ， 此 时 当 时 ， 取 得 最 大 值21274322bdbsin()解 得 ， a1中小学教育资源交流中心 http:/ 提供所 求 椭 圆 的 参 数 方 程 是 xy2cosin由

18、， sincos1232求 得 椭 圆 上 到 点 的 距 离 等 于 的 点 是 ， 与 ，P7312312()()解法二：设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 xayb20由 ， 解 得ecab2213412()设 椭 圆 上 的 点 ， 到 点 的 距 离 为xyPd则 d223()aby2223492213()y其 中 ， 如 果 ， 则 当 时bbyb2d27取 得 最 大 值 ()()解 得 与 矛 盾31故 必 有 b2当 时 ， 取 得 最 大 值ydb7432()解 得 ， a1所 求 椭 圆 方 程 为 xy241中小学教育资源交流中心 http:/ 提供由 可 求 得 到

19、点 的 距 离 等 于 的 点 的 坐 标 为 ，yP 127312()小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。【模拟试题】1. 已知椭圆xayb210()的焦点坐标是 FcPxy1200()()()， 和 ， ， ， 是椭圆上的任一点，求证： | |PFaexPaex1020， ， 其 中 是 椭 圆 的 离 心 率。2. 在椭圆xy259上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。3. 椭圆()()|xy1431022的长轴长是_。4. 椭圆yabFcc2 1200()()()的 两 焦 点 为 ， ， ，离心率e32，焦点

20、到椭圆上点的最短距离为 23，求椭圆的方程。5. 已知椭圆的一个焦点是 F（1，1），与它相对应的准线是 xy40，离心率为2，求椭圆的方程。6. 已知点 P 在椭圆yaxb210()上， F12、 为椭圆的两个焦点，求|PF12的取值范围。7. 在椭圆xyt281内有一点 A（2，1），过点 A 的直线 l 的斜率为1，且与椭圆交于B、C 两点，线段 BC 的中点恰好是 A，试求椭圆方程。8. 已知椭圆xy2516，在椭圆上求一点 M，使它到两焦点距离之积为 16。9. 如图，已知曲线 493602xy()， ，点 A 在曲线上移动，点 C（6，4），以中小学教育资源交流中心 http:/

21、提供AC 为对角线作矩形 ABCD，使 ABx 轴，ADy 轴，求矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标。中小学教育资源交流中心 http:/ 提供【试题答案】1. 证明：椭 圆 xayb210()的两焦点 Fc120()()， 、 ， ，相应的准线方程分别是xc22和。椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率，|PFxacexe10220，。化简得 | |PFax1020， 。点评： |PF2、 都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，| |aexex100，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点。2. 解：设 P 点的坐标为（

22、x，y），F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点。椭圆的准线方程为54，|x12254 |PF12 ， 54251|xx把 代 入 方 程 y21259得 y4因此，P 点的坐标为()25194，。中小学教育资源交流中心 http:/ 提供点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。3. 32解析：椭圆的方程可写成()()|xy1435122，ca2一个焦点是（1，1），相对应的准线方程是 430xy， c24358|由、得aa162， 。4. 解：椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， c23又ea，

23、 ， 故 b21椭圆的方程为yx245. 解：设 P（x，y）为椭圆上任意一点，椭圆的一个焦点是 F（1，1），与它相对应的准线是 y40，离心率为2，()()|x1222中小学教育资源交流中心 http:/ 提供 414222()()()xyxy，即 380为所求。6. 解：设 P ()xy0， ，椭圆的准线方程为yac2，不妨设 F1、F 2 分别为下焦点、上焦点则|Fyacca10220， ，| |PPFy1020 |()()Faca20y20 ay0，当 时， |PFa122最 大 ， 最 大 值 为当 y cb0 2 时 ， 最 小 ， 最 小 值 为|因此， |12的取值范围是 b

24、2，7. 解：设直线 l 的方程为 yx1()由 ， 消 去yxt82()得 ()txt472802，由已知， t1，解得 t4， 椭 圆 方 程 为 xy2841中小学教育资源交流中心 http:/ 提供8. 解：设 M（x，y），由椭圆方程得 abc543， ， ， e35故16 25912 22|()Faexaexx，x=5。代入椭圆方程，得 y 0，所求点 M 为（5，0）或（5，0）9. 解：设 A(cosin)32， ，()2，则 BCDi)(cos66434， ， ， ， ， ， SACD| )(in)216sicsco，令tt tsinco(in， 则 ， ， 12，StABCD329()当 时 ， ， 此 时 ， ，tSA712432min ()欢迎访问 http:/