1、1第一章 函数与极限测试题答疑一、选择题（74 分）1 设 ，则 -（ D ）45)(,0,)(2xgxxf )0(gfA B C D 6 16注：中学基本问题，应拿分！2 函数 的增量 -（ C ）)(xfy)(xfxfyA 一定大于 0 B 一定小于 0 C 不一定大于 0 D 一定不大于 0注：中学基本问题，应拿分！3 -（ C ）xx210)(limA B C D 61e32e23e6e注：重要极限基本问题，应拿分！4 当 是关于 的-（ C ）2tan,0xxx2siA 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但非等价无穷小注：无穷小比较基本问题，应拿分！5 是 的-（
2、B ）x16)4si()2xfA 跳跃间断点 B 可去间断点 C 第二类间断点 D 连续点注：间断点类型基本判定问题，应拿分！应选何答案？46 曲线 的水平渐近线方程为-（ B ）2sinxyA B C D y2x2y注：水平渐近线方程基本问题，应拿分！7函数 在 处有定义是 在 处有极限的- （ D ）)(xfy0)(f0A 充分但非必要条件 B 必要但非充分条件C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条件注：函数 在 处有定义与有极限的基本关系问题，应拿分！)(xfy02二、填空题（34 分）1 .523)16(2limnn 081注： 的基本计算问题，分子分母比较最大项，应拿分！2若函数
3、 连续，则 2 .0,3)2l(xaya注：函数连续的基本问题，应拿分！3已知： ，则 ， .xbx15lim24b6注：极限的逆问题，有一定难度！由 ，得 ，进而有21li()0x6a三、计算题（47 分）1 1arctnlimxxe2注：极限定式的基本问题，应拿分！2 =2)(lixx1ln()1lim(1)lim220x xxe:注：极限 的基本问题，应拿分！13 )(lixxlix1lixx2注：极限 的基本问题，尽管例题未讲，但处理方法讲过，化为比式，应拿分！4 30sin1talimxx 301tansilimtansix xx:= =23330001tnsita(cos)lili
4、li22xx x4注：极限 的综合问题，有一定难度！错误解法：原式 3 30 01tansi(1tan)(1sin)2limlimx xxx尽管得数正确，但分子两个局部等价无法保证整个分子也等价！3四、 （9 分）设 ,1xey（1）求函数的间断点并判断其类型；（2）求该函数图象的水平渐近线及铅直渐近线。解：（1） 是非定义点，一定是间断点，又 ，所以 为第二类间断0x 0lim()xf0x点（2）因 ，则 为铅直渐近线 )(lim0fx 0x又 ， 所以 ， 为其水平渐近线1 1)(lifx 1y注：极限应用的综合问题，但难度不大！五、 （8 分）当 时， 与 互为等价无穷小，求 值。032
5、xacosa解：因为 ， ，2321x2则 ，所以2320031limlicosxxa3a注：极限的逆问题，但难度不大！错误解法：因为 ，23231x2cosax又 ，故 ，所以321cosxa:23想一想，该方法为何错？六、 （8 分）把长为 的线段 AB 分为 等分，以每个小段为底做底角为 的等腰 ，这nn2些等腰 的两腰组成一折线，试求当 无限增大时所得折线长的极限。解： anan2sec.lim注：极限的基本建模问题，应拿分！请解决下列问题：1、半径为 的圆内接正 边形，试求当 无限增大时，其边长与面积的极限。rn2、根据药物动力学理论，一次静脉注射剂量为 的药物后，经过时间 ，体内血
6、药浓度0Dt为 ，其中 为消除速率常数， 为表观分布容积。若每隔时间 注射一kteVDtC00Vr次， （1）试求 次注射后体内血药浓度 与第 次注射后的时间 的关系。ntCn t（2）随着 的无限增大，血药浓度是否会无限上升呢？4七、 （7 分） （二题可以选作一题）（1）求 )121(lim22 nnn （2）求证：方程 在 内至少有一实根xsi),(（1）解： 22222111nnn而 ，2limn2li1n故由夹逼定理知原式注：和式极限的基本问题，利用和式分项中的最大项、最小项进行放缩，由夹逼定理完成，本题属提高题型中的简单题！试用夹逼定理证明3li0n（2）证明：令 ，其为在 上有定义的初等函数，xxfsi2)(,2则 在 上连续，又 ，,0)(f 0)(f故由零点存在定理知，在 内至少存在一点 ，使得,即方程 在 内至少有一个根，证毕。0)(xf)2(注：连续的基本性质问题，尽管未介绍，但其属于中学问题，理解上较容易，但在证明表述上有一定难度！试证明方程 至少有一个正根，并且它不超过 。),(sinbax ba
