1、20第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42681 函数极限概念 （ 4 时 ）一、 时函数的极限：x1. 以 时 和 为例引入.xf)(arctgx)(2. 介绍符号: , , 的意义, 的直观意义.)(limxf3. 函数极限的“ ”定义( , , ).MAxfx)(lixAxf)(li4. 几何意义: 介绍邻域 , ,UMU)(其中 为充分大的正数然后用这些邻域语言介绍几何意义xU)(5. 函数在 与 , 极限的关系: Th1 .)()( )( AffAf 例 1 验证 .0limx证明格式： （不妨设 ） （不妨设 或 ， ）xx要使 化简 附加条件逐次放大不等式 ，Af)(
2、只须 （ ）或 （ ） ， （ ）.xxx于是 , ，当 （或 ， ）时，有0M0M. -根据函数极限的“ ”定义知 = （或 = ， = ）.xlimxlixlim例 2 验证：1） ； 2） .limarctgxx 2arctgx例 3 验证 .2lix21证 . 42 424 223xxxx x6. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.7. 的存在性与非唯一性,对 只要求存在,在乎其大的一面.MM二 时函数 的极限：0x)(xf1. 由 考虑 时的极限引入.2 ,1)(f 2x2. 函数极限的“ ”定义.3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例 4 验证 .lim0Cx
3、例 5 验证 0例 6 验证 .5123729li3xx证 由 =, 512)3( 223 x.2951395 12 xx为使 需有 ,695;13x为使 需有 32562 1xx .2于是, 倘限制 , 就有10537293x29x .31x证明格式： （不妨设 ） （不妨设 或 ，0000x22,则 ）0xx要使 化简 附加条件逐次放大不等式 ，Af)( 只须 （ ）或 （ ） ，0x0x0x0x（ ）.x0于是 , ，当 （或 ，0x0x）时，有: .x0 -根据函数极限的“ ”定义知 = （或 = ， = ）.0limx0lix0limx例 7 验证 ). 1 (,1lim220 xx
4、例 8 验证 ( 类似有 .sin00 ) .cosli00x5. 的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.6. 的存在性与非唯一性,对 只要求存在,在乎其小的一面 .7. 存在并不意味着 在 有定义,即就是有定义也并不意味着Axf)(li0 )(f0(如例 6).fA例 9 证明 .1lim0xa)(三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2. 几何意义: 介绍半邻域 ,0 ),(axa),(a,a然后介绍 等的几何意义),(),00a lim0xfx例 9 验证 .1lim2xx证 考虑使 的 .3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 .)0()( )(li00 AxfxfAxf
5、 23例 10 证明: 极限 不存在.xxsgnlim0例 11 设函数 在点 的某邻域内单调. 若 存在, 则有 =)(f )(lim0xf)(lim0xf.0Ex 1P47 17.2 函数极限的性质 （ 2 时 ）我们引进了六种极限: , ),(lim),(li ),(limxfxfxfxx )(li0xf. 以下以极限 为例讨论性质. 均给出证明或简证.)0( ),(0fxf 0一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性: 2. 局部有界性:3. 局部保号性:4. 单调性( 不等式性质 ):Th 4 若 和 都存在, 且存在点 的空心邻域 , 使)lim0xf)(li0
6、gx 0x)(0x都有,(x)(lim0fx).li0gx证 设 = ( 现证对 有 )li0fx .)(li ,0BAx,.2Ba.2 ,)( , , , AxgfA註: 若在 Th 4 的条件中, 改“ ”为“ ”,未必就有 以 )(xfB举例说明.0 ,1)(1)(2xgxf5. 迫敛性( 双逼原理 ):例 1 求 .xlim06. 四则运算性质: ( 只证“+”和“ ”)Ex 1P51 57.24二 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：;coslim ,sinli ,lim ,li 000 0000 xxxCxxxx （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）.2 ,1arctgx
7、x这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例 1 ( 利用极限 和 ).1(lim4xtg 24sinlim4xx .2coslim4xx例 2 ) 1( . 3 li1 xx例 3 .527li3x註:关于 的有理分式当 时的极限.x例 4 利用公式 .1lim07x ).1)(12aaann 例 5 .2li21x例 6 .531lixx例 7 .2)0sin(lim54xx例 8 .1li3x例 9 .li30x例 10 已知 求 和 .316lim23BxAx.25Ex 1P51 14.补充题: 已知 求 和 ( ).74li
8、m2BxAA. .320 ,16B3 函数极限存在的条件（ 2 时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 为例.)(lim0xf一、Heine 归并原则 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数 在点 的某空心邻域 内有定义.则极限 存在 对任何f0x)(0x)(li0fx且 都存在且相等. ( 证 )(0xn)lim ,nnfHeine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为 单调趋于 . 参阅1P 70.nx0x例 1 证明函数极限的双逼原理.例 2 证明 .01sil0x例 3 证明 不存在.nmTh 2 设函数 在
9、点 的某空心右邻域 有定义.则 对任何以)(f0x)(0xU Axfx)(lim0为极限的递减数列 ,有 .0xn)(0AfnlimTh 3 设函数 为定义在 上的单调有界函数.则 存在.)(xfx )(li0fx二、Cauchy 准则:Th3 (Cauchy 准则)设函数 在点 的某空心邻域 内有定义.则 存在)(f0),(0)(lim0xf,x, 0 , )( . xff证 )( 利用 Heine 归并原则 )26Cauchy 准则的否定 : 不存在的充要条件.)(lim0xf例 4 用 Cauchy 准则证明极限 不存在.x1sinl0证 取 2 ,1nx例 5 设在 上函数 . 则极限
10、 存在 在 上有) ,a)(xf )(limxfx)( xf) ,a界. ( 简证, 留为作业 ).Ex 1P55 14.4 两个重要极限（ 2 时 ）一 （证） （同理有 ）.1sinlm0x ,1sinlm0xx .1sinl例 1 .ix例 2 .20cosl例 3 in5xx例 4 .arcslm0例 5 证明极限 不存在.x il0二. .1liex.) 1(lim0exx证 对 有 ,n,1nn ,111x27例 6 特别当 等.,1limxxk21 ,k例 7 .) 2(li0xx例 8 . sin31csx例 9 n2limEx 1P58 14. 5 无穷小量与无穷大量 阶的比
11、较（2 时 ）一、无穷小量: 1. 定义. 记法.2.无穷小的性质: 性质 1 (无穷小的和差积)性质 2 (无穷小与有界量的积 )例 1 .53sinlim23n3. 无穷小与极限的关系:Th 1 ( 证 )Axfxf)( )(li0 . ,)1(0x二、无穷小的阶: 设 时 0 .1 ),(gf1 高阶（或低阶）无穷小：2 同阶无穷小：3 等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设 以 作为基本无穷小, 有等价关系: 0x当 时, , , , , ,0xsintg1xa)ln(xxarcsin2
12、8 , , , .arctgxxcos121nxnx)(再加上 时 (或 时) 的( 或 的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无n穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例 3 求 .xrctx4silm0例 4 n3g三. 无穷大量:1. 定义:例 5 验证 .201lix例 6 验证 .3m2. 性质:性质 1 同号无穷大的和是无穷大.性质 2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质 3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1. 定义：2. 结论：若 ,则直线 为曲线 的垂直渐近线.)(lim0xf0x)(xfy若 ,则直线 为曲线 的水平渐近线.cx cy若 ,则直线 为曲线,)(liafxbaxfx)(li baxy的斜渐近线.)(fy注： 可换为 , ; 可换为 , .0x00 x例 7 求曲线 的渐近线.32)(xf29Ex 1P66 16.
