第一章 转移函数.doc

1、1模拟信号处理讲课人：张筱华2第一章 转移函数第一节 复频率一、 引言在电工基础理论的学习中，我们曾对形式为的正弦信号进行过详尽的讨论。例如我们学过)cos(tA的电压信号和 的电流信号，其中utU itIcos或 称为幅度， 称为角频率，而 称为初相。I u应当指出，直接采用正弦信号来分析电路是不方便的。例如在图 1-1-1 所示的电路中，设已知 为正弦信号)(t，则电压 和回路电流 之间的关系式)cos(utU)(tuti应为： )(d)(1d)()( tutiCtiLtRi（1-1-1）3如果欲求电路中的稳态电流 ，就得求解式（1-1-)(ti1）类型的微分方程，这显然是较为麻烦的。因此

2、，在电工理论中采用了“符号法”来分析正弦型信号的电路，其实质是将正弦信号 看成二)cos()( utUtu个指数信号的和。即：)j()(j ee2)cos()( uu ttutUtu = 21 tjjtjj eeUee uu = （1-1-2 ）tjtj eUe*21式中：（1-1-3 ）uuUUj* je这样，一个正弦信号被化成了二个“实频率指数型信号”和 之和，它们分别具有角频率 和tUjetUj*e 4，以及复振幅 和 ，从而使电路的分析变得较为方U便起来。当时指出，采用这样的“符号法”之后，电路的计算就由微分方程问题变成了普通的代数问题。例如欲求电路中的稳态电流，则只要经如下步骤就可以

3、得出。 （1） 写出电源电压（正弦信号）：即的 复 振 幅 ,)cos()( UtUtu u（1-1-4）uje（2）计算电路在这种指数信号作用下的复阻抗（1-1-5）CLRZj1j)(j （3）计算电流的复振幅 。方法是：I（1-1-CLReUZUeII ui j1j)(j jj 6）5（4）由上步计算得到的 ，可立即写出电路的ieIIj稳态电流 为：)(ti（1-1-7）)cos()( itIti 可见，将一个具有 形式的正弦信号，推广)(tA到形如 （这是我们接触到的第二种信号）的实频率指tAje数型信号之后，产生了两方面的意义。一方面，它使电路的计算变得大为方便，原来的微分方程化为了代

4、数方程；另一方面，它使原来只能为正值的角频率 拓广到复平面的整个 虚j轴上，即 的范围扩展到区间 中，从而使问题的讨 ),(论深化了一步。上述的形如 的信号（称之为实频ttAAjjj ee率的指数型信号）可以用一个旋转矢量来表示，如果 1-1-2 所示。图 1-1-3 表示了式（1-1-2）所示的二个实频率指数型信号 ，即正弦信号。tjtj eUUe*216为了使问题的讨论更为深刻化，需要以一个复数频率 代s替 中的频率 ，从而形成一个更为广泛的复频率tAjej指数型信号 。下面我们对此具体讨论。stAe二、 复频率如上所述，我们提出了一个复频率指数型信号 ，其stAe中 为一个复数，即：s（

5、1-1-8）js对比我们过去学过的复数 可见，上式中的jyxz分别表示该复数 的实部和虚部。和 s从而：7（1-1-9）tstAA)j(ee其中 称为 的复振幅。jst显然，当复数 的实部 时 ，即还原s0tstAAjee为实频率的指数型信号。可见 的一个特例。sttej是下面讨论 如何用旋转矢量表示。因为：stAe)j()j(j eeee tttst AA（1-1-10）式中 恒为一个正实数，且随着 变化而变化，)0(et t因而如果将 看成一个合成振幅的话，则此振幅的大tAe小和变化趋势将与 的正、负值有关。按照 的正负情况，并参考上面介绍的旋转矢量表示方法，可得如下结论。（1）当 随着时

6、间的增加tA e,0为 负 值 时即时而减小。因而式（1-1-10）所示的指数信号可用图 1-1-4 所示的旋转矢量表示。该图表示出： ;e,0 其 初 相 为为 起 始 振 幅其 振 幅时 AAt t8旋转角频率为 。随着 逐渐减小。 tAt e,振 幅的 增 大（2）当 。显然这就是)j(e,0 tst此 时 信 号时原来的实频率指数型信号。它的振幅恒定不变，如图 1-1-5 所示。（3）当 时, 可表0 stt AtA e,e 因 而的 增 加 而 增 加随 时 间示为图 1-1-6 所示的旋转矢量。可见，当采用复频率指数信号的表示方法之后，其旋转角频率 与实频和 初 相率指数型信号 中

7、的 具有类似tAje和的意义，但其振幅 表示的意义却大大t9地丰富了，更具有一般性了，因而这种信号的表示方法获得了更为广泛的应用。三、 复平面采用旋转矢量表示复频率指数型信号 的方法，虽然stAe明确地表示了信号幅度的变化情况、 的正负及初相 的角度大小，但不能确切地表示复频率 、 的量值。因而人们常采用复平面的表示方法。我们知道，复频率 是js一个复数，所以可以将它用复平面上的点来表示，这个复平面通常称为平面，其实轴表示 ，虚轴表示s ，如图 1-1-7 示。显然，图中的j 分别代表如下复频率的指数1s5型信号：1023j2jj354321sss由此可以看出，在 S 平面左半平面上的点具有实

8、部的特征，它代表了减幅的指数型信号。例如0。tt AsAs 25)2j3(1 e,e 表 示 的 信 号 是表 示 的 信 号 是在 S 平面右半平面上的点具有实部 的特征，它代表0了增幅的指数型信号。例如 tttt AsAAs 242j3)2j3(2 e,ee 表 示 的 信 号 是表 示 的 信 号 是 。在 S 平面虚轴上的点具有 的特征，它们表示了等幅0的指数型信号。例如 代表的信号是 。3s tA3je应该指出，在 S 平面上的一对共轭点具有更加明显的意义。这是因为对于 和 这一对共轭点，它们对js j*s应信号的合成是：11tAAAA tttttt cose2ee(ee )jj)j

9、()j( （1-1-11）这是一个具有变化幅度的正弦形信号。由此式不难得出下述结论：在 S 左半平面上的一对共轭点代表了一个减幅的正弦信号。在 S 右半平面上的一对共轭点代表了一个增幅的正弦信号。在 轴上的一对共轭点代表了一个等幅的正弦信号。j在 轴上的单频率点代表了呈实指数型变化的信号；在正实轴上的点表示指数)0(型单调增加的信号；在负实轴 上的点表)0(示了指数型单调衰减的信号；而原点代表了直流信号。S 平面上各种频率12点的位置与信号波形的对应关系如图 1-1-8 所示。通过以上的分析，可以看出，采用复频率指数型信号能够表示多种波形，因而它具有更加普遍的意义。stAe四、 运算阻抗以上的

10、讨论已将信号（电压和电流）的表达形式拓广和一般化。那么，我们很自然地会提出这样一个问题：如果电路中的激励是复频率的指数型信号，例如图 1-1-9 示的电源电压，那么电路中的稳态响应stUtue)(应如何计算，即如何求得回路中得稳态电流 呢？)(ti按照克希霍夫定律，有：stst uUttiCttiLtRi eed)(1d)()( j （1-1-12）式中：称 为电源电压的复振幅（已知量） 。uUje由高等数学中微积分方程的求解方法，我们知道 的稳态)(ti解（即特解）应与 具有相同形式，因而设定 形式为：)(tu )(ti13（1-1-13） ststIIti i eee)(j 其中： 称为电

11、流复振幅（系方程的待求量） 。iIIj将（1-1-13）式的 形式代入方程（1-1-12）式，可得：)(ti stststst uiii UsICILIR ee1eee jjjj 从而可以解得：（1-1-14）sCsLRUI ui 1eejj 即：（1-1-15）sCsLRUI 1令： （1-1-16）sCsLRsZ1)(14并称之为回路的运算阻抗，于是（1-1-15）式又可表示为：（1-1-17）)(sZUI将（1-1-15）式与原实频率指数信号下电流复振幅的计算公式即（1-1-6）式进行对照并分析它们各自表示的意义，可以得出下述结论。（1）电路的激励为复频率 的指数型信号 时，电s stU

12、e路的响应亦为具有同样复频率的指数型信号 。因此，在stI计算时只须计算响应的复振幅即可。（2）计算响应的复振幅的方法，与在实频率指数型信号情况下的计算方法相似，只不过电路中元件的阻抗应该改动如下：实频率 复频率R RLj sLCj1 sC1即将原来的表达式中的 换成 即可。js（3）由（1-1-6）式可见，在实频率指数型信号作用的电路中，电压、电流的复振幅与 有关，因而是可以表示为j15的函数，即：jCLRUI j1j)(j)(j 而在复频率指数型信号作用的电路中，电压、电流的复振幅与有关，因而可以表示为 的函数，即：s ssCsLRUsI 1)()(（4）电路在实频率指数型信号作用下的复阻

13、抗 ，)(jZ与在复频率指数型信号作用下的运算阻抗 之间，具有如)(sZ下简明的关系：)(j)(j ZsZs或： )()(jj ss这一结论可由式（1-1-5）和式（1-1-6）对比看出。由以上的分析可知，复频率的指数型信号是实频率指数型信号（即正弦信号）的进一步拓广和一般化，其分析和计算的基16本思想与原来的符号法完全一致，对此以后将不再说明。第二节 转移函数在有源滤波器的分析和设计中， “转移函数”是一个十分重要的概念。本节将首先给出转移函数的定义，然后详细地讨论它的各种性质。一、 转移函数的定义转移函数 是复频率 的函数。其定义是在二端对网)(sHs络的某一端对加以复频率指数型信号 的激

14、励时，在另一stAe端对上产生的稳态响应 的复振幅 与激励信号的复stBe)(sB振幅 之比。即：)(sA（1-2-1）)()(sABsH对于图 1-2-1 所示的二端对网络，激励可以是输入端的电压，亦可以是输入端的电流 ；inU inI响应可以是输出端的电压 ，亦可以是输出端的电流 。因0U 0I17而转移函数 可以有四种不同的形式。)(sH（1）输出电压 与输入电压 之比，称为电压转移函0UinU数；（2）输出电流 与输入电流 之比，称为电流转移函0I inI数；（3）输出电压 与输入电流 之比，称为转移阻抗函0UinI数；（4）输出电流 与输入电压 之比，称为转移导纳函0I inU数。通

15、常情况下，最常用到的转移函数是指图 1-2-2 所示的情况。即其输出端开路（空载）而输入端接有恒压源 ，此时inU的转移函数（电压转移函数）可记为：in0)(UsH(1-2-2) 考虑到 是 的函数，所以也可记为：in0、Us18（1-2-3 ）)()(in0sUsH与转移函数相反，人们还定义了电压衰减函数（voltage loss function） ，其意义是：（1-2-4）)()(0insUsD显然，电压衰减函数 与电压转移函数 倒数关系。)(sH例 1-2-1对于图 1-2-3 所示的二端对网络，计算其电压转移函数 。)(sH解设输入电压的复振幅为 ，则回inU路电流 为：IRsLUI

16、in输出电压的复振幅 ：0RsLURIUin0因而有：19RsLUsHin0)(也可得到电压衰减函数 为：)(sDRsLHUs )(1)(0in二、 转移函数的基本性质对转移函数的主要性质可以讨论归纳如下：（1）转移函数 是 的实系数的有理函数，即它总可)(sH以表示成二个 的实系数多项式的比。s由例 1-2-1可以看出这个性质是正确的，为了说明这个性质的一般性，再举一个例子。例 1-2-2求图 1-2-4 所示电路的电压转移函数。解由定义可以得出： RsLLCRssCRsLsRLUsH 22in0 1)(20显然，由于 的比值是由网络中的元件阻抗（或导in0/U纳）决定的，而元件阻抗（或导纳

17、）是 的函数（实系数） ，s因而 也一定是 的实系数的有理函数。)(sHs因此，可以将转移函数的一般形式写成：（1-2-11）01110111)( bsbsbsb aaaasHmmnnn 式中： ，且全部系数 、0,0mna nii aa除均 为 实 数和 (外，这些系数亦可为零） 。mb如果将其分子和分母多项式分解因式，则 可以表达为)(sH另一种形式，即：（1-2-)()()( 2121 mm nn pspspsb zzzasH 12）在这个表达式中， 、 、 被称为 的零点，1z2nz)(sH因为当 时， ；而 、 、 被称为izs0)(sH1p2 mp的极点，因而当 。)(H )(,s

18、Hi时此外，如果 分子多项式的 的最高幂次比分母 的最)(s s21高幂次高 次，则当 时， 亦为无穷大，因而说ks)(sH在 处有 阶极点。例如：)(sHk1)(2SsH反之，如果分母比分子幂次高 次，则当 ，ks，因而说 处具有 阶零点。例如：0)(sHs在)(1)(3SKH如果将 处的极点和零点包括在内的话，那么 的s )(sH零极点个数是相等的。例 1-2-3对于例 1-2-1中的转移函数：LRsRsLH)(其零点为 （一阶零点） ；s其极点为 。LR/零、极点的个数均为 1。例 1-2-4对于例 1-2-2的转移函数：)(11)( 222222 1pspsLCsRsRLsLCRSsH

19、 22其中： LCRRCp1412121 Lp1412122 可见，该转移函数具有两个零点，均在 处（二阶零0s点） ，还有两个极点 ） 。这二个极点的位置随着根号中、p1(2的运算结果不同而不同，例如假定： LCR142即： 21时，则： 21 4112CRLjRCp241121CRLjRCp这是二个分布在 S 左半平面上的一对共轭点。转移函数的零、极点可以标在 S 平面上，这称为 的零)(sH极点图。如例 1-2-4的零极点图示于图 1-2-5 中。23（2）转移函数的零点（极点）对于轴呈对称分布。由于 的分母和分子都是 的实)(sHs系数多项式，因此由这个多项式分解因式得到的极点（零点）

20、必然是以共轭对或实数的形式出现。这就是说，如果 有一)(sH个复数极点 （即 的分母中有因式iijp)(sH时） ，则 一定还有一个复数极点iijs( )(sH（即分母中一定还有因式 存在） 。只iijp )(iijs有这样， 分母多项式中的诸系数才可能为实系数。)(sH）iijs( )(iijs 222 iiiss 式中 的系数及常数项均为实数，不再含有虚数符号 j。、s2因此， 的复数极点一定是以共轭对或实数形式出现。)(H同样地，如果 有一个虚轴上的极点 ，则必然)(s ipj还有一个在虚轴上的共轭点 ipj，只有这样，分母多项式才能成为 的实系数多项式：s22)j)(j( iii ss

21、s显然， 的零点也应具有共轭出现的特征，因此，转)H24移函数的零（极）点可以是实系数，亦可以是复数或纯虚数，但是当它们是复数或纯虚数时必然共轭出现。这就是说，在零极点图上的零（极）点是对 轴呈对称分布的。图 1-2-5（例 1-2-4）说明了这一性质的有效性。（3）对于稳定网络，其转移函数的极点位置将受到更多的限制。稳 定 网 络 是 指 这 样 的 二 端 对 网 络 ： 当 在 该 网 络 加 以 有 界 的激 励 时 将 产 生 有 界 的 响 应 。 换 句 话 说 ， 当 在 稳 定 网 络 上 加 一 个有 界 的 输 入 时 ， 其 输 出 不 应 随 时 间 无 限 制 地

22、增 长 而 变 成 无 穷 大 。显然，无源网络一定是稳定网络。因为它本身不含有能源，除输入的有界激励外不可能有其它能量加入，因而其输出必然是有界的。有源网络是指网络本身含有有源器件（如晶体管，运算放大器等） ，因而除输入的激励信号外，必然还有其它能源（如晶体管、运算放大器等） ，从而有可能配合输入信号（甚至在无输入信号的情况下）使输出变成无穷大（自激振荡），在这种情况下失去了滤波的意义（如果我们是用该网络来滤波的话） ，这是我们所不希望的。因而要求二端对网络应该是稳定网络。经过讨论，教材给出了如下的结论。稳定网络的 可以)(sH具有下述位置的极点：即 S 平面左半平面（不包括 轴）上j25的

23、单阶（或高阶）极点；在 轴上的单阶极点（包括原点处j的单阶极点） 。这意味着 的分母可以由它们对应的因式组)(sH成，如表 1-2-1 所示。表 1-2-1（允许的）极点位置 对应因式iij（单价）iji0222 iiiss 22iis(注：表中 、 均为正实数 )ii综上所示，稳定网络的 可以表为下述形式：(sH（1-2-i k kki dscsasNsH )()()( 220）式中， 表示 的分子多项式（包括有常数因子在)(sN)(sH26内） 。分母是由一些基本因式相乘表示的，其中 、 、 均iakckd为正实数。在分母的诸因式中允许某一个 值为零，它表示i具有原点处的极点。当某个 为零

24、时，表示在 处)(sH kc kpj有一虚轴上的一对共轭极点。显然，分母的诸因子相乘后，将得到一个系数全部为正的实数的 的多项式，人们称这个多项式为霍尔维茨s（Hurwitz）多项式。例 1-2-5检验下述 是否为稳定网络的转移函数。)(sH41)(43)(221sHsss解 不是稳定网络的转移函数，因为其分母多项)(1s式有一个系数为负数。容易检验，它的极点是在 S 平面的右半平面上。是稳定网络的转移函数，其极点是在 轴上的一对)(2sH j共轭极点 ，且为单阶。注意到它有一个零点 是在)2jp 1z右半平面上，但这并不违背前面分析的稳定网络的性质。在本节结束之前，我们把稳定网络的转移函数的

25、性质总结如下：它是 的实系数的有理函数。s复数极点（复数零点）必然共轭发生。它没有 S 右半平面上的极点。在 轴上的极点是单阶的。j其零点位置没有任何限制。27第三节 转移函数的实频率特性二端对网络的转移函数，体现了复频率指数型信号，经网络传输后的输出电压复振幅与输入电压复振幅的比，它表示了网络对该信号的传输特性。但是实际上，任何信号总可以看成是一些基本正弦信号的组合。因此，研究网络对于基本正弦信号的传输情况，具有更为重要的意义。网络对于各种频率正弦信号所呈现的传输特征，就称为二端对网络的实频率特性。一、转移函数的实频率特性为了讨论上的方便，先看一个例子。在图 1-3-1 所示的电路中，设在输

26、入端加入的激励信号是一个正弦电压信号 ，可按照第)cos(inintU一节中式（1-1-4 ）式（1-1-7）介绍的方法，求出该网络的响应电压 。0U即为：（1）写出激励电压的复振幅：injinineU28（2）写出回路的复阻抗：CRZj1)(j（3）计算响应电流的复振幅：CRUIj1in（4）计算响应电压的复振幅：in0 j1j1j1UCRCIU即得：（1-3-1）in0j1j1UCRU或写成：29（1-3-2）in0 jinj0 ej1j1e UCRU如果令：（1-3-3）CRHj1j1)j(可见 是一个复数，它可以表示成极坐标的形式：)j(H（1-3-4）)(je)j()j( H、 、

27、都是 的函数，它们随输入信号)j(H)j()(角频率 的变化而变化。由（1-3-1 ）式和（1-3-2）式、 （1-3-3）式可见，输出电压的复振幅 和输入电压的复振幅 的关系可以写成：0UinU（1-3-5）in0)(jH或30in0jin)(jj0 ee)(e UjHU或（1-3-6）)(jinj0 in0 e)(e UjHU（1-3-6）式意味着下面二等式同时成立，即：in0 in0)()j(UHU )831(7可见，输出电压（正弦信号）的幅值 不仅与输入电压幅度0U有关，还与 有关：在 设定的情况下，inU)j(Hin越大，则输出电压的幅值 越大； 越小，)j(H 0U)j(H则输出电压的幅值 越小。因而 决定了输入信号经网0U)j(H络传输后的增益情况，它直接影响了输出正弦信号的幅值。由（1-3-8 ）可见， 决定了输出电压（正弦信号）的)(相位超前相角， 越大，则输出电压比输入电压相位超前)(越多。因而 直接影响了输出正弦信号的相位。)(由此可见， 、 、 是由二端对网络)j(H)j(H)(