1、1第一章 函数与极限 自测题 B 卷一、单项选择题1. 是( D )xexfcosin)(A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数2.若 和 都不存在，则( B )lm0xl0gx(A) 和 也都不存在)(if)(lim0xgfx(B) 和 中至少有一个不存在l0x (C) 和 可能都存在)(igf )(li0fx(D) 和 一定都存在l0xxg3.当 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小( C )(A) (B) (C) (D)2cos1tan)1l(x4. ，则( A )0)(xaexf(A)当 时， 在 点左连续；)f(B)当 时， 在 点左连续；1(C)当 时， 在
2、 点右连续；(D)当 时， 在 点右连续。a)xf05.设 和 在 内有定义， 为连续函数，且 ， 有间断点，)(xf,()(xf 0)(xf)(则( D )(A) 必有间断点 (B) 必有间断点 2(C) 必有间断点 (D) 必有间断点f )(xf二，填空题1.若 ，则 .1)(43xf )(xf令： 2)1()(22243 txxt 2)(xf2若 是奇函数，当 时， ，则 时， .)(xf0f 0f解： ,1)(0xxf时 ，当0)(f当1)2(0)(2)( xxf3.当 时， 是无穷小量. +x xex324.函数 的间断点为 . -112cos)(xxf5.若 在 上连续，则 .-2
3、0sin)(aefa ),(a三，设 ， ，求 .1)(xexf 012)(xg)(xgf解： )()(gf由 ),01(21)(xx21x由 ,2g 0xxexxgexf xx 2101)()( 22)(四，求极限 1. = xx3sin5co)2(lim0 2cos31limsin2li00 xxx2. = xx681li0 2ln36)8(l1l2l6n)83(1li0 xxx3. = )1ln(2coslix1e4. = 30itamx25. = )ln(cos1i0xx xexexxxxx 1)ln(lim)(licosin1)(li )1l(01ln00= 21)l(im1lim0
4、0xxxx6. sinsl利用公式： 2sinco2yy11cos2li xxx题 设3= )1(2)1(sin21coslimxxxx= 0)(ili xx五， 证明：数列 收敛，并求其极限.),16,10nxn设 n证明： 知及由 462则 有 ：有设 对 某 正 整 数 , 11 kxx,21kkkx由 归 纳 法 知 ，即都 有对 一 切 正 整 数 ,nn.为 单 调 减 少 数 列nI,),(0根 据 准 则有 下 界即又 显 见 x.lim存 在知 nx )(6li aan则 有再 设 ,2362 a或 ，但 2,10n.linx舍 去 ， 得六，讨论函数 的连续性，并判断其间断
5、点的类型.xxf2si1rct)(解： ,0k间 断 点 为 ：可去间断点， 跳跃间断点， ( )无穷间断点nx2,1七，(8 分)设 在 上为非负连续函数，且 .)(xf1, 0)f试证：对于任一个小于 1 的正数 L，存在 ，使得 .1,0(Lf证明：令 ,)(,( LxFxfF的 定 义 域 为则因为 )(fL.)(,0题 设 得 证使取则，若 f010)1(1 L则 由 题 设，若所以由零点定理，题设得证.)()0( ff4第一章 函数与极限 自测题 A 卷一、单项选择题(3 分 5=15 分).1.如果函数 的定义域为 ，则下列函数中，( )的定义域为 .)(xf0,1)1,0(A)
6、 (B) (C) (D)1f)(f )1xf 2xf2.函数 是( )ysinco(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数 (D)奇偶函数3.下列各组函数能组成复合函数 的是( )f(A) , ufl)( 2si)(x(B) , 21y1cosn2x(C) , (D) , f)()( ufyar)(25x4.当 时，与 等价的无穷小是( )0xx(A) (B) (C) (D)sinsi23tax25. ( )x0lm(A)1 (B)-1 (C)0 (D)不存在二、填空(3 分 5=15 分).1.设 ，则 .xf1)()1(xf2. ，则 .cos2cs3. ，则 .1lim1xa1.
7、已知 ，则 ， .xef)()0(f )0(f2. 已知 在 处是第 类间断点.sin)2x三、(6 分) 设 ，13(xg(1)试确定 的值，使 .cba, cxba)1()()(2(2)求 的表达式. 1(四、(6 分)设函数 ， ，求 及 . 01)(xxf xg)()(gf)(xf五、求下列极限(5 分 6=30 分).(1) (2) (3)xxsinlim20xx)(limaxelim(4) (5) (6)n1)3(excos0 )12rcsin(31六、(10 分) 给定 时的无穷小如下：5， ， ， ， ( ),n1cosan1t2)l(41na1,0a按高阶向低阶的次序，将它们
8、排列起来.七、(10 分) 讨论 的间断点类型.xef1)(八、(8 分) 是连续的周期函数，证明对于任意取定的正数 ，总存在无穷多个 ，使x L.(fLf6第一章 函数与极限 自测题 C 卷一、单项选择题(3 分 5=15 分).1.设函数 ，则 是( )xexfsinta)(f(A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数2.当 时，函数 的极限( )112x(A)等于 2 (B)等于 0 (C)为 (D)不存在但不为3.设当 时， 是比 高阶的无穷小，则( )0x2baex 2x(A) (B),ba 1,ba(C) (D)124.设 在 内有意义，且 ， ，则( )(xf)
9、,axf)(lim00)()xfg(A) 必是 的第一类间断点；0(g(B) 必是 的第二类间断点；)(C) 必是 的连续点；xx(D) 在点 处的连续性与 的取值有关。)( a5. 是方程 在 有解的( )0bfa0)(f,b(A)充分条件非必要条件 (B)必要条件非充分条件(C)充分条件 (D)无关条件二、填空(3 分 5=15 分).1. 设 ， ，则 .xgln)(3ln1)(2xg)(xg2. 时， ，则 ， .0kA87315k3. 是 在 在 上的可去间断点，这是因为在 点可x)(xf12)x),(0x令 ，使经补充定义后，新的函数在 点连续.)(0f 0x4. .)1ln(2c
10、oslimxx5. 设 ，则 的间断点为 .i2fn)(xfx二、 设 ， ，且 ，求 及其定义域.s)(21)(f2)(三、 求下列极限. (6 分 2=12 分).7(1)设 ( ),求 .Aaxfx1)sin(lim0 1,0a20)(limxf(2)设 三次多项式，且有 ( ),求 .)(f 142)li axfxa 0axf3)(lim四、 求极限(5 分 6=30 分).1. 2.)!sin(lien )cos(li0x3. 4.xcom0 1mnxx5. 6. 这里 为整数)sin12(li410xexx )(linx五、 (10 分)设 ， ， ，( ).1yny21ny,21证明： ， 存在且相等.nlimli六、 (10 分)讨论函数 的连续性 .nnxxf)2()( )0(x七、 (8 分) 证明设 在 上连续，且 ，其中 为奇数.(xf),0)(limnxf试证： 使 .)(f证明： .),()( 上 连 续在令 FxfFn nxnx xff (0li0lim)(,)()1()由零点定理题设得证.
