1、1函数值域的求法例谈河南.商丘市一高 隋俊礼初学函数，同学们往往对函数值域的求法感到困难，例谈如下，以期抛砖引玉.一配方法：配方法是求“二次函数型”值域的常用方法，可以用来求形如的函数的值域.)(2cbxfay例 1求函数 的值域.762xy解：由 配方得， x 2)3(2xy2,(y函数 的值域为 .2y,例 2求函数 （ ）的值域.42x1x解： ， 2()6y ， ，1,x3,x2()9x ，23()655y函数 （ ）的值域为 .4yx1,x3,5另外，能通过换元转化为“二次函数型”的，也可以利用配方法求值域.例 3求函数 的值域.)4,0(22略解：不妨设: ，配方得:)(xfxf
2、4,0)2()xf故 ,y点评：注意“ ”的限制.0)(xf二.换元法：形如 的函数可以利用)0,(adcbaxbay均 为 常 数 ， 且换元法转化为“二次函数型”求值域.例 4求函数 的值域.x4132略解：令： ，则 .t )0(8)1(2,2ttyt故 4,(y点评：换元时要注意新变量“t”的范围，否则将会发生错误.2三. 判别式法：求形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，通2112axbcya2常把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 求解.x(,)0F0例 5求函数 的值域.231y解：由 变形得 ，2x2()(1)30yxy当 时，此方程无解；1y当 时， ，
3、 ，xR2(1)4()30yy解得 ，又 ，3y函数 的值域为 .21x|13y四.分离常数法: 形如 y= 的函数可用分离常数法求值域 .)0(cdxba例 6求函数 的值域.25y解： ，17()125xx ， ，7205xy函数 的值域为 .11|2y五. 分析法：形如 y= ，x m,n的函数可用分析法求值域.)0(cdxba例 7求函数 （-1 x 1）的值域.25y解： ，7()125xx， ，1,3257,.6203y函数 （-1 x 1）的值域为 .1y|y3六图像法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，也是一种求值域的重要方法.例 8.求函数 的值域.|3|5|yx
4、解： ，2|8x(3)5x 的图像如图所示，|3|5|yx由图像知：函数 的值域为|yx8,)七.利用函数的有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域.例 9求函数 的值域.21x解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 ，对函数进行变形可得R，2(1)()yy ， （ ， ） ，21xx1y ， ，10yy函数 的值域为21x|1八、利用函数的单调性：利用函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，也可以求出函数的值域.例 10求函数 的值域.2yx解：当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，112x函数 在定义域 上是增函数.yx(,2 ，12函数 的值域为 .yx1(,2当然，一道求值域的题目往往有不止一种解法，请同学们自己去探究.随着今后学习的进一步深入，同学们还会学到求函数值域的其他方法.yo x-385
