1、第六节 函数的连续性教学目的：使学生理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判断函数间断点的类型。教学重点：分段函数在分界点处的连续性教学过程：一、讲解新课一、 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，从图形上看，函数的图象连绵不断。在数学上，我们有：定义 1：设 在 的某邻域内有定义，若 ，就称函数)(xfy0 )(lim00xffx在 点处连续)(xfy0注 1： 在 点连续，不仅要求 在 点有意义， 存在，而且要f0x)(xf0)(li0xf，即极限值等于函数值。)(lim0xf2：若 ，就称 在 点左连续。若)(li00 xfxffx)(xf0，就
2、称 在 点右连续。)()li0fx 03：如果 在区间 上的每一点处都连续，就称 在 上连续；并称)xfI )(xfI为 上的连续函数；若 包含端点，那么 在左端点连续是指右连续，在右)(fI )(f端点连续是指左连续。定义 1：设 在 的某邻域内有定义，若对 ，当)(xfy0 0,时，有 ，就称 在 点连续。0xf)(xf0下面再给出连续性定义的另一种形式：先介绍增量：变量 由初值 变到终值 ，终值 与初值 的差 称为 的增x1221x12x量，记为 ，即 ； 可正、可负、也可为零，这些取决于 与 的大2x 2小。我们称 为自变量 在 点的增量，记为 ，即 或0x0x0x； 相应函数值差，
3、称为函数 在x0 x )(0f)(f点的增量，记为 ，即 ，即 或y0)(yxf yx0，y0。0)()() 00 yxfxffxf定义 1：设 在 的某邻域内有定义，若当 时，有 ，即)y x0y，或 ，就称 在 点连续。lim0x )(li00fxfx )(fx定理： 在 点连续 在 点既左连续，又右连续。)(f )f【例 1】 多项式函数在 上是连续的；所以 ，有理函数在,( )(lim00xffx分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。【例 2】不难证明 在 上是连续的。xycos,sin),(【例 3】证明 在 点连续。xf)(0证明： ，又 ，所以由定理 0limli,l
4、imli 000 xxxx 0)(f 在 点连续；f)(，所以 在 点连续。)(li0fxxf)(0【例 4】讨论函数 在 的连续性。02xy解： ，因为20)(limli,)(limli 0000 xyxxx，所以该函数在 点不连续，又因为 ，所以为右连续函数。20xf二、间断点简单地说，若 在 点不连续，就称 为 的间断点，或不连续点，为)(xf00x)(f方便起见，在此要求 的任一邻域均含有 的定义域中非 的点。间断点有下f0x列三种情况：（1） 在 没有定义；)(xf0（2） 不存在；lim0x（3）虽然 不存在，也虽然在 点有定义，但 。)(lim0xf0x)(lim00xffx种常
5、见的间断点类型：n【例 5】设 ，当 ，即极限不存在，所以 为 的21)(xf)(,f )(f间断点。因为 ，所以 为无穷间断点。20li0x【例 6】 在 点无定义，且当 时，函数值在 与 之间无限次xy1sin 1地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。1. 均为振荡间断点。Qf10)(x2、 不连续， 连续。或 无 理 数1,0)(xqpxf Qxx【例 7】 在 点无定义，所以 为其间断点，又 ，所以xysin01sinlm0x若补充定义 ，那么函数在 点就连续了。故这种间断点称为可1)0(f x去间断点。【例 8】 例 4的函数在 点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于x的，这种间断点称为跳跃间断点。例如 在 处即为跳跃)(f xysgn0间断点。归纳：(1) ， 为无穷间断点；)(lim0xf0(2) 震荡不存在， 为震荡间断点；0x 0x(3) ， 为可去间断点；)()(li0fAf(4) ， 为跳跃间断点。li00 xxx0如果 在间断点 处的左右极限都存在，就称 为 的第一类间断点，)(f 0x)(f显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。二、课堂练习：三、布置作业：
