1、第22卷第4期2009年8月濮阳职业技术学院学报Journal of Puyaug Vocational and Technical CollegeV0122 No4Aug2009幂指函数的极限与导数问题朱美玉(鹤壁职业技术学院，河南鹤壁458030)【摘要】针对幂指函数极限的各种类型进行分类讨论，分析了分式型不定式的三个定理在各类型问的关系，并将三个定理推广到幂指型不定式中；根据复合函数和隐函数的求导法则总结出幂指函数求导的四种方法。关键词】幂指函数；极限；导数【中图分类号】0174 【文献标识码】A 【文章编号】16729161(2009)04013902幂指函数的极限类型很多，有确定型和
2、不定式之分。本文在冯加才幂指函数的极限问题it】一文的基础上，对三种类型(Oo型、o型、1型)不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则推广到幂指型不定式的所有类型中。幂指函数的求导法，一般采用取对数求导法。本文从不同角度出发，根据复合函数和隐函数的求导法则，给出了幂指函数求导的四种方法。1预备知识本文根据盛祥耀高等数学121一书中幂函数、指数函数和复合函数的定义，给出幂指函数定义。定义1I设两个函数f(X)，g(x)的定义域为D，形如f(x)小(f(x)0)的函数，称为定义在区域D上的幂指函数。引理11(等价无穷小代换定理)设a(x)：n-(x)
3、，B(x)：13,(X)。(1)如果“m莒措存在，则“m管等也存在，且lim詈等=nm器(2瑚籼喘一删bm器一。引理12t3设f(x)0，f-(x)0均为某变化过程中的无穷，J、。若f(x)：fl(X)，贝9 1lnf(x)：Ilnfl(x)。本文研究的主要依据为f(x)slJ-伊(IJI帅(f(x)0)(11)2幂指函数的极限幂指型不定式的极限问题，可由(11)式将limf(x)小(f(x)0)转化为limg(x)lnf(x)，即()00型，视具体情况变形化为罟型、詈型，因此有定理21 幂指函数极限limf(x)s(。(f(x)0)存在的充要条件为极限limg(x)lIlf(x)存在，且当l
4、img(x)lnf(x)=A时，limf(x)s。=e。注1本文约定：极限值型如是e一，A为实数并可取+*，一00，且e+。=+，e一-=021等价无穷小代换定理 (妒型)当limf(x)。为伊型时，limg(x)lnf(x)=li樯为罟时，若g(x)：gl(x)，f(x)：fl(x)，且lim可鼍警b=B，则由引理12知1Infix)：1lnf,(X)，再由引理11可得，limg(x)lnf(x)=“m潞=B。此时由(11)式liIIlf(x)“IJ=eB。于是引理11可推广到幂指函数中，即有引理21(等价无穷小代换)设f(x)0，fl(x)0和g(x)，gl(x)均为某变化过程中的无穷小。
5、若g(x)：gl(x)，f(x)：fl(x)，且limfl(x)。=A。引理21表明：limft(x)5“”=A时，limf(x)1(1中f(x)，g(x)均可由等价无穷小f-(x)，g-(x)代换。由于无穷小与自身等价，所以有下面的推论推论21设f(x)0，f1(x)0和g(x)均为某变化过程中的无穷小。若f(x)：fi(x)，且linffl(x)8(。)-A，则limf(x)s()=A。推论22设f(x)0，和g(x)，g-(x)均为某变化过程中的无穷小。若g(x)：gt(x)，且limf(x)。nA，则limf(x)。(。)=A。【收稿日期】20090324【基金项目】河南省教育厅自然科
6、学研究项目(编号：2007110019)【作者简介1朱美玉(1951一)，女，河南濮阳人，鹤壁职业技术学院经管系主任、副教授。研究方向：教育教学管理和数学教学。一139万方数据推论21和22表明：limfn(x)咖)=A或limf(x)。“=A时，可对limf(x),(。中的部分等价无穷小代换。(00 o型)幂指函数极限的*o型可表示为lira【1f(x)】5“，其中f(x)，g(x)为某变化过程中的无穷小。因lim【If(x)】51=lim【If(x)t(1】=1limf(x)s”，其中limf(x)小为00型，由引g-(x)均为某变化过程中的无穷小。若g(x)：gl(x)，f(x)：fl(
7、X)，(，)】：f(x)，故由(11)式可得lim【l+f(x)】南：P掣：。“赭。类似引理21的推导方法，可将引理I1推广到幂喜!婴：A其中g。(x)o，则lim1+f(x)】小)_-eAog“1垒2因条舢m措：A钏m【l毛(x)】去砘等价，所以lira1+fI(x)ru=A时，lim1+f(x)1雨=A(x)O)，lim1+f(x)】雨分别表示幂指函数00型、o型、1。可分别转化为两个无穷小之比的极限lim潞，lim订氅，li广袅争，由此即转化为两个无穷小阶的比较。于(i)对于幂指型不定式00型、。o型，比较无穷小g(x)，1lnf(x)，羞：lim葫=k删lilIlf(妒=ek，limI
8、f(x)】|=ek(ii)对于幂指型不定式14型，比较无穷小f(x)，g(x)，若lim粤娄：k，则lim【l+f(x)】击=eko glX)注3定理23中k=0时，分子为分母的高阶无穷小；k#0为常数时，分子与分母是同阶无穷小，特别当k=1时，分子与分母是等价阶无穷小；k=4-时，分母为分子的高阶无穷小。因此，无穷小比较定理既可用无穷小比的极限来刻划，也可用无穷小的阶来刻划。23洛必达法则设f(x)和g(x)均为某变化过程中的无穷小，当limf(x)s(“(f(x)0)1ira1f(x)】小(f(x)0)，lira1+f(x)】雨分别转化为两个无穷小之比的极限lim可氅葺五，li揣，lim蔷
9、或两个无穷大之比的极限lim椤筹骞，limx吉等蔷Xlim苦簧I著后， l gl l l gI J l t五，可利用洛必达法则求出结果。于是可得下面定理：定理24(洛必达法则)设f(x)和s(x)均为某变化过程中的无穷小，且f(x)和g(x)可微。(i)对于幂指型不定式型o。和00 0型，若lim黜=A，则limf(x)S)=e，lim【lf(x)】。J-e-A；(ii)对于幂指型不定式l。型，若lim鬻=A，则“m【+f(x)J小11 =e“。注4定理2224表明：限制在分式极限中的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则可推广运用于幂指型不定式极限中。注5计算幂指型不定式极限时，可综
10、合运用上述三个定理和重要极限等方法，计算中通常根据(11)式来灵活运用定理。24算例例21旦n(si眦)“(00)型解：因为x-O+时,sinx：x，In(1+x)：x，所以姆Isi胍)“1川=姆。一。姆携黯=翔畏=翔。妄=翔-x)暑。所以由洛必达法则，原式=eo=1若用无穷小比较定理，则由。!姆耵氅=o可得，原式=eo=1上例22 lim ) o型)(cotxlnx(一解：因为当xO+时，tanx：x，所以蜘c。臼c)击=翔志声=。l。ira。(1。)击(下转第147页)万方数据标，资源七传为用户提供各类资源上传入库的功能，但并不是所有上传的资源都是符合要求的，所以，合理制定及分配资源上传及
11、管理审定权限对保证上传资源的合理优质显得尤为重要。(1)上传资源标准。对于各种类型的上传资源我们制订了资源审定标准，并在资源库上传系统中进行相应的限制与提醒。如病毒扫描，上传资源的文件大小，图片、文字、影片、音乐等文件的格式等等。(2)资源内容审定。由系统确定的课程负责人进行审定，课程负责人系该课程的主讲教师，具有对该课程及科目素材的最后评判权及确认权。管理员的职责除了维护网站，还用于检查是否有新上传的资源等，并按照资源审定标准对资源进行初步审定。五、结束语资源建设是教育信息化工程的重中之重，一个开放的、结构合理的教学资源管理系统有利于解决目前资源建设中的孤岛问题，该管理系统达到了远程教育资源
12、建设技术规范中所述的各项功能，并能保证教学资源库内容的安全性和可靠性，对远程教育系统中教学资源库的设计有一定的借鉴作用。【参考文献】【l】郑力明基于Web的多媒体教学资源库系统的设计与实现I J】计算机应用研究，2006，(11)：1317【2】翟 霞，李志文网络信息资源组织与管理问题探讨J】现代教育技术，2005，(5)：2225【3】徐菊红课程资源与教学管理平台的设计与开发【D】华中师范大学，2007：2327【4】蔺素珍高校教学资源库建设的总体思路和方法【J】山西科技。2007，(02)：2731【5】马勃民构建网络教学资源系统【J】中国电化教育，2005。(02)：7477b。生(v_
13、*t-g 140页)=e1“=e一1例2。lim。(1+i1+p1。(1-型) x X X解：这里无穷小f(x)=i1_。1：=_x+rl，g(x)=于是恕善4：lim掣：lg(x J x”*rlip f(x)：g(x)，由无穷小比较定理知烈1专+刍=eI=e3幂指函数的导数对于幂指函数Y=f(x)six)(f(x)0)的求导，本文给出下列四种方法，即指数函数求导法、取对数求导法、多元函数微分法和叠加法。31指数函数求导法先将幂指函数化为指数函数，再利用复合函数求导法求导：y=【f(x)51】=【es1“1】=eg1“1【g(X)Infix)+掣】(31I)f(x) 1 V”，32取对数求导法
14、先将幂指函数两边取对数有lny=s(x)lnf(x)，再利用隐函数求导法两边求导有，了1 y=g(x)lnf(x)+墨工；舅韭，解出y即得(31)式。33多元函数微分法从多元函数微分法的角度出发，根据多元复合函数的微分法则求导。令Y=u(s，t)，而中问变量S，t依赖于同一个变量x，即s=f(x)，t=g(X)。根据二元复合函数的微分公式百dy=詈軎+崇軎有面dy-ts-If(x)十s1nsgx)=s(x)【f(x)一f，(x)+If(X)】小lnf(x)g(X)=f x)5【簧著f，(x)+g(x)lnf(x)flp(31)式成立。34叠加法由上述三种方法所得的(31)式可作为公式直接运用。
15、为便于理解计算，将(31)式化为(32)式并写成如下定理形式。定理31幂指函数的导数是将幂指函数分别视为幂函数、指数函数的导数叠加。即【f(x)小】，f(x)m)lnf(x)g(x)+f(x)小19(x)f，(x) (32)35算例2y，-詈1n(1+x)声iEln(1+x)】，+【ln(1+x)】ln【1n(1+x)】(詈)=-。-21n()】一委【1n(1+x)】：n【ln(1+x)】=百南【ln(1+x)】1一i2【ln(1+x)】专ln【ln(1+万方数据幂指函数的极限与导数问题作者： 朱美玉， ZHU Mei-yu作者单位： 鹤壁职业技术学院,河南,鹤壁,458030刊名： 濮阳职业
16、技术学院学报英文刊名： JOURNAL OF PUYANG VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE年，卷(期)： 2009，22(4)被引用次数： 0次参考文献(3条)1.冯加才 幂指函数的极限问题期刊论文-焦作工学院学报 1999(05)2.盛祥耀 高等数学 20043.冯变英 幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨期刊论文-运城学院学报 2006(05)相似文献(10条)1.期刊论文 刘小华 关于幂指函数求极限的问题 -高等数学研究2008,11(5)对幂指函数的求极限问题进行探讨,给出了求幂指函数的极限的几个定理,并由此讨论幂指函数求极限问题的教学方法2.期刊论文
17、冯加才.FENG Jiacai 幂指函数的极限问题 -焦作工学院学报1999,18(5)幂指函数求极限问题是微积分学中的一个常见问题,同时又是一个难点问题.本文在对幂指函数f(x)g(x)的定义给予较为严格讨论的基础上,根据极限limf(x)与limg(x)存在与否详细而全面地讨论了幂指函数极限的确定与不定问题.3.期刊论文 陈璟.李洁坤 幂指函数待定型极限的一种求法 -柳州师专学报2000,15(3)运用极限理论,推导出三个结论,并运用于求幂指函数待定型的极限之中.4.期刊论文 顾央青 幂指函数f(X)g(X)极限的求法 -宁波职业技术学院学报2002,2(1)幂指函数的极限类型很多,是教学
18、中的一个重点和难点,学生学习往往都很困难.本文对常用的幂指函数极限的各种情况作出了较完整的概括,并对“A“A B“,“0“,“0 0 “这几种进行举例应用,谨供教学考.5.期刊论文 王莉萍.WANG Li-ping 幂指函数几个性质的研究 -湖北广播电视大学学报2007,27(8)利用f(x)g(x)=eg(x)Inf(x)(f(x)0)对幂指函数的极限、微分和积分进行了探讨,获得了应用更广泛更灵活的几个结果:将分式型不定式的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则推广到幂指型不定式中;给出了幂指函数求导的四种方法;得到了一类幂指函数的积分定理.所得结果从理论上系统解决了幂指函数的极限、
19、微分和积分的求解问题.6.期刊论文 闫彦宗.陈海宏 关于幂指函数分析性质的讨论 -九江学院学报(自然科学版)2006,21(1)由于幂指函数形式的独特性,在求其极限、导数和积分等问题时显示得比较复杂.下面将主要探讨幂指函数的几个分析性质,并得到几个简捷的求幂指函数极限、导数的积分的法则,使问题化繁为简7.期刊论文 冯变英.FENG Bian-ying 幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨 -运城学院学报2006,24(5)幂指函数的极限若能恰当地使用等价无穷小代换可使求极限问题大大简化.本文主要通过对三种形式的幂指函数极限的无穷小表达式的变形、分析,确定幂指函数可使用等价无穷小代换求极限的条件,
20、使人们能尽快判断和使用等价小代换求幂指函数的极限.8.学位论文 赵长财 固体颗粒介质成形新工艺及其理论研究 2005本课题来源于河北省自然科学基金项目“金属管材固体颗粒介质胀形新工艺及其理论研究”。通过对目前传统胀形工艺的深入分析和研究，提出了固体颗粒介质成形工艺(SGMF)。固体颗粒介质成形是采用固体颗粒代替刚性凸模(或弹性体液体)的作用对管坯进行胀形的工艺该新工艺与传统软模成形工艺的重要区别不仅在于传压介质的不同，而且由于传压介质的改变，导致了其成形规律的不同本工艺及其理论研究在国内外尚无报道，在飞机航天器和汽车等领域具有广阔的应用前景。自行设计制造了固体颗粒介质传压性能试验与测试装置；首
21、次通过试验测得了固体颗粒介质的传压规律，给出了固体颗粒介质体积压缩率的幂指函数定律；建立了非均匀内压作用下的载荷模型：线性载荷模型和余弦载荷模型对薄壁管受非均匀内压作用下，薄壁管的弹性加载进行了弹性力学分析，得到了薄壁管初始屈服时的变形及内力(应力)分布计算公式。设计出6种典型工件形状和模具结构；设计实施了试验测试方案，通过试验，试制出了合格典型工件通过对各种典型工件的胀形，取得了大量试验数据，为本工艺的应用和理论分析提供了试验依据通过管材固体颗粒介质成形的塑性理论研究，建立了薄壁管在非均匀内压作用下的变形模式；对薄壁管自由变形区应力应变进行了深入全面分析，导出了自由变形区的应力应变和壁厚分布
22、规律；对304不锈钢的计算值和试验实测值进行了对比。根据局部变形时圆角部分成形特性，提出了两种角部贴模计算模型来描述角部成形规律，即无摩擦条件下的滑动模型和摩擦条件下的滑动模型，并且给出薄壁管局部成形的角部贴模的内压计算公式在理论上首次证明圆管在方形模具内胀形时，圆角半径存在最小值，也就是成形圆角半径不可能为零，并给出了理论计算公式运用弹性理论和Swift分散性失稳理论以及Hill集中性失稳理论，建立了屈曲起皱破裂失稳的管材成形极限理论首次给出了非均匀压力下，短管变形模式的破裂成形极限判据，打破了负应力比条件下，板材不可能产生失稳的结论理论分析表明长管变形模式的破裂成形极限判据仅为短管变形模式
23、在长径比=时的一种特例，由此得出的结论将更具有一般意义。通过固体颗粒介质传压性能和管材成形试验，表明管材固体颗粒介质成形的理论计算与实际试验吻合较好。本文提出的理论分析是正确的，为管材固体颗粒介质成形的实际应用提供了可靠的理论依据，具有重要的理论意义和实际应用价值固体颗粒介质成形试验证明本新工艺在原理上是可行的，具有明显的创新优势，为根本解决低塑性难变形管材成形提供了一条有效途径可以预测，该工艺的实际应用必将产生显著的经济和社会效益。9.期刊论文 吕杰 “00“型极限的研究与探讨 -宿州学院学报2008,23(2)从幂指函数的定义出发,结合复合函数的极限法则以及等价无穷小的性质,给出幂指函数极
24、限的计算定理.首先通过对定理结论的分析得到“型的极限值是不确定的,说明此类型的极限是未定式.其次由幂指函数极限的计算定理结合等价无穷小替换原理,给出“O0“型未定式极限的计算定理以及“00“型未定式极限为1的充分条件定理.最后再通过实例,讲述定理的应用,并由所求得极限值的不同,进一步证明这一类型是一个未定式.10.期刊论文 张劲 一些解决极限问题的方法 -科技信息（学术版）2008,“(7)是高校教学中的一门重要课程,而极限可以说是的基础,它贯穿于整个课程的始终,很多重要的概念如导数.定积分都是由极限给出,笔者结合平时的教学经验,通过几个例子,对一些解决极限问题方法加以总结并给出自己的一些观点.本文链接：http:/
