1、1初等函数值域的常用的解法摘要: 在学习了函数后，我们了解到函数的值域就是函数值组成的集合.这个集合是由定义域内的自变量，通过对应关系而得到的函数值的全体.因此，求值域时一定要先确定函数的定义域.另外，求函数的值域是相当复杂的数学问题.因为求函数的值域没有固定的方法和模式，绝大多数值域问题与函数的最值问题有关，解决这类问题既涉及具体的解决方法和模式又涉及一些抽象的逻辑方法，难以找到比较固定的求解模式.本文主要讨论了用常用的求函数值域的方法来求实函数值域的问题.常用的求函数值域的方法有：变量分离法；配方法；判别式法；换元法；单调性法；不等式法；最值法；反解法；复合函数法.并且指出了不同的求函数值
2、域的方法的常用题型以及一些容易忽略的地方，以达到每一种方法我们都能够运用得当.关键词:初等函数；值域；求法1 引言函数是数学的重要内容之一.其理论和应用涉及数学的各个分支，特别是中学阶段函数始终是贯穿的一条主线.函数与数列，函数与导数及其应用，函数与算法，函数与概率中的随机变量等等都有着密切的联系.著名的数学家 M.克莱因说过，一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考.然而，我们知道函数是由定义域，值域，对应关系三部分构成.所以对于求函数的值域对于数学的学习就显得尤为重要.2 变量分离法对于形如 y= 的函数或者能转化为 y= 我们一般采用变量分离法.具axbcdaxbcd
3、体操作如下：y= axbcdcxd2acx1） = 时， 即函数的值域为bcady|ayc2) 时， 即函数的值域为c|例 1：求 的值域.23xy解：由 知定义域为0|20x2令 2,31,2abcd显然有 所以 y即函数的值域为 |2y例 2：求 的值域.23xy解：由 知定义域为0|13x或2y2x当 时，1xy23x显然 y当 时，1x3/4y而 所以 3/4y综上所述函数的值域为 |13/4y或注：求可以转化为形如 y= 的函数的值域时，需注意定义域的取值范围以避免axbcd扩大值域的范围.3 配方法 主要适用于一元二次函数或可以转化为一元二次函数的函数.使用配方法求函数的值域时，要
4、注意等号成立的条件.例 3 求 的值域.22cos1sin5yxx解：由题意有函数的定义域为 R 22cos1sin5yxxi32242=sin3si51si6xx因为 20sin1x所以 219si44所以 75y|715y所 以 函 数 的 值 域 为例 4 求 的值域. 21yx解：由 0|x知 定 义 域 为y211x2x因为 0所以 1y|1y所 以 值 域 为4 判别式法主要是运用根的判别式来求解值域.而判断方程有无解时是对于整个实数范围，所以运用判别式就有一定的局限性.在运用判别式时，如果函数的值域不是实数范围内时，注意不要扩大了函数值域的范围.一般在以下几种情况下运用判别式法.
5、 1) 且分子分母互素；2112axbcy2） 0d例 5 求 的值域.213yx解：由题意有原函数的定义域为 R4213yx化简有： 201)0,y时 ， 显 然 不 成 立时222431840yyA所以 01|2y综 上 所 述 ， 函 数 的 值 域 为例 6：求 的值域.21yx解：由 有函数的定义域为20|1x2yx2210xy因为 224yyA所以 因为 yx所以 1所以 |12y原 函 数 的 值 域 为注：对于 形式的函数一般不用判别式法做，这时判别式法失2,0yaxbcd效5 换元法5对于一些比较复杂的函数或者不易于计算的函数，我们可以适当的换元以达到化繁为简的效果.常用的换
6、元方法有三角换元和代数换元.换元时一定要注意新元的范围限制.同例 4 求 的值域.21yx解：由 0|x知 定 义 域 为令 1,0txt所以 2t所以 21ytt2所以 y|1.所 以 原 函 数 的 值 域 为同例 6 求 的值域.21yx解：由 有函数的定义域为20|1x2sin1cosx令 则 sinyin4因为 2所以 344所以 2sin1所以 1y|2y所 以 原 函 数 的 值 域 为66 单调性法对于易于求导且具有单调性的连续函数或者容易看出函数的单调性的函数一般采用单调性法来求解.例 7 求 的值域.30xy， ， +解： 3xy210y因 为 时 ， 即 x3原 函 数
7、单 调 递 增时 ， 即 原 函 数 单 调 递 减 2yy所 以 当 时 ， 原 函 数 有 最 小 值|.所 以 原 函 数 的 值 域 为例 8 求 的值域.1yx解： |1x由 题 意 知 原 函 数 的 定 义 域 为12,yx令显 然 是 单 调 递 增 的 函 数1yx所 以 在 定 义 域 内 为 单 调 递 增 的 函 数所以 min1y|1.y所 以 原 函 数 的 值 域 为7 不等式法对于一些常用的不等式我们可以运用来求解函数的值域，不过，运用不等式法时一定要注意不等式成立的前提条件，避免扩大了函数值域的范围.常用的不等式如下：12,0,abab2,3,0abxab7同
8、例 7 求 的值域30xy， ， +解：因为 0x所以 32y3x当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立所 以 或 时 等 号 成 立所以 min2y|2.y所 以 原 函 数 的 值 域 为例 7 变形：求 的值域30x， ， 1解：因为 0x所以 32y3x当 且 仅 当 时 ， 等 号 成 立x或 时 等 号 成 立0,13,而所以 2y73x由 例 可 知 0原 函 数 单 调 递 减,1所 以 时 原 函 数 是 单 调 递 减 的 函 数所以 103y10|.3y所 以 原 函 数 的 值 域 为8 最值法8对于闭区间上的连续函数一般采用最值法.最值法也就是把求函数的值域转化为求函
9、数 的最值 .求函数的最值常用的方法：配方法、换元法、不等式法、单调性法、判别式法以及数形结合的方法.而这些方法在前面都有所介绍，在此也就不一一介绍了.9 反解法我们用 y 把一些常用的有界函数表示出来，利用函数的有界性而把函数的值域求出来.常用的有界函数如下： ， 等等.,sin,cos,xyayxyx2例 8：求 的值域1sinx解：因为 1sinx所以 02R所 以 函 数 的 定 义 域 为1sinyxsi10y02y所 以 y|02所 以 原 函 数 的 值 域 为例 9：求 的值域12xy解： R由 题 意 有 函 数 的 定 义 域 为 1012xyy10y所 以 且 |10.y
10、所 以 原 函 数 的 值 域 为 且10 复合函数法对于 这样的复合函数.可以先求 的值域 U 则,yfugx ugx的定义域为 U，再求 的值域.f yfu例 10：求 的值域21xy9解：由题意有函数的定义域为 |1x令，yfu21x由例 6 可知 12u2y所 以 2|.y所 以 原 函 数 的 值 域 为结束语通过对初等函数值域的求法的简单分析探究，掌握了求函数值域的几种常见解法及其注意事项先后讲了变量分离法，配方法，判别式法，换元法，单调性法，不等式法，最值法，反解法，复合函数法每一种方法需要注意的是在求函数值域时一定要先求函数的定义域由于求函数的方法比较多，我们一定要熟悉每一种方法适合哪一个类型并且，要注意方法与方法之间的综合应用注意每一种方法与每一种方法之间的联系参考文献 【1】谭廷经 求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析 中学数学教学 1995年第3期【2】吴权俊 初等函数值域的求法 宜昌师范专科学校【3】张奠宙 张广祥 中学代数研究 高等教育出版社
