1、1第 二 节 函 数 的 定 义 域 和 值 域备考方向要明了考 什 么 怎 么 考会求简单函数的定义域和值域.1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题如 2012年江西 T2，江苏 T5等2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.归纳知识整合1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)y ax(a0 且 a1)， ysin x， yc
2、os x，定义域均为 R.(5)ylog ax(a0 且 a1)的定义域为(0，)(6)ytan x的定义域为 .x|x k 2， k Z(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约2基本初等函数的值域(1)y kx b(k0)的值域是 R.(2)y ax2 bx c(a0)的值域是：当 a0时，值域为 ；y|y4ac b24a 2当 a0且 a1)的值域是 y|y0(5)ylog ax(a0且 a1)的值域是 R.(6)ysin x， y cos x的值域是1,1(7)ytan x的值域是 R.探究 1.若函数 y f(x)的定义域和值域相同，
3、则称函数 y f(x)是圆满函数，则函数 y ； y2 x； y ； y x2中是圆满函数的有哪几个？1x x提示： y 的定义域和值域都是(，0)(0，)，故函数 y 是圆满函数；1x 1x y2 x的定义域和值域都是 R，故函数 y 2x是圆满函数； y 的定义域和值域都x是0，)，故 y 是圆满函数； y x2的定义域为 R，值域为0，)，故函数xy x2不是圆满函数2分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集自测牛刀小试1(教材习题改编)函数 f(x) 的定义域为( )4 xx 1A，4 B4，)C(，4) D(
4、，1)(1,4解析：选 D 要使函数 f(x) 有意义，只需Error! 即 Error!所以函数的定义域为4 xx 1(，1)(1,42下表表示 y是 x的函数，则函数的值域是( )x 00时，x 2 4，4x x4x当且仅当 x2 时“”成立；当 x1时， t0， y2 11，t1t当且仅当 t 即 log3x1， x3 时，等号成立；1t当 00，则对于正数 b， f(x) 的定义域为 D x|ax2 bx0ax2 bx0 ，)，但 f(x)的值域 A0，)，故 D A，即 a0不符合条件；( ， ba若 a0，又 x a， b， a1.则 f(x) 在 a， b上为减函数，1x 1则
5、f(a) 1 且 f(b) ，1a 1 1b 1 13 a2， b4， a b6.答案：61 种意识定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识4 个注意求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接4
6、个准则函数表达式有意义的准 则函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为 0；偶次根式的被开方数非负； y x0要求 x0；对数式中的真数大于 0，底数大于 0且不等于 1.6 种技巧妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解. 易误警示与定义域有关的易错问题9典例 (2013福州模拟)函数 f(x) 的定义域为 x 1
7、2x 1 1 x_解析 要使函数 f(x) 有意义，则Error!Error! x 1 2x 1 1 x函数 f(x)的定义域为 x|x1，且 x1答案 (，1)(1,1易 误 辨 析 1本题若将函数 f(x)的解析式化简为 f(x)( x1) 后求定义域，会误认为其1 x定义域为(，1事实上，上述化简过程扩大了自变量 x的取值范围2在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用变 式 训 练 1若函数 f(x)的值域是 ，则函数 F(x) f(x) 的值域是( )12， 3 1f xA. B.12， 5 56， 5C.
8、 D.2，103 3， 103解析：选 C 令 t f(x)，则 t3.12易知函数 g(t) t 在区间 上是减函数，在1,3上是增函数1t 12， 1又因为 g ， g(1)2， g(3) .(12) 52 103可知函数 F(x) f(x) 的值域为 .1f x 2， 1032已知函数 f( 2) x2 ，则函数 f(x)的值域为_x x解析：令 2 t，则 x( t2) 2(t2)x f(t)( t2) 22( t2) t22 t(t2) f(x) x22 x(x2) f(x)( x1) 21(21) 210，即 f(x)的值域为0，)答案：0，)10一、选择题(本大题共 6小题，每小
9、题 5分，共 30分)1已知 a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是 R的是( )A f(x) x2 a B f(x) ax21C f(x) ax2 x1 D f(x) x2 ax1解析：选 C 当 a0 时， f(x) ax2 x1 x1 为一次函数，其定义域和值域都是R.2已知等腰 ABC周长为 10，则底边长 y关于腰长 x的函数关系为 y102 x，则函数的定义域为( )AR B x|x0C x|00 B x|x1C x|x1，或 x0，解得 x2；令 x g(x)，即x2 x20，解得1 x2，故函数 f(x)Error!当 x2时，函数 f(x)f(1)2；当1 x2 时，
10、函数 f f(x) f(1)，即 f(x)0，故函数 f(x)的值域是(12) 94(2， )94， 0二、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分)7函数 y 的定义域是_16 x x2解析：由函数解析式可知 6 x x20，即 x2 x61)，求 a， b的值12解： f(x) (x1) 2 a ，12 12其对称轴为 x1，12即1， b为 f(x)的单调递增区间 f(x)min f(1) a 1，12f(x)max f(b) b2 b a b.12由解得Error!11设 O为坐标原点，给定一个定点 A(4,3)，而点 B(x,0)在 x轴的正半轴上移动，l(x)表示 的长，
11、求函数 y 的值域ABxl x解：依题意有 x0，l(x) ， x 4 2 32 x2 8x 25所以 y .xl x xx2 8x 25 11 8x 25x2由于 1 25 2 ，8x 25x2 (1x 425) 925所以 ，故 0 y .1 8x 25x2 35 53即函数 y 的值域是 .xl x (0， 5312已知函数 f(x) x24 ax2 a6.(1)若函数 f(x)的值域为0，)，求 a的值；(2)若函数 f(x)的函数值均为非负数，求 g(a)2 a|a3|的值域解：(1)函数的值域为0，)， 16 a24(2 a6)02a2 a30 a1 或 a .32(2)对一切 x
12、R 函数值均为非负， 8(2 a2 a3)01 a .32 a30. g(a)2 a|a3| a23 a2 2 .(a32) 174(a 1， 32)二次函数 g(a)在 上单调递减， 1，32 g g(a) g(1)，即 g(a)4.(32) 19413 g(a)的值域为 .194， 41下列函数中，与函数 y 有相同定义域的是( )1xA f(x)ln x B f(x)1xC f(x)| x| D f(x)e x解析：选 A 当 x0时， 有意义，因此函数 y 的定义域为 x|x01x 1x对于 A，函数 f(x)ln x的定义域为 x|x0；对于 B，函数 f(x) 的定义域为 x|x0
13、， xR；1x对于 C，函数 f(x)| x|的定义域为 R；对于 D，函数 f(x)e x的定义域为 R.所以与函数 y 有相同定义域的是 f(x)ln x.1x2函数 y 的定义域为( )ln x 1 x2 3x 4A4，1) B(4,1)C(1,1) D(1,1解析：选 C 由Error!得1n3；当 h(a)的定义域为 n， m时，值域为 n2， m2？若存在，求出 m， n的值；若不存在，请说明理由解：(1)由 f(x) x， x1,1，(13)14知 f(x) ，令 t f(x)13， 3 13， 3记 g(x) y t22 at3，则 g(x)的对称轴为 t a，故有：当 a 时， g(x)的最小值 h(a) ，13 289 2a3当 a3 时， g(x)的最小值 h(a)126 a，当 n3时， h(a)在 n， m上为减函数，所以 h(a)在 n， m上的值域为 h(m)， h(n)由题意，则有Error!Error!，两式相减得 6n6 m n2 m2，又 m n，所以 m n6，这与mn3矛盾，故不存在满足题中条件的 m， n的值.
