1、咸阳育才中学电子教案 课题。 二次函数的图像主备 郝妮涛 审核人 上课人 上课时间知识与能力：（1）理解二次函数中参数 a，b，c，h，k 对其图像的影响。(2)掌握二次函数的性质与图象，掌握从函数的性质推断图象的方研究法。过程与方法：掌握从函数解析式、性质出发去认识函数图象的高度理解和研究函数的方法。教学目标情感态度和价值观：让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法重要；培养学生主动学习、合作交流的意识等。教学重、难点 探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移的规律求函数解析式，并能将平移的规律迁移到其它函数。教学方法 教师的主导作用和学生的主体地位相统一学法指导 自主探索、合作交流、归
2、纳方法教 学 过 程 上课教师补 充教学内容要点一、导入新课 在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题复习回顾请回顾二次函数的定义.二次函数的解析式有几种形式？二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？学生讨论后回答，教师 PPT 演示结果 一般地，函数 yax 2 bxc( a，b，c 为常数且 a0)叫作二次函数 有三种形式：一般式：y ax2bxc(a0)；顶点式：y a(xh) 2k(a0)；交点式：y a(xx 1)(xx 2)(a0)注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式
3、，但是不一定有交点式当且仅当二次函数的图像与 x 轴相交时，二次函数的解析式才有零点式 二次函数的图像是抛物线画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画 “三点”是指：顶点，抛物线与x 轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线， “一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图如果抛物线与 x 轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点” 二、讲解新课问题提出（板书在黑板一侧）1. 和 的图像之间有什么关系？2yx20a2. 和 的图像之间有什么关系？xhka3. 和 的图像之间有什么关
4、系？2yx2bc问题探索（学生独立完成）1. 和 的图像之间有什么关系？220a动手实践：（1）填写表 1，用描点法在同一坐标系中画出 yx 2 和y2x 2 的图像.表 1x 3 2 1 0 1 2 3 x2来 2x2 （2）要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大为原来的几倍？这种情况是如何在图像上表现的？（3）如何由 的图像得到 的图像？ 呢？2y2y21yx（4）你能总结出 和 的图像之间的关系吗？x0a参数 对图像有何影响？a（5）通过类比，你能说出如何由函数 yf(x )的图像得到函数yAf(x)(A 0，A 1)的图像吗？图 1 图 2【设计意图】通过实际操作，是学生对
5、图像的伸缩变换能有较深刻的认识，问题串的设置层层递进，学生能在其中感受到自我探索的乐趣。在问题（4）的回答之后教师还通过几何画板改动 中参20yax数 的值演示图像，让学生有更直观的感知。a问题探索2. 和 的图像之间有什么关系？2yx20axhka动手实践：（1）在同一坐标系中画出 、 、2yx21x的图像，观察图像，如何由 的图像得到23yxy和 的图像？213yx（2）如何由 的图像得到0a的图像？2,yaxhk参数 对函数的图像有何影响？在 不变的前提下，改变参, a数 的值，抛物线的形状会改变吗？,（3）请你写出一个开口向下，顶点为（-3,1）的二次函数的解析式，并画出简图。（4）你
6、能用类比的思想，归纳出如何由函数 的图像yfx平移至函数 的图像吗？yfxhk结果呈现：（1）y2x 2，y2(x1) 2，y 2(x1) 23 的图像，如图 3.图 3观察图 3，得把 y2x 2 的图像向左平移一个单位长度得y2(x 1) 2 的图像，再把 y2(x1) 2 的图像向上平移 3 个单位得y2(x 1) 2 3 的图像（2）把 yax 2 的图像向左 (h0)或向右( h0)平移 |h|个单位长度得 ya(x h) 2 的图像，再把 ya(xh) 2 的图像向上( k0)或向下( k0)平移| k|个单位得 ya(x h) 2k 的图像只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状
7、图像形状,只与 有关。（3）例如 y (x3) 21.其图像如图 4 所示，图 4（4）把 yf( x)的图像向左(h0)或向右(h0)平移| h|个单位长度得 yf(x h) 的图像，再把 yf(xh) 的图像向上(k 0)或向下(k0)平移| k|个单位得 yf(xh)k 的图像师：平移变换口诀：左+右-，上+下-问题探索3. 和 的图像之间有什么关系？2yax20bxca问 1：回顾一下函数 与 ，即2y213x的图像之间的联系，你能得出什么结论？24yx师生共同概括：一般地，二次函数 yax 2bxc(a0)可通过配方得到它的恒等形式 ya(x h) 2k，从而就可以知道由 yax 2
8、 的图像如何平移得到 yax 2bx c 的图像问 2：二次函数 yax 2 bxc （a0） 中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？生：确定函数图像开口大小及方向的参数是 a，确定函数图像位置的参数是 a，b，c .三、讲解范例例 1. 二次函数 f(x)与 g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数 g(x)的解析式和 f(x)图像的顶点，写出函数 f(x)的解析式；(1)函数 g(x)x 2，f(x )图像的顶点是(4，7)；(2)函数 g(x) 2( x1) 2，f(x )图像的顶点是(3,2)启发提问：确定二次函数的开口大小和方向的参数是
9、什么？如题应选取二次函数的哪种形式的解析式才方便解题？解：如果二次函数的图像与 yax 2 的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(h，k) ，则其解析式为 ya(xh) 2k，(1)因为 f(x)与 g(x)x 2 的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，7) ，所以 f(x)(x 4) 27x 28x9；(2)因为 f(x)与 g(x)2(x1) 2 的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x) 2(x1) 2 又与 y2x 2 的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以 f(x)与 y2x 2 的图像开口大小也相同，开口方向也相同又因为 f(x)图像的顶点是(
10、3,2)，所以 f(x)2(x3) 222x 212x 16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式课堂练习练习 1（1）函数 y2x 2 4x1 的对称轴和顶点分别是( )答案：C来 A x2，(2， 1) Bx2， (2，1)Cx1，( 1，3) Dx1，(2,3)解析 ：由 y2x 24x 1 2(x1) 23 得对称轴 是 x1，顶点是(1， 3)(2)将 函数 yx 22x 的图像向右平移 2 个单位，再向下平移 1个单位后所得函数解析式为( )Ayx 26x7 Byx 26x 7Cyx 22x 1
11、 Dyx 22x1解析：所得解析式为 y (x2) 22(x2)1x 26x 7.答案：B练习 2 P45/练习 1,2,3例 2 已知抛物线 yax 2bxc (a0)与 x 轴有两个不同的交点 A(x1,0)，B( x2,0)且 x x ，试问该抛物线由 y3(x 1) 2 的21 2269图像向上平移几个单位得到？来源:学。科。网分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案解：由题意可设所求抛物线的解析式为 y3(x 1) 2k，展开，得y3x 26x3k，由题意得 x1 x22，x 1x2 ，3 k2所以 x x (x 1
12、x 2)2 2x1x2 ，21 2269得 4 .解得 k .23 k3 269 43所以该抛物线是由 y 3(x1) 2 的图像向上平移 个单位得到43的，它的解析式为y3(x1) 2 ，即 y3x 26x .43 53点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题函数图像的平移会对解析式产 生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论课堂练习练习 3.如果把函数 y f(x)的图像平移，可以使图像上的点P(1,0)变成 Q(2,2)，则函数 y f(x)的图像经过此种变换后所对应的函数为( )Ayf(x1)2 Byf(x 1)2Cyf(x1)2
13、 Dyf(x 1)2解析：点 P(1,0)变成 Q(2,2)可以看成将 点 P(1,0)向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位得到点 Q(2,2)，则将函数 y f(x)的图像向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位得函数 y f(x1)2的图像答案：A拓展练习（看时间情况，可补充为课后练习）来源:学&科&网Z&X&X&K1已知二次函数 yax 2 bxc 的图像的顶点坐标为 (2，1)，与 y 轴交点坐标为 (0,11)，则 ( )Aa1，b4，c 11 B a3 ，b12，c11Ca 3，b6，c11 D a3，b12，c11解析：由题意得Error!Error!答案：D2设函数 f(x
14、)Error!Error!若 f(4)f(0)，f(2)2，则f(x)的解析式为 f(x)_，关于 x 的方程 f(x) x 的解的个数为_解析：f(4)f(0)，f(2)2，Error!解得 b4，c 2，画出函数 yf(x)，yx 的图像，它们的图像有 3 个交点，故关于 x 的方程 f(x) x 有 3 个解答案：f( x)Error!Error! ，33.两个二次函数 f(x)ax 2bxc 与 g(x)bx 2axc 的图像只可能是图 6 中的( ) 图 6解析：这是一道考查二次函数解析式中 a，b，c 的性质与函数图像特征的相关题目由于 f(x)，g(x)图像的对称轴方程分别是 x，x ，且 与 同号，即它们的对称轴位于 y 轴的同一b2a a2b b2a a2b侧，由此排除 A，B；又由 C，D 中给出的图像可断定它们开口方向相反，故 ab0.于是 0， 它们的对称轴都位于 y 轴右侧，排除 C. b2a答案：D课堂小结知识方面：(1)二次函数的解析式及其求法，明确了二次函数一般式及顶点式中各参数对函数图像的影响；(2)变换法画二次函数的图像，体验了从 到2yx的图像变化的研究过程20yaxhka数学思想方法：数形结合，类比，待定系数法.作业教学反思
