1、211 分段函数与绝对值函数随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二建构知识网络1.分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数.3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.三、双基题目练练手1.设函数 f（x） = 则使得 f（x）1 的 x 的取值范围为 ( ),14)(2xA.（，20，1
2、0 B.（，20，1C.（，21，10 D.2，01，102(2006 安徽)函数 的反函数是 （ ）,yxA B,0xy,0C D,20x2,xy3(2007 启东质检)已知 ，则下列函数图象错误的是 ( )21,0)()fxx， ，4.（2006 全国）函数 的最小值为 ( ) 19()nfx（A）190 （B）171 （C）90 （D）455.（2005 北京市西城模拟）已知函数 f（x ）= 则 f（lg30 lg3）),2(x=_；不等式 xf（x1）10 的解集是_.6. （2006 浙江）对 ,记则 则函数Rbaba,max的最小值是 .xxf2,1m7.已知函数 ,当 a0 时
3、，x0，不合题意，所以 不存在,1.bam ,ab当 时，由（2）知 0 在值域内，值域不可能是 ，(0,)(,)b或 ,mab所以 不存在故只有 ,ab1a 在（1，）上是增函数， ，即|)(xf (),.fabm1,.ab是方程 有两个根,ab20m即关于 x 的方程 有两个大于 1 的实根1x设这两个根为 则12,x1212,xm 即120,()0,.x40.解得 04m综上 m 的取值范围是 1【例 4】设 a 为实数，设函数 的最大值为 g(a)。xxaf 1)(2（）设 t ，求 t 的取值范围，并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t)；x1（）求 g(a)；解：（I）t= +
4、,要使 t 有意义，必须 1+x0 且 1-x0，即-1x1.t 2=2+2 2,4,t0, 21xt 的取值范围是 ,2.由得 = t2-1,xm(t)=a( t2-1)+t= at2+t-a,t ,2.1()由题意知 g(a)即为函数 m（t）= at2+t-a, t ,2的最大值.12注意到直线 t=- 是抛物线 m(t)= at2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论.a(1)当 a0 时，函数 y=m(t), t ,2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=- 87.5 可知， h(t)在区间0,300上可以取得最大值 100，此时 t=50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西
5、红柿纯收益最大思路点拨 : 题()分段写出收益与时间的函数关系 h(t), 是分段函数,再分段求最值.五提炼总结以为师1.分段函数、绝对值函数问题类型2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。同步练习 211 分段函数与绝对值函数【选择题】1.(2006 山东) 设 ，则不等式 的解集为 ( )123 ()log()xef()2fxA. B. C. D.(1,23,0,(1,2)0,1,)2已知函数 在（， ）上单调递减，则实数(1)7) ()xaxfa 的取值范围是 ( )A （0,1） B （0, ） C D213,1831,823. 已知函数
6、 构造函数 F(x)，定义 F 如下：当 时，2)(,)(xgxf )(|xgf，当 时， ，那么 ( ）|F|f(gF)xA有最小值1，无最大值 B有最小值 0，无最大值C有最大值 1，无最小值 D无最小值，也无最大值【填空题】4.已知 f（x）= 则不等式 xf（x）+x2 的解集是 _.,05.（2005 北京东城模拟）定义“符号函数”f（x ）=sgn x= 则不等式,01,x+2（ x2） sgnx 的解集是_.6.已知函数 f(x)=|x22x3|的图象与直线 y=a 有且仅有 3 个交点，则 a= 。 简答提示 :1-3. C DA; 4.分段解取并集x|x1; 5.（ ，+）;
7、6. 由图象易知5a=4。【解答题】7.求函数 的反函数。 21(0)()xf解： f(x )在 R 上是单调减函数， f (x)在 R 上有反函数。 y=x 2+1(x0) 的反函数是 (x1), 1yy=1x(x 0)的反函数是 y=1x(x1), 函数 f(x)的反函数是 1(0)fx注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 8.设 A=x|x|=kx+1,若 AR += ,AR - ,求实数 k 的取值范围.解法 1:方程|x|=kx+1 的解是函数 y=|x|和 y=kx+1 交点的横坐标,结合图形知,当直线 y=kx+1 在 范围内时,方程有负根,且没有正根,故 k1.解
8、法 2:由题意须 有解,01k无解.01xk中 k=-1 时无解, ;1,01kxk时 得中 k=1 时无解,k0 时,若 则有解,即所以, k1.9. (2005 浙江)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)x 22x ()求函数 g(x)的解析式；()解不等式 g(x)f( x)|x1| ；()若 h(x) g(x) f(x)1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围解：（I）设函数 的图象上任一点 关于原点的对称点为 ,y0(,)Qxy()Pxy则 即 .020y点 在函数 的图象上.0(,)Qxy()fxy=|x+1|y=|x| y-1 1o x即 故 g(x)
9、 .2,yx2,yx2x(II)由 可得：()|1|gf|1|0当 1 时， 0此时不等式无解。当 时，x2x因此，原不等式的解集为-1, .12(III) ()1)().hxxx 当 时， 在-1,1上是增函数，h41当 时，对称轴的方程为1x(i) 当 时， ，解得 。11(ii) 当 时， 1 时，解得0综上, 010. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率 与日产量 （件）之间大体满足关系：Px（其中 c 为小于 96 的正常数）),(32196NxcP注：次品率 ，如 表示每生产 10 件产品，约有 1 件为次品其余为
10、合格生 产 量次 品 数 0.1P品已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元，但每生产一件次品将亏损 元，故厂方2A希望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额 （元）表示为日产量 （件）的函数；Tx（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解 （1）当 时， ，所以，每天的盈利额 ;xc23P1032TA当 时， ，所以，每日生产的合格仪器约有 件，1xc196Px196x次品约有 件故，每天的盈利额96.11396296AxTxxA综上，日盈利额 （元）与日产量 （件）的函数关系为：T3, 120, xxcc（2）由（1）知，当 时，每天的盈利额为 0当 时， x3296xTA令
11、 ，则 故96t05ct31471497202TttAt当且仅当 ，即 时，等号成立t18x即所以（i）当 时， （等号当且仅当 时成立） 8cma472T8x（ii） 当 时，由 得 ，1c965ct易证函数 在 上单调递增（证明过程略） gtt(1,)所以， 所以，()96c214141897796 022cTtAcAA即 （等号当且仅当 时取得）2max89cx综上，若 ，则当日产量为 88 件时，可获得最大利润；若 ，896c 18c则当日产量为 时，可获得最大利润 点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待【探索题】(2006 福建)已知函数 2()8,(
12、)6ln.fxgxm（I）求 在区间 上的最大值(fx,1t;ht（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同m()yfx()yx的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I） 22()8(4)16.fx当 即 时， 在 上单调递增，14,t3tfx,t22()(1)()7;hf t当 即 时，,t4t(416htf当 时， 在 上单调递减，4()fx,28.htt综上， 267,3()1,4,8ttt （II）函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。()xg2286ln,86(1)3() (0),xmxx当 时， 是增函数；0,1x()0,()当 时， 是减函数；(3)x当 时， 是增函数；(3,)x()0,()x当 或 时，1.()()7,()(3)6ln15.xmxm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0 时， 当 充分大时，,()0.x要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()x即7,()6ln3150,m最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 m，使得函数 y =f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15-ln 3)
