1、1.2.3 空间中的垂直关系(1),一. 直线与平面垂直的定义,1 两直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。,观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系，旗杆与地面的关系呢？,2 直线与平面垂直：如果一条直线（l）和一个平面（）相交于点A，并且a和这个平面内过点A的任何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面，记作l，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。,在几何中，定义兼具两重性，既是判定又是性质。,判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的一种方法；
2、,性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。,这是在线面垂直问题中经常要用到的一个结论。,即,判断正误： 如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 互相垂直.,二. 直线与平面垂直的判定定理,1定理： 文字语言：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.,图形语言：,符号语言：a ，b ，ab=O，la，lb， l.,实验：过ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，且使折痕ADBC，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.,证明：设m是内的任意一条直线,推论1 ：如果两条平行直线中
3、的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 。,已知：直线l平面，直线m平面，垂足分别为a，b，求证：l/m.,证明：假设直线m与直线l不平行。过直线m与平面的交点B作直线m/l，,由直线与平面垂直的判定定理的推论1可知m.,设m和m确定的平面为，与的交线为a，,因为直线m和m都垂直于平面，,所以 直线m和m都垂直于交线a，,因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，,所以直线m与m必重合， 即有l /m.,例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。,已知：平面和一点P. 求证：过点P与垂直的直线只有一条。
4、,证明：不论P点在外或内，设PA，垂足为A(或P)，,如果过P点，除直线PA外，还有一条直线PB，设PA，PB确定的平面为,且=a，,于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，,这是不可能的。所以过点P与垂直的直线只有一条。,例1、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？,解：在ABC和ABD中，因为AB=8，BC=BD=6，AC=AD=10，,所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.,AB2+BD2=82+62=102
5、=AD2.,所以ABC=ABD=90，,即ABBC，ABBD，,又知B，C，D三点不共线，,因此AB平面BCD，即旗杆和地面垂直。,例3已知：直线l平面，垂足为A，直线APl. 求证：AP在内。,证明：设AP与l 确定的平面为，假设AP不在内， 则设与相交于直线AM。,因为l，AM ,所以lAM，,又已知APl，于是在平面内， 过点A有两条直线垂直于l， 这是不可能的，,所以AP一定在内。,直线与平面垂直的判定方法,3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。,1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.,2.判定定理:如果一条直线
6、垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。,4.如果直线和平面所成的角等于90,则这条直线和平面垂直,练习题：,1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ）,A.平行 B.相交 C.平行或相交,C,2、在空间，下列命题,（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；,（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；,（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；,（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。,正确的是（ ）,A. (1)(3)(4) B. (1)(4) C. (1) D.四个命题都正确。,B,3 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H为垂足，求证：B1H平面AD1C.,证明：连接B1D1， B1BAB，B1BBC， B1B平面ABCD， B1BAC，, 又ACBD， AC平面BB1D1D， 又B1H平面BB1D1D， ACB1H， 又B1HD1O， B1H平面AD1C.,
