1、第8章 最优设计方法状态空间法,8.1 引 言,前两章阐述的系统离散化设计方法，是用极点配置解决系统设计（综合）问题，主要设计参数是闭环极点。本章研究系统最优设计方法。系统用线性离散状态空间描述，性能准则是状态与控制信号的二次型函数，设计问题就是寻求使性能准则为最小的允许控制信号序列，所设计的数字控制器是线性的，这类问题被称为线性二次型控制问题。继而研究在随机信号扰动下的线性二次型高斯（LQG）控制问题。 本章主要阐述如下两个问题： 1. 建立在二次型代价函数（性能指标）最小基础上的状态反馈控制系统设计； 2. 在随机扰动作用下，最优状态估计卡尔曼滤波器的设计。,8.2 最优调节系统设计,8.
2、2.1 设计准则,所设计的系统见图8-2-1。由J= Jmin准则设计的系统称线性二次型（LQ）控制系统，控制器称线性二次调节器。,由式（8-2-2）可见，LQ控制问题是一种N阶段问题，即为“有限时间” 问题。式中，第一项称终点代价，其余两项称运转代价：其中，第一项反映了由初始状态趋向于平衡位置响应的快慢，第二项反映了功耗的大小。“权”的选择可依据所着重的品质而定。对于很多实际系统，N，即为“无限时间” 问题。在本节，有限与无限时间问题均予以讨论。,权矩阵Q、R、S与状态向量、控制向量有关的物理限制（如：上、下限值等）、与所研究问题的性质有关。Q、R一般是定常的，S可对不同阶段取不同阵： 。,
3、8.2.2 变分法 用变分法中的拉格朗日乘数法解LQ问题。求解步骤：,从数学角度可以说，最优控制要解决的问题是，求泛函J在式（8-2-1）条件下的极值问题，典型的求解方法：动态规划法和变分法。,1. 构造哈密顿（Hamilton）函数 将式（8-2-1）写成：引入拉格朗日乘子向量：,于是，将原来求J的条件极值问题，变成求H的无条件极值问题。,2. 开环最优调节,依据变分原理，式（8-2-2）代价函数J= Jmin最小（也称最优）的必要条件： 。,因,则J最优的必要条件为：,由上三式可求得开环最优调节描述为：,3. 闭环最优调节,为求闭环反馈最优调节，引入Riccati变换：,则,在最终段，k=
4、N，可得：,可见，在已知Q、S、A、B情况下，由k=N开始，沿阶段数减小方向，根据上式一步步倒推，可求得P(k)各值。,8.2.3 无限时间问题,以上讨论的LQ控制是“有限时间”问题，下面讨论N的“无限时间”问题。 1. 确定稳态反馈增益矩阵L 由例8-2-1、8-2-2可知，对于A、B、Q、R为定常阵，且（A,B）具有能控性情况，N有限时，反推求得的P(k)、L(k)虽是时变的，但在前几个时间段，已基本上是常值。为此推断出，当N很大时，由最终段倒推， P(k)、 L(k)会随着k的减小很快趋于常值，称为稳态解，此时，式（8-2-21）成为代数方程：,确定L的递推法：取某一有限N值，与例8-2
5、-1、8-2-2同样方法递推，当P(k)、L(k)变化很小时，定其为近似稳态解L。,2. LQ调节闭环极点,3. 闭环系统稳定性,在A、B、Q、R为定常，Q0，R0前提下，P(k)或S(k)存在正定的稳态解，可证明，构成的LQ调节系统是稳定的，即其特征根必位于Z平面单位圆内，求解的x(k)表示由初始状态x(0)得到的自由运动必衰减到零，即达到平衡位置。且代价函数J为有限值。,4. 单输入单输出（SISO）系统 为便于说明，以SISO系统为例予以讨论。,为了说明权q对闭环极点的影响，画出q由0的极点轨迹，可见，上式具有“根轨迹”的形式，闭环极点是上式在单位圆内的根。,8.3 有输入的系统设计,这
6、里仅讨论如图7-6-1所示具有输入前馈、状态反馈的LQ控制系统的设计，输入阶跃信号r(k)=r0，L为反馈矩阵，N为前馈矩阵，系统描述为,以上讨论的是系统状态完全可观测情况下系统的设计问题。如果全部或部分状态是不可测的，就需按上章所述，进行状态观测器设计，以重构状态。,8.4 最优随机控制,本节讨论被控对象受随机扰动作用下的最优控制。由于考虑的扰动是具有正态分布的白噪声，因此称为线性二次高斯(LQG)控制问题。LQG问题的解，由如下两部分组成： 1. 设计最优状态估计器卡尔曼滤波器。 2. 用估计状态，构成线性反馈控制，与系统中无扰动作用时所设计的相同。根据分离定理，上述两部分可分别进行独立设
7、计。 8.4.1 对象离散随机模型设对象受白噪声w(k)干扰，且输出量测过程具有随机误差v(k)，见图8-4-1。设x(k)、w(k)、v(k)具有如下特性： （1）三者之间不相关。 （2）对象初始状态x(0)的均值与协方差阵为,8.4.2 最优状态估计卡尔曼滤波器设计,1. 设计准则在系统状态不能直接观测时，可设计最优状态估计器，也称卡尔曼滤波器，它是一种全阶状态观测器，是以状态估计误差的方差最小为准则设计的。卡尔曼滤波器之结构与式（7-4-11）相同，是向前一步预报器，但区别是：确定增益矩阵K的方法不同，它是时变的，记为K(k)，是作为参数最优化问题来解决的。对于高斯扰动情况，最优状态估计
8、器设计准则为：确定式（7-4-11）中增益矩阵K(k)，使状态估计误差的方差最小。,2. 卡尔曼滤波器设计,三种滤波器比较可知：小的常值增益K，使估计误差减小缓慢，但稳定性能好；大的常值增益在开始段使估计误差减小较快，但稳态特性较差；用卡尔曼滤波器，使误差之动态及稳态特性均较好，即达最优估计。,图8-4-2 例8-4-1系统估计误差 的一次实现（ ） （a）K最优 （b）K=0.01 （c）K=0.05,8.4.3 线性二次高斯控制,LQG控制系统见图8-4-3，根据分离原理，首先解LQ问题，也可以说是解确定性问题，由二次型性能指标最优，求得L(k)；然后用卡尔曼滤波器估计状态。,思考与练习,
