1、矢量空间维基百科，自由的百科全书汉漢线性代数矢量 矩阵 行列式 线性空间显示矢量显示矩阵与行列式显示线性空间与线性变换查 论 编 历矢量空间是可以缩放和相加的(叫做矢量的)对象的集合。矢量空间（或称线性空间）是现代数学中的一个基本概念。是线性代数研究的基本对象。矢量空间的一个直观模型是矢量几何，几何上的矢量及相关的运算即矢量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律 ，已大致地描述了“矢量空间”这个数学概念的直观形象。在现代数学中，“矢量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作矢量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成矢量空间，在代数上处理是方便的。单变
2、元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成矢量空间，研究此类函数矢量空间的数学分支称为泛函分析。目录隐藏 1 公理化定义o 1.1 基本性质 2 例子o 2.1 方程组与矢量空间 3 子空间基底 4 线性映射 5 概念化及额外结构 6 参见 7 参考文献编辑公理化定义给定域 F，一个矢量空间是个集合 V 并规定两个运算： 矢量加法：V V V，把 V 中的两个元素 v 和 w 变为 V 中另一个元素，记作 v + w； 标量乘法：F V V，把 F 中的一个元素 a 和 V 中的一个元素 v 变为 V 中的另一个元素，记作 a v。这两个运算符合下列公理 (对 F 中的任意元素 a、b 以及 V
3、 中的任意元素 u、v、w) ：1. 矢量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w，2. 矢量加法交换律：v + w = w + v，3. 存在矢量加法的单位元：V 里存在一个叫做零矢量的元素，记作 0，满足： v V , v + 0 = v，4. 矢量加法的逆元素： vV, wV, 使得 v + w = 0。5. 标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.6. 标量乘法对域加法满足分配律：( a + b)v = a v + b v.7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。8. 标量乘法有单位元：域 F 的乘法单位元
4、1 满足： v，1 v = v。前四个公理是说明矢量 V 在矢量加法中是个交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是矢量之间的加法和标量之间的加法是不一样的，标量与矢量之间的乘法（标量乘法）和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。简而言之，矢量空间是一个 F-模。V 中的元素叫作矢量，而 F 中的元素叫作标量。 若 F 是实数域 R，V 称为实数矢量空间. 若 F 是复数域 C，V 称为复数矢量空间. 若 F 是有限域，V 称为有限域矢量空间 对一般域 F，V 称为 F-矢量空间编辑基本性质以下是一些很容易从矢量空间公理推导出来的特性: 零矢量 0 V (公理 3) 是唯一
5、的. a 0 = 0 a F. 0 v = 0 v V 这里 0 是 F 的加法单位元. a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0. 可加的逆元矢量 v (公理 4) 是唯一的. (写成v). 这个写法 v w 及 v + (w) 都是标准的. (1)v = v v V. (a)v = a(v) = (av) a F , v V.编辑例子最简单的系数域为域 F 的矢量空间的例子是 F 自身。只要定义矢量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当 F 是实数域 时，可以验证对 中的任意元素 a、b 以及 中的任意元素 u、 v、w，都有：1. u +
6、(v + w) = (u + v) + w，2. v + w = w + v，3. 零元素存在：实数 0 满足： v , v + 0 = v，4. 逆元素存在： v , w = -v , 使得 v + w = 0。5. 标量乘法对矢量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.6. 标量乘法对域加法满足分配律：( a + b)v = a v + b v.7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。8. 标量乘法有单位元： 中的乘法单位元，也就是实数 1 满足： v，1 v = v。更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点 P 都有一个坐标P(x,
7、y)，并对应着一个矢量(x ,y)。所有普通意义上的平面矢量组成了一个空间，记作 ，因为每个矢量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x,y) 。可以验证，对于普通意义上的矢量加法和标量乘法， 满足矢量空间的所有公理。实际上，矢量空间是 的推广。同样地，高维的欧几里得空间 也是矢量空间的例子。其中的矢量表示为，其中的 都是实数。定义矢量的加法和标量乘法是：，可以验证这也是一个矢量空间。再考虑所有系数为实数的多项式的集合 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， 也构成一个矢量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 也是矢量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连
8、续函数。编辑方程组与矢量空间矢量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是 0 的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：3x + 2y z = 0x + 5y + 2z = 0如果(x 1,y1,z1) 和( x2,y2,z2) 都是解，那么可以验证它们的“和”( x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2)也是一组解，因为：3(x1 + x2) + 2(y1 + y2) (z1 + z2) = (3x1 + 2y1 z1) + (3x2 + 2y2 z2) = 0(x1 + x2) + 5(y1 + y2) + 2(z1 + z2) = (x1 + 5y1 + 2z1) + (x2
9、 + 5y2 + 2z2) = 0同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“矢量加法”和“标量乘法”满足矢量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个矢量空间。一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个矢量空间。对于齐次线性微分方程，解的集合也构成矢量空间。比如说下面的方程：f + 4xf + cos(x)f = 0出于和上面类似的理由，方程的两个解 f1 和 f2 的和函数 f1 + f2 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个矢量空间。编辑子空间基底如果一个矢量空间 V 的一个非空子集合 W 对于 V 的
10、加法及标量乘法都封闭（也就是说任意 W 中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在 W 之中），那么将 W 称为V 的线性子空间（简称子空间）。V 的子空间中，最平凡的就是空间 V 自己，以及只包含 0 的子空间 0。给出一个矢量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作 span(B)。给出一个矢量集合 B，若它的生成集就是矢量空间 V， 则称 B 为 V 的一个生成集。如果一个矢量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。可以生成一个矢量空间 V 的线性无关子集，称为这个空间的 基。若 V=0，约定唯一的基是空集。对非零矢量空间 V，基
11、是 V“最小”的生成集。矢量空间的基是对矢量空间的一种刻画。确定了矢量空间的一组基 B 之后，空间内的每个矢量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：，那么空间中的每一个矢量 v 便可以通过座标系统来呈现：这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，矢量空间的基提供了一个坐标系。可以证明，一个矢量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当 V 是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如,各种实数矢量空间：R 0, R1, R2, R3, , R , 中， Rn 的维度就是 n。在一个有限维的矢量空间（维度是 n）中，确定一组基
12、 ，那么所有的矢量都可以用 n 个标量来表示。比如说，如果某个矢量 v 表示为：那么 v 可以用数组 来表示。这种表示方式称为矢量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：可以证明，任意一个 n 维的 -矢量空间和空间 有同样的 “构造”。这种关系称为同构，详见下一节。编辑线性映射给定两个系数域都是 F 的矢量空间 V 和 W, 定义由 V 到 W 的线性变换（或称线性映射）为所有从 V 射到 W 并且它保持矢量加法和标量乘法的运算的函数f：所有线性变换的集合记为 ，这也是一个系数域为 F 的矢量空间。在确定了 V 和 W 上各自的一组基之后， 中的线性变换可以通过矩阵来表示。如果两个矢量
13、空间 V 和 W 之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在 V 和 W 之间存在同构, 那么称这两个空间为同构的。如果矢量空间 V 和 W 之间存在同构，那么其逆映射 也存在，并且对所有的，都有：编辑概念化及额外结构研究矢量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 一个实数或复数矢量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范矢量空间。 一个实数或复数矢量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。 一个矢量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑矢量空间。 一个矢量空间加上双线性算子（定义为矢量乘法）则成为域代数。
