1、 中小学 1 对 1 课外辅导专家0龙文教育学科老师个性化教学案教师 学生姓名 上课学科 年级 教材版本 人教版类型 知识讲解： 考题讲解: 本人课时统计 第 次教学案主题 空间向量课时数量（全程或具体时间） 授课时段教学目标学生探索求知增智活动 启发过程教学过程.a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标） ， y 轴是纵轴（对应为纵坐标） ， z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.令 =(a1,a2,a3), ，则),(321b， ， ,(321bb )(,(321Raa 321baba， 。a )(,321 Rba321b。 03bb(向量模与向量之间的转化：2231aa)
2、a2空间两个向量的夹角公式 2321321|,cos babba（ a ，b ） 。123(,)(,)空间两点的距离公式： .212121)()(zyxdb.法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作a，如果 那么向量 叫做平面 的法向量. ac.向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面的一条射线，其中 ，则点 B 到平面 的距离为 .A|AB中小学 1 对 1 课外辅导专家1.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ，nCDd12,l n分别是 上任一点， 为 间的距离).CD、 12,l12,l.直线 与
3、平面所成角 ( 为平面 的法向量).ABsi|ABmarc.利用法向量求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面21,nl的法向量，则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 方, 21,n 21,n向相同，则为补角， 反方，则为其夹角）.,二面角 的平面角 或 （ ，lcos|mnarcos|marn为平面 ， 的法向量）.nd.证直线和平面平行定理：已知直线 平面 ， ，且aDCaBA,C、D、E 三点不共线，则 a 的充要条件是存在有序实数对 使.（常设 求解 若 存在即证毕，若 不存ABCEDAB, ,在，则直线 AB 与平面相交）.nCAn21EDAB一、 经典例题剖析考点
4、一 空间向量及其运算1. 已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件,ABC，1255OPABO试判断：点 与 是否一定共面？,中小学 1 对 1 课外辅导专家22. 如图，已知矩形 和矩形 所在平面互相垂直，点 ， 分别在对ABCDEFMN角线 ， 上，且 ， 求证： 平面 E13M13AN/CDE考点二 证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC 3，BC4，AA 14，点 D 是 AB 的中点，（I）求证：ACBC 1； （II ）求证：AC 1/平面 CDB1；4. （2007 武汉 3 月）如图所示，四棱锥 PABCD 中，AB AD，CD AD，
5、PA 底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。(1)求证：BM平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN 平面PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。中小学 1 对 1 课外辅导专家3考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0 90，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是 0 90，其解法是作垂线、找射影；二面角0 180 ，其方法是： 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 头htp:/w.xjky
6、gcom126t:/.j 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5. （四川省成都市 2007 届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥中，侧面 是边长为 2 的正三PABCDP角形，且与底面垂直，底面 是ABCD的菱形， 为 的中点.60M()求 与底面 所成角的大小；()求证： 平面 ；()求二面角 的余弦值. 6. （2007 河北省唐山市三模）如图，在长方体 中，1ABCD点 在线段 上.1,2,ADBEAB（）求异面直线 与 所成的角；1D（）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离.C45B1EC中小学 1 对 1 课外辅导专家4考点四 探索性问题7. （2007 年 4 月济
7、南市）如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且 DE= ，ED/AF 且DAF=90。（1）求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦；（2）线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、 A、 C 三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP 与 PF 的比值；若不存在，说明理由。8. (2007 安徽文) 如图，在三棱锥 中， ， ，VABCABC 底 面 是 的中点，且 ， DABCa02D（I）求证：平面 平面 ；V（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 BVA6A 中小学 1 对 1 课外辅导专家5考点五 折叠、展开问题9
8、（2006 年辽宁高考）已知正方形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 、 分别是 、 的中点,将ABCDEFABCD沿 折起,如图所示 ,记二面角 的大小为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ADE(0)(I) 证明 平面/BF;(II)若 为正三AC角形,试判断点 在平面内的射影 是否BDEG在直线 上, 证明你的结论, 并求角 的余弦值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j F（一）方法总结1位置关系：（1） 两条异面直线相互垂直证明方法： 证明两条异面直线所成角为 90； 证明两条异面直线的方向量相互垂 1 2直。（2） 直线和平面相互平行证明
9、方法： 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的 1 2方向向量和这个平面内的一个向量相互平行； 证明这条直线的方向向量和这个平 3面的法向量相互垂直。1,3,5中小学 1 对 1 课外辅导专家6（3） 直线和平面垂直证明方法： 证明直线和平面内两条相交直线都垂直， 证明直线的方向量与这个 1 2平面内不共线的两个向量都垂直； 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平 3行。（4） 平面和平面相互垂直证明方法： 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90； 证明一个平面内的 1 2一条直线垂直于另外一个平面； 证明两个平面的法向量相互垂直。 32求距离：求距离的重点在点到平面的距
10、离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1） 两条异面直线的距离求法：利用公式 （其中 A、B 分别为两条异面直线上的一点，|nd为这两条异面直线的法向量）n（2） 点到平面的距离求法： “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 等体积法。 向量 1 2 3法，利用公式 （其中 A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点， 这|nd n个平面的法向量）3求角（1） 两条异面直线所成的角求法： 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的 1角，然后通过解三角形去求得； 通过两条异面直线的方向
11、量所成的角来求得，但 2是注意到异面直线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的,0(,0是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2） 直线和平面所成的角求法： “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 向量法，先求直线 1 2中小学 1 对 1 课外辅导专家7的方向量于平面的法向量所成的角 ，那么所要求的角为 或 。2（3） 平面与平面所成的角求法： “一找二证三求” ，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出 1来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。 通过射影 2面积来求 （在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形原射 影Scos在另外一个平面
12、的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos，注意到我们要求的角为 或 ） ； 向量法，先求两个平面的法向量所 3成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为 或 。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！4解题注意点（1） 我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。（2） 我们如果是通过解三角形去求角、距离
13、的时候，做到“一找二证三求” ，解题的过程中一定要出现这样一句话， “ 是我们所要求的角” 、 “线段 AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。（3） 用向量来求两条异面直线所成角时，若求出 cosx，则这两条异面直线所成的角为 arccos|x|（4） 在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要 或 ，2若求出的角为锐角，就用 ，若求出的钝角，就用 。2（5） 求二面角时，若用第 、 种方法，先要去判断这个二面角的平面角是 2 3钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。作业：1、如图，
14、是正四棱锥, 是正方体，其中PABCD1ABCD2,6中小学 1 对 1 课外辅导专家8（）求证： ；1PABD（）求平面 与平面 所成的锐二面角 的大小；1（）求 到平面 的距离12、 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是AB、PC 的中点 （1）求证： 平面 PAD；/EF（2）当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时， 直线 平面 PCD？EF20. 已知多面体 ABCDE 中， AB平面 ACD，DE 平面 ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F 为 CD 的中点.（）求证：AF平面 CDE；
15、（）求异面直线 AC，BE 所成角余弦值；（）求面 ACD 和面 BCE 所成二面角的大小.中小学 1 对 1 课外辅导专家921. 如图，四边形 ABCD 是正方形，PB平面 ABCD，MA/PB，PB=AB=2MA，（）证明：AC/平面 PMD；（）求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小；（）求平面 PMD 与平面 ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。本节课教学计划完成情况按时完成 提前完成 延后完成 _学生的接受程度： 5 4 3 2 1 _学生的课堂表现：很积极 比较积极 一般积极 不积极 _学生成 学生上次作业完成情况： 优 良 中 差 存在问题 _中小学 1 对 1 课外辅导专家10学管师（ 班主任）_长记录 老师寄语的家长您好，我是龙文教育的 ，今天给孩子学生签字 班主任审批 教学主任审批
