1、1Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设 ，对于给定的重指标 ，称为 的 阶弱导数，如果存在函数)(1locLuu，使得对于 成立lcv）（0C.dxDvdx|)1(并记 .uDv(二)Sobolev 空间的定义：对 p 1,m 是非负整数，定义 Sobolev 空间mLuDLWpppm |),(|)(, .u|,|在 中引入范数)(,pmpuDpuDdxummpp,a1,)()|(| |,1|, 下面证明 按范数)(,pmWpupudxmmpp,a1,)()|(| |,1|, 是赋范空间.(i)非负性：当 时，任意的 ，则 ，p1)(,pmu 0)|(|1, mppdxuDu且
2、 对任意 均成立 ；0,pmu0)|(|1mpdxD |u当 时，任意的 ，则 ，)(,pWu0ax|, uDump2且 对任意 均成立 ；0,pmu0ax|uDmm|0u(ii)齐次性：当 时，任意 ， ，有1)(,pWK；mpdxuDu|1|)( mpdxuD| 1)|u当 时，任意 ， ，有p)(,pm；ax|uuum|ax(iii)三角不等式性：当 时，任意 ， ，有p1)(,pmW)(,pvmpdxuDvu| 1|(mppdxvDu| 1)|；p|1)|( pdxv| 1)|(当 时，任意 ， ，有p(,pmWu),pmv.)ax|DvuDu|axu|axvDm|au所以，Sobol
3、ev 空间 是一个赋范空间.(,pm二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性： 是 Banach 空间.)(,pmW证明 只要证明 是完备的.,任取 中的 Cauchy 序列 ，则 .)(,pmjf ),(0, jkfpmjk而 mpLjkpjk fDf| 1, )(pLjkff|1)(.,(0ffpLjk3即 是 中的 Cauch 列，由 的完备性知，存在)|(mfDj)(pL)(pL，使得 .|LgpjgfDpLj,在弱收敛的意义下， ，即对任意 ，有j )1)(qp.jdxgxfj特别对任意 ，有)(0C.)(jxxfDj这是因为 | dgfjxj|(应用 Holder 不等式）
4、0qpLjfD令 得0.dxfgdxfj 0其中 .)(0C在利用弱导数的定义得，对于任意 时有jC),(0dxDfdxfDjj 1.dxf|)(即当 时， 在 内弱收敛于 ，记成jjf)(pLf)( pj LDf弱 收 敛由极限的唯一性，得 且)(pgD|m.jff)(j这就说明，若 是 中的 Cauchy 序列，则必存在 ，使得jf)(,pmW)(,pmWf.)(,pmjf4即， 是完备的.)(,pmW从而 是 Banach 空间.,（二）可分性：当 时， 是可分的.p1)(,pmW证明 只要证明当 时， 是可分的，也就是说 中存QLQpL)(在稠密的可列集.事实上，对每个正整数 ，作k.
5、kxxdistxk |,1),(,|设 表示所有有理数多项式全体， ， ，PPfk|k1则 在 中稠密. 事实上，对 ，任意的 ，由 在)(pL )(pL0)(0C中稠密知，存在 ，使得)(0Cg.2)(pLgf另外容易看出， . )()(010kk故 属于某个 ，利用 weierstrass 定理知， 在 中稠密，也就是gmCmP)(0C说，存在 ，使得 ， .Phpmhg1|2|x因为 有界，故有mpLhghgp 1)()|2)|1mp故.)(|pLhf其中， .kPh1这就说明 在 中稠密，且 是一个可列集，因而 是)(pL PQ1可列的稠密集，即 是可分的，从而 也是可Qp)( )1(
6、)(pLQp )(,pmW5分的.(3)自反性:设 ，则 是自反空间. p1)(,pmW三、Sobolev 空间的嵌入定理：(一)设 具有锥性质表示 与 中一上 维平面的交集， ， 为正整数， 为非负knRknk1mj整数， ，则有下列嵌入关系p1情形 A 假设 且 则mnkp，)()(, qLWmpn，)()(,qjpmj ， .)()(, kqjpj mpnk情形 B 假设 ，则对 ，有nn1， .)()(, kqjpmjW特别， .)()(,qpmLp若 ，则 ，这时当 时，上两式仍成立.1pn情形 C 假设 ，则.)()(, jBpmjCW(2)设 具有强局部 Lipschitz 性质
7、情形 假设 ，则np)1(， .)(,jmjCpnm0情形 假设 ，则Cpn)1(， .)(, jmjW106若 ，则上式对 也成立.1,mnp1四、建立 Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个 Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与 Sobolev 空间 . 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个 Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解. 综上所述，广义微商及 Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.
