1、第 1 页 共 4 页第十课时 等比数列前 n 项和的性质及应用【知识与技能】掌握等比数列前 n 项和公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题【重点难点】重点：等比数列前 n 项和及性质的应用难点：等比数列前 n 项和及性质的灵活应用【教学过程】一、问题与探究1.在等差数列a n中，我们知道其前 n 项和 Sn满足这样的性质，S n，S 2nS n，S 3nS 2n，也成等差数列；等比数列的前 n 项和 Sn是否也满足这一性质呢？试证明之等比数列前 n 项和的性质 在等比数列a n中，S n，S 2nS n， ，成等比数列，其公比是 .2等比数列前 n 项和公式 Sn (q1)，
2、是否可以写成 SnA(q n1)( Aq0 且a11 qn1 qq1)的形式？若可以，A 等于什么？提示：可以， A .a11 q3等比数列前 n 项和公式 Sn (q1) 是否可以写成 SnAa nB(AB0 且 A1)a1 anq1 q的形式？提示：可以， A ， B .q1 q a11 q等比数列前 n 项和与指数函数的性质 当公比 q1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn ，它可以变形为 Sn a1 1 qn1 q，设 A ，上式可写成 SnAq nA.由此可见，q1 的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个 与一个 的和构成的，而指数式的系数与常数项 当 q1 时，数列
3、 S1，S 2，S 3，S n，的图象是函数 yAq xA 图象上的一些 二、合作与探究类型 1 等比数列前 n 项和的性质及应用 【例 1】(1)已知等比数列a n中，前 10 项和 S1010，前 20 项和 S2030，求 S30.(2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数第 2 页 共 4 页小结：1解决本例有两种思路：用等比数列的前 n 项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便2等比数列前 n 项和的常用性质：(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列a n中，公比为 q.若共有 2n
4、项，则 S 偶 S 奇 q；若共有 2n1 项，则 S 奇 S 偶 (q1 且 q1)(2)“片断和”性质：a1 a2n 1q1 q等比数列a n中，公比为 q，前 m 项和为 Sm(Sm0)，则Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，S kmS (k1)m ，构成公比为 qm的等比数列【练习】设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 3，求 的值S6S3 S9S6类型 2 由递推公式求通项公式 【例 2】根据下面各个数列 an的首项和递推关系，求其通项公式：(1)a11，a n1 a n2n(nN *)；(2)a11，a n1 an(nN *)；nn 1(3)a11，a n1 an1(nN
5、 *)；12(4)数列a n满足 a1 a2 a3 an2n5，求数列a n的通项公式12 122 123 12n小结：1形如 an1 an f(n)的递推式，可用叠加法求通项公式2形如 an1 f(n)an的递推式，可用叠乘法求通项公式.3.形如 an1 kan b(k、 b 为常数)的递推式，可变形为 an1 k(an )构造等比数列求解，其中 可用待定系数法确定4由和式求通项公式，可把和式看做一个数列的前 n 项和，然后根据 anError!来求解【练习】(1)已知数列 an中， a1 ， an1 an ，求数列 an的通项公式；23 12 12(2)已知数列 an中， a13， a25
6、，且 Sn Sn2 2 Sn1 2 n1 (n3)，求数列an的通项公式类型 3 等差、等比数列的综合应用 第 3 页 共 4 页【例 3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年便可获利 1 万元，以后每年比前年多获利 5 千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息 10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到万元，1.1 102.594,1.3 1013.786)小结：1解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还
7、是等比数列模型2等差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题3将实际问题转化为数列问题时应注意：分清是等差数列还是等比数列；分清是求 an还是求 Sn，特别是要准确确定项数 n；递推关系的发现是数列建模的关键4解数列应用题的思路方法如图所示【练习】某市 2012 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的
8、累计面积(以 2012 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.08 41.36,1.08 51.47，1.08 61.59)第 4 页 共 4 页三、课时小结1在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处2在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前 n 项和有关的常用的性质有：连续 m 项和(如Sm， S2m Sm， S3m S2m，)仍组成等比数列(注意此连续 m 项的和必须非零才成立)； an为等比数列，且 q1
9、Sn Aqn A(A0)用好性质会降低解题的运算量，从而减少错误3解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量.四、小结与作业1(2013临沂高二检测)已知一个等比数列的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为( )A63 B108 C75 D832已知等比数列a n的通项公式为 an23 n1 ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn( )A3 n1 B3(3 n1) C. D.9n 14 39n 143(2013成都高二检测)数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a11，a n1 3S n(n1)，则 a6( )A34 4
10、 B34 41 C4 4 D4 414已知 an是首项为 1 的等比数列， Sn是 an的前 n 项和，且 9S3 S6，则数列 的前1an5 项和为( )A. 或 5 B. 或 5 C. D.158 3116 3116 1585(2013威海高二检测)在等比数列 an中，已知 a1 a2 a31， a4 a5 a62，则该数列的前 15 项的和 S15_.6数列 an中， a11， an1 3 an2，则 an_.7等比数列 an共有 2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍，则公比q_.8(2013长沙高二检测)等比数列a n 中，S 27，S 691，求 S4.9(2013井冈山高二检测)已知点(1,2)是函数 f(x)a x(a0 且 a1)的图象上一点，数列a n的前 n 项和 Snf(n)1.(1)求数列a n的通项公式；(2)若 bnlog aan1 ，求数列a nbn的前 n 项和 Tn.
