1、无穷等比数列的各项和（1）教学目标1理解无穷等比数列的各项和的定义；2掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.教学过程（一） 、引入提问： 和 1 哪个数大？ 可能你会认为 ,0.9 0.91事实上，换一个角度来看： 10.0.9.n个现在就是求 的各项和10n个， ， ， ，分析:求数列各项的和 ,就是求数列全部的
2、和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,S根据和的基本含义,要把它们加起来，它的基础是前 项和 ，当 越来越大时， 就会nnSnS无限趋近这个各项和的 ，所以这个 应该是 的极限。S于是可以把数列 各项和看作前 项和 当 时的极限。 ,09.,09., n是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，它的前 n 项和为100.9.9n个， ， ， ， 0.910.100. 10nn nnS个从而 .110.900n nn nlimSlilimli（二） 、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题 1 的讨论中，我们将 看成首项为 、公比为 的无穷等比数列的前0.90.9.1n 项和的
3、极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前 n 项和的极限都存在？,不 存 在时当 nnSaqlim,1当 时, qaqnn 1)(当 时，无穷等比数列前 项和的极限如下：0|1qn )1(lim)(lilimqaqaSnnnn .nnn li1lili1 ， . 0|q0nlimq1naliSq当 时, 不存在, 不存在.1或 nlinli强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前 n 项和的极限才存在0|1让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下我们把 的无穷
4、等比数列的前 项的和 当 时的极限叫做无穷等比数0|1qnnS列的各项和，并用符号 表示.S（ ）.1aSq|强调：只有当无穷等比数列的公比 满足 时，其前 n 项和的极限才存在q0|13、无穷等比数列各项和的应用例 1、 （1）求无穷等比数列 各项的和。 ,31,9,1n431qaS（2）已知无穷等比数列 ，求数列 各项的和。13nna12na数列 是以 为首项， 为公比的无穷等比数列。12na981qS小结：应用无穷等比数列求和公式，看清首项和公比。例 2、 化下列循环小数为分数：（1） ； （2） .0.9341分析：设法将循环小数化成等比数列的前 n 项和，然后求极限.解：（1）210
5、0.29.0.29.9个等式右边是首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以1.109（2） ，3.4.310031等式右边是 加上一个首项为 ，公比是 的无穷等比数列的各项的和，所以.0.314314273.41. 090练习：1） ；（2） ；. .小结：关键将循环小数化成等比数列的前 n 项和，然后求极限.例 3、无穷等比数列 ，其各项和为 1，na（1） 求 的取值范围。1（2） 求 的取值范围。2（1） 、 ，又 ， ；qaqS11， 得 102,10a（2） 、 ，则 ，又11， 得 qa)(124,0,2a小结： 强调 1q例 4、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，联结
6、这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形 A2B2C2D2；如此无限继续下去. 第 1 个正方形的边长为 ，第 2 个正方形的边长为 ，第 n 个正方形的边长为1aana（1）求证 为等比数列；n（2）求所有这些正方形周长的和与面积的和分析：关键是求出第 n 个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系. 解：（1） 、由题意得第 1 个正方形的边长 ，第 n 个1a正方形的边长 2211nnnABCa， .211nna21naD3C3B3A3D2C2B2A2B1C1A1D1 DAB C为等比数列，即所有正方形的边长组成的数列为na，1212,4n（2） 、所有正方形的周长组成的数列为，12,n这是首项为 4、公比为 的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 为2 l. 81l所有正方形的面积组成的数列为，1,248n这是首项为 、公项为 的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和 为S.12S小结：无穷等比数列各项和在图形中的应用，关键是找到第 n 个图和第 n-1 个图中面积、边长（或其他量）之间的关系。4、课堂小结：
