1、用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 1第三讲 等比数列1等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0)等比数列的判定方法:定义法：若 )0(1qan等比中项：若 ，则数列 是等比数列。21nna2等比数列的通项公式设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 ana 1qn1 (a10，q0)3等比中项若 G2ab_(ab0)，那么 G 为 a 与 b 的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na mqnm ，( n，mN )(2)若a
2、 n为等比数列，且 klmn (k，l，m，nN )，则 akala man.(3)若a n，b n(项数相同)是等比数列，则a n(0)， ， a ，a nbn， 仍是等比1an 2n anbn数列（4）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5等比数列的前 n 项和公式等比数列 an的公比为 q(q0) ，其前 n 项和为 Sn，SnError!6等比数列前 n 项和的性质公比不为1 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n仍成等比数列，其公比为_q n_.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 2题型一 等比数列的基本运算例 1 (1)设a n是
3、由正数组成的等比数列， Sn为其前 n 项和已知 a2a41，S 37，则 S5 等于( )A. B. C. D.152 314 334 172(2)在等比数列a n中，若 a4a 26，a 5a 115，则 a3_.思维启迪 利用等比数列的通项公式与前 n 项和公式列方程(组) 计算答案 (1)B (2)4 或4解析 (1)显然公比 q1，由题意得Error!，解得Error! 或Error!( 舍去)，S 5 .a11 q51 q41 1251 12 314(2)设等比数列a n的公比为 q(q0)，则Error! ，两式相除，得 ，q1 q2 25即 2q25q20，解得 q2 或 q
4、.12所以Error! 或Error!.故 a34 或 a34.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组) 可迎刃而解(1)在等比数列a n中，a 11，公比为 q，且| q|1.若 ama 1a2a3a4a5，则 m 等于( )A9 B10 C11 D12(2)设 Sn为等比数列a n的前 n 项和，已知 3S3a 42,3S 2a 32，则公比 q 等于( )A3 B4 C5 D6用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 3(3)已知a n是首项为 1 的等比数列，S n是 an的前 n
5、项和，且 9S3S 6，则数列 的前 5 项和为1an( )A. 或 5 B. 或 5 C. D.158 3116 3116 158题型二 等比数列的性质及应用例 2 (1)在等比数列a n中，各项均为正值，且 a6a10a 3a541，a 4a85，则 a4a 8_.(2)等比数列a n的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若 ，则公比 q_.S10S5 3132思维启迪 利用等比数列的项的性质和前 n 项和的性质求解答案 (1) (2)5112解析 (1)由 a6a10a 3a541 及 a6a10a ，a 3a5a ，28 24得 a a 41.因为 a4a85，24 28所以(a 4a
6、 8)2a 2a 4a8a 412551.24 28又 an0，所以 a4a 8 .51(2)由 ，a 11 知公比 q1， .S10S5 3132 S10 S5S5 132由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S 10S 5，S 15S 10成等比数列，且公比为 q5，故 q5 ，q .132 12思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “若mnpq，则 amana paq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用(1)已知各项均为正数的等比数列a
7、n中，a 1a2a35，a 7a8a910，则 a4a5a6 等于( )A5 B7 C6 D42 2(2)记等比数列a n的前 n 项积为 Tn(nN )，已知 am1 am1 2a m0，且 T2m1 128，则 m 的值为( )A4 B7 C10 D12(3)已知 Sn为等比数列a n的前 n 项和，且 S38，S 67，则 a4a 5a 9_.用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 4题型三 等比数列的判定例 3 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 bn中，b 1a 1，b na na n1 (n2)，且 anS nn.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数
8、列b n的通项公式思维启迪 (1)由 anS nn 及 an1 S n1 n1 转化成 an与 an1 的递推关系，再构造数列 an1(2)由 cn求 an再求 bn.(1)证明 a nS nn， a n1 S n1 n1. 得 an1 a na n1 1，2a n1 a n1，2(a n1 1)a n1， ，a n1是等比数列an 1 1an 1 12又 a1a 11，a 1 ，12首项 c1a 11，c 1 ，公比 q .12 12又 cna n1，c n是以 为首项，以 为公比的等比数列12 12(2)解 由(1)可知 cn n1 n，( 12)(12) (12)a nc n11 n.(
9、12)当 n2 时，b na na n1 1 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1a 1 代入上式也符合，b n n.12 (12)思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证 n1 时是否符合 n2 时的通项公式，能合并的必须合并用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 5设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，S n1 4a n2.(1)设 bna n1 2a n，证明数列 bn是等比数列；(2)求数列a n的通项公式方法与技巧1已知等比数列a n(1)数列c an(c0)，|a n|， a ， 也是等比数列
10、2n1an(2)a1ana 2an1 a manm1 .2判断数列为等比数列的方法(1)定义法： q(q 是不等于 0 的常数，nN )数列 an是等比数列；也可用 q(q 是不等于an 1an anan 10 的常数，nN ，n2)数列a n是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项法：a a nan2 (anan1 an2 0，nN )数列 an是等比数列2n 1失误与防范1特别注意 q1 时，S nna 1这一特殊情况2由 an1 qa n，q0，并不能立即断言a n为等比数列，还要验证 a10.3在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q
11、1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误1.下列各组数能组成等比数列的是 （ ）A. B. C. D. 1,369lg3,9l276,8103,92.若 是等差数列，公差 ， 成等比数列，则公比为 （ ）na0dnaA.1 B. 2 C. 3 D. 4 用孔子的教育思想来润泽每一个孩子子润教育 63设a n是由正数组成的等比数列，且 a5a6=81，log 3a1+ log3a2+ log3a10的值是（ ）A、5 B、10 C、20 D、2 或 44 是公比为正数的等比数列， 则数列 的前 9 项和 （ ）n 15,n9SA、510 B、511 C、512 D、5135(2
12、013课标全国)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3a 210a 1，a 59，则 a1 等于( )A. B C. D13 13 19 196一个等比数列的前三项的积为 3，最后三项的积为 9，且所有项的积为 729，则该数列的项数是( )A13 B12 C11 D107、 如果 a,b,c 成等比数列,那么关于 x 的方程 ax2+bx+c=0( )A.一定有两个不相同的实数根 B.一定有两个相同的实数根C.一定没有实数根 D.以上三种情况均可出现8等比数列 中，| a1|1，a 58a 2. a5a 2，则 an等于 ( )anA(2) n1 B(2) n1C(2) n D( 2) n9数列a n中，已知对任意 nN ，a 1a 2a 3a n3 n1，则 a a a a 等于21 2 3 2n( )A(3 n1) 2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n1)1410在数列a n中，已知 a11，a n2(a n1 a n2 a 2a 1) (n2，nN )，这个数列的通项公式是_11(2013天津)已知首项为 的等比数列a n不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(nN )，且32S3a 3，S 5a 5，S 4a 4 成等差数列(1)求数列a n的通项公式；(2)设 Tn Sn (nN )，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值1Sn
