第七章 电路的频率响应.doc

1、第七章 电路的频率响应7-1 学习要求（1）理解和掌握网络函数的定义、频率特性、 谐振、特性阻抗、品质因数、通 频带和选择性等有关概念；（2）熟练掌握串联和并联电路的谐振条件、工作特点和分析计算方法；（3）了解耦合谐振电路的组成和特点；（4）掌握滤波器原理及其应用。7-2 主要内容1、网络函数及其分类网络函数 为响应相量 与激励相量 之比，即()Hj()Rj()Ej()RHjj&网络函数又称传递函数，可分为两类，一类为驱动点函数，一类为转移函数（或传输函数） 。驱动点函数其响应和激励在同一个端口，而转移函数的响应和激励在不同的端口，表 7-1 给出传递函数（或网络函数）分类名称和定义式表 7-

2、1 传递函数（或网络函数）分类网 络 分类名 的定义式()Hj驱动点阻抗函数 1()()UjZjIj&驱动点函数 驱动点导纳函数1()()()jYjj转移阻抗函数 2211()()()UHjZjIj&转移导纳函数 2211()()()jYjj1()Uj线性电路-+-2()Uj-II转移函数电压比函数 21()UHjj&电流比函数 21()()IjHj&2、网络函数的零点和极点网络函数 的零点是使 的 的值，网络函数 的极点是使()Hj()(0jHsj()j的 值。()js3、电路的频率响应（频率特性）根据线性电路的齐次性，对于只有一个输入的电路，在特定的频率下，输出与输入之间成比例关系，即 =

3、()Hj输 出 相 量 输 入 相 量式中 即为电路的转递函数或网络函数，可以表示为()Hj()()jje式中 称为增益函数， 称为相位函数。则()j ), =(Hj输 出 幅 值 输 入 幅 值 =()输 出 相 位 输 入 相 位可见，增益函数 和相位函数 反映了电路如何改变输出的幅值和相角，且它们与输入的()j)频率有关，二者描述了电路的频率响应，即频率特性包括了幅频特性和相频特性。频率特性可以通过解析法和图解法求得。定 义 ()()RjHjE&响 应 相 量激 励 相 量解析法 1()()(miinsj jjzj p求法图解法 在 s 平面上用作图的方法求解 和()H(4、RLC 串联

4、电路的频率特性RLC 串联电路具有典型性，在工程中得到广泛应用。RLC 串联电路的激励是串联电路的总的电压，而响应可以是任意元件上的电压。但不同的响应电压对应的网络函数具有不同的频率特性。若响应是电容上的电压，则具有低通特性，这是由于频率较低时，容抗较大的缘故；若响应是电感上的电压，则具有高通特性，这是由于频率较高时，感抗较大的缘故；若响应是电阻上的电压，则具有带通特性，这是因为频率在谐振附近时，容抗和感抗相互抵消，因而电阻上产生较大的电压。为了更好准确地反映频率特性的特点并便于绘制通用频率特性曲线，通常将各频率特性表达成谐振角频率和品质因数的函数，它们与电路参数的关系分别为和 01LC1LQ

5、RC、RLC 谐振电路含有电感和电容的一端口电路，如果在一定条件下，端口电压和端口电流同相位，则称此一端口电路发生了谐振。因此，谐振条件是一端口的输入阻抗为实数。典型的谐振电路的 RLC 串联电路，其谐振条件为 1LC可以通过改变 、 和 来满足谐振条件。LCRLC 串联电路谐振的主要特点为：（1）阻抗模达到最小值： ，因而电路中电流达到最大， ；minZRUIR（2）电感电压和电容电压有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电压有效值的 Q 倍。RLC 并联电路谐振特点和 RLC 串联电路谐振特点存在对偶关系，即（1）导纳模达到最小值： ，因而电路中电压达到最大， ；minYG

6、IG（2）电感电流和电容电流有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电流有效值的 Q 倍。串联谐振电路和并联谐振电路的特性如表 7-2 所示表 7-2 串联谐振电路和并联谐振电路的特性谐振形式 串联谐振 并联谐振别名 电压谐振 电流谐振谐振条件 01XLC01BCL谐振频率 0 0特性阻抗 LCLC品质因数 01QR01QG谐振时电路相量图 CULRI LICGIU谐振时的阻抗或导纳 ，为最小minZ ，为最小minY谐振时的电压或电流 ， 一定， 取最大值0UIR&I， 一定， 取最大值0IUG&U储能元件的电压或电流 , LjQCj, LIjQICjI&电磁总能量 2()Wt

7、2()Wt通用曲线表达式 22001()I22001()U通频带 021BQ021BQ6、波特图波特图是网络函数的半对数幅频特性图和相频特性图。波特图幅度为 dB，相位为度，波特图的直线近似是用 的极点和零点所决定的转折频率画出来的。()Hj7、滤波器滤波器是通过某个频带和阻止其他频带的电路。无源滤波器由电阻、电容和电感等器件构成。有源滤波器由电阻、电容和有源器件等构成，一般有源器件是运算放大器。四种常用的滤波器分别为低通、高通、带通和带阻滤波器。低通滤波器只通过频率低于截止频率 的信号，高通滤波器只通过频率高于截止频率 的信号，带通滤波器只通过规定频率范围CC内的信号，带阻滤波器只通过规定频

8、率范围 外的信号。12 127-3 习题解答7-1 求题图 7-1 所示电路的网络函数 。21()()UjHj&2()ut+-+-LCR1()ut题图 7-1解：2221 11()()()1jsUjRLCLCHjjLCRRj&7-2 求题图 7-2 所示电路的驱动点阻抗 、转移电流比 和转移阻抗 。1UI&1CI21UI&221FH+-1+-1 2ICI解：令 ，则其他电压电流可求得021IA2212()(1)2()(12)CUjIIjjjjj最后求得 112(1)2()CUjjjIjjIj&7-3 求题图 7-3 所示电路的转移电压比 和驱动点导纳 。21U1I&+-1F1I2I2U+-题图

9、 7-2题图 7-3解：用网孔法求解。设顺时针网孔电流为 （左）和 （右） ，则1mI2mI121(2)()0mmjjUII解得 12,1可得 2 11,4()4()UIjjU7-4 求题图 7-4 所示电路的转移电压比 ，当 时，此电路网络函数有何特性？21&12RC1jC2R+-2U+-1U解：设 1 21 21 21/ ,/RZRZjCj jCjR由分压公式得 211UZ22211121()RjCZjjR&当当 时，得 ，此网络函数模及辐角均与频率无关。12RC212()HjU7-5 题图 7-5 （a ）所示电路。 （1）求 ；（2）求电路的幅频特性 与相频1()s()Hj特性 ；（3

10、）画出幅频特性 曲线，说明是何种滤波器，求滤波器的截止频率 。()()j C题图 7-4+-()Us12s1()s+-2()s()a()Hj0.51c0()b解：（1）用节点法求解。 12 ()1()()UsssU联立求解得 2321()14sHs（2）令 代入上式得sj232321 32 2232() 1()4()44arctn(4)4)()UHjjjjjjj故得幅频特性 232611()()()Hj相频特性 324()arctn（3） 的曲线如题图 7-5 （b）所示，可见为三阶低通滤波器。令()Hj612()Hj可解得截止频率为 1/crads7-6 求题图 7-6 所示电路的网络函数，

11、说明它具有高通特性还是低通特性。题图 7-5LCR-+ 2U+-1U解：RC 并联的等效阻抗为 1/RCRjCZjjR2 21 1() (1)RCUHj jLZjLjjCR &幅频特性为 22()(1)(j LCR当 时， ；当 时， 。所以它具有低通特性。0()1Hj0Hj7-7 求题图 7-7（a ） 、 （b） 所示电路的转移电压比 21U&-+-+-1u2uk+-1F()a+-+-+-1 2uk+-F1()b解：对于题图 7-7（a）所示电路，根据电路可列出节点方程为 1221()0UUjjjk联立求解得题图 7-6题图 7-7221(3)Ukj&该转移电压比的特性与 RLC 串联电路

12、中 相似，属于低通函数。调节 k 就可以改变函数的频CS率特性。对于题图 7-7（b）所示电路，可利用上述同样的方法求解，得 221(3)Ukj&该转移电压比的特性与 RLC 串联电路中 相似，属于高通函数。调节 k 就可以改变函数的频LS率特性。7-8 求题图 7-8（a ）所示电路网络函数 ，定性画出幅频特性和相频特性示意图。2()sUH1F+-2u+-Su()a1i2i()j10()b()2()c解：根据图示选取的网孔电流列出回路方程为 12()()0SIsUsI联立解得 221()31UsH令 代入上式得sj2221() 1()33jjUjjj则幅频特性和相频特性分别为 222(),(

13、)arctn1()9Hj 定性的幅频特性和相频特性的波形分别如题图 7-8（b） 、 （c）所示。题图 7-87-9 求题图 7-9 所示电路电压转移函数 ，设运算放大器是理想的。 0()inUsH+-+-+-21sC1s1R2()inUs 0()Us()n解：应用节点法求解。选取图所示的参考节点，并设节点电压为 和 ，可列出方程，1()ns2()n并注意到理想运放特点，得 121012 1220 ()()()() innnn UsCUsCsRRRs解得该电路的电压转移为 0 122 21212 12()()()inUs RCHRCssR7-10 求题图 7-10（a ） 、 （b） 所示电路

14、的谐振频率及各频段的电抗性质。1C1L()a2LjLCI2j()b解：对于题图 7-10（a）所示电路，两并联电路的导纳为 11221(),()YjCYjCLL当 时发生并联谐振，整个电路阻抗为010212,L题图 7-10题图 7-9121212()()CLZjY当 ，即 时， ，发生串联谐振。0Z1212()0CL12()CL对于题图 7-10（b）所示电路，可设端口电压与电流相量为 ，由 KCL 得0,UI3CCII由 KVL 可得 11()CUjLjLIj因为输入端阻抗为 3ZjI所以，当 ，即 时发生谐振。130LC1LC7-11 题图 7-11 所示电路，已知， 时电流 的有效值为

15、最大，量值是 1A，此时40/radsi。 （1）求 R、L、 C 及品质因数 Q；（2）求电压 。0LUV Cu-LuRC+i+-u解：（1）根据题意，电路发生谐振时，有 410/1LradsUIARV联立求得 0.1,0mHCF品质因数 0.1LQU题图 7-11（2）因为 00046191CIUVj故有 402cos()Cut7-12 题图 7-12 所示电路中， ， ， 。求电路谐振时的通频带0SImA1LF1RBW 和 为何值时获得最大功率，并求最大功率。LRSILCLR解：RL 串联与 C 并联部分发生并联谐振时，有 00220()()()LRYjCjZj式中， ，谐振时，有00(

16、)ZjRjL， 2020,()()LCjCj 701.50/rads则 ，即 时获得最大功率 ，且有0(),YjGRLLRmaxP4232max 1210()(01).5SPI W此时， 770.5, ./5LQBWradsRCQ7-13 题图 7-13 所示电路中，要使 a、b 两端电压输出为零，则 为多少+-RabSu211L题图 7-13题图 7-12解：ab 两端电压为零，说明 R 上无电流流过， 与 串联支路发生并联谐振。从 1、2 两2C1,L点看进去的等效阻抗为 1 22 1121()()jLCjZjLCj欲使 ，则有 Z2110L解得并联谐振角频率为 21C7-14 求题图 7

17、-14 所示电路在下列两种条件下电路谐振的谐振频率 ：（1） ； 0112LRC（2） 112LRC1RL2C解：根据并联谐振电路导纳为 01 021 20220 01()()()()()LCRRYjj jZjZj式中 。上式中虚部为零可解得101012202(),ZjjLjjC12012LR（1）当 时，有112LRC012LC（2）当 时，谐振频率 为不确定，在任意频率下都谐振。112 0题图 7-147-15 题图 7-15（a ）所示电路中， .若改变 R 值，电流 不变，求电容 C 的值。410sinSutVi+-RCSu0.1Hi()a0.1HSujLR()b解：题图 7-15（a

18、）所示电路可等效变换为题图 7-15（b）所示，LC 电路发生并联谐振时，流经电阻 R 的电流即为电流源电流，此时无论怎么改变 R 的值，电流 不变，所以i7242110().CFL7-16 题图 7-16 所示电路中，已知 ，为负载 与等效电阻为3/rads10LR的电源实现共轭匹配，在负载与电源之间接入一个由 LC 构成的 形二端口电路，试确10SR 定 L、C 的大小。SU+ SRLR1jX2j-解：从电源向右看进去的等效阻抗为 21()LRjXZ当 时，电路实现共轭匹配，于是LSZR21()LSjRRX得到 1221LLSSj jjX由上式得 121LSLXR题图 7-15题图 7-1

19、6解得 1LSRX由于 为电感，上述解取正值，代入数据得1X1 103.LSR又由 得到电感值为1L 213.100XLH将 代入 ，解得 1X12LSR2130.LSRX又由 得到电容值为21XC 523.1010()F7-17 RLC 串联电路，已知电源电压 ， ，调整电容 C 使电路达到谐振，SUmV.9fMHz此时测得电路电流 ，电容上电压 。求电路元件参数 R，L，C 及电路品质因0.1ImA05C数 Q 和通频带 。f解：电路发生电压谐振，故 0062 260651.5053.14920(.)15.8CSURIQLHCpFfkz7-18 RLC 串联电路中，已知端电压 ，当电容 时

20、，电路0102sin(51)utV8C吸收的平均功率 P 达到最大值 。求电感 L 和电阻 R 的值，以及电路的 Q 值。max10W解：由题意： 时电路发生谐振，电流 I 最大，吸收功率 达最大，据此可8CFmax10PW求出 2260maxa01.25810.1LHCPURIQ7-19 试求题图 7-17 所示电路的谐振角频率表达式。 CRL解：题图 7-17 所示电路的输入导纳为 221LRYjCjCRLRL当其虚部为零时，端口电流、电压同相，达到谐振，由此则可导出谐振角频率的表达式。令 20由此解出谐振角频率 201RLC7-20 题图 7-18 所示电路，已知 ， 与 同相位， 。1

21、()it()Suti()32cosSuttV（1）求 的值和 的有效值；（2）求电压源 发出的功率 P。2L()it21L2L+-()SutC2C0.F0.5FH()it()it题图 7-17题图 7-18解：因为 ，故 和 发生了并联谐振，故得1()0it1CL110/.rads又知 与 同相位，故 和 发生了串联谐振，故得()Suti2L220.1.5HC又得 ()3cos2csSutit ttA故电压源发出的功率为 22(1)PIW111002 002() 45.2.283CCUj VjIj Aj故 的有效值为2()it 0.283IA7-21 RLC 并联电路谐振时， ， ， 。求 R

22、，L 和 C。01fkHz()1Zjk10BWHz解： ()jR023.4062.81QBW由于 ，所以有00RQCL 73062.810.3.140F0 .252.68RLHQ7-22 作下列网络函数 的波特图。 （1） ；（2）()Hj1()0jj。5(2)()10jHj解：（1）将 改写成如下形式()j 10() arctn()10Hjjjj 因此对数模和相位分别为 120lg()20lgl()20lg(1)10arctn1db jjj其波特图如题图 7-19（a）所示（1）将 改写成如下形式()Hj 0115(2)22() arctn()9arctn()10 21()00jjjjjj

23、因此对数模和相位分别为 02lg()2lg(1)2lg()l(1)09arctnarct0()1db j jHj j其波特图如题图 7-19（b）所示。 ()a60204/dHB.120314lgj0459.120314()b2040/dbHB.1100459.10127-23 设计一个有源低通滤波器，其直流增益为 4，转折频率为 500Hz。解：对于有源低通滤波器，有 1cfRC所以有 2ccf其直流增益为 (0)4fiRH两个方程，但有 3 个未知数，若选定 ，则有.2fCF6111.593.450.974fcfiRk取 ，所设计的低通有源滤波电路如题图 7-20 所示。1.6,0f iRk+-+-+-iu0ufRfCiR7-24 设计一个有源带通滤波器，使其通过的频率在 250Hz 到 3000Hz 之间，增益为 10，并联电阻为 。20Rk解：因为 ，所以12C题图 7-20题图 7-192 31111.823.4502CnFRf同样， ，则212 32112.653.40CnFRf又因为 21129.5fiKf若选 ，则 。电路如题图 7-21 所示。0ik9.3.102.3fi k+-+-+-iu 0uR1CiR+-+-2 f题图 7-21