1、第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱121 求图示波形的傅里叶级数的系数。解：f(t) 在第一个周期( )内的表达式为21T题 12-1 图)()()(11tEttfmmtt1显然, f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为1 110 )sinco()(kktbtatf 由于 f(t)为奇函数 , 所以 , 有 。0,0ka而 b =k )(sin)()(sin)(2 11110 tdktEtdktaEamm = atktktkatktkta mm )sin()cos()cos(0)sin()cos(2 12111211= (k=1,2,3.)kakEmsin)(2122 以知某信号半
2、周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：（1）a =0; (2) 对所有 k， b =0;（3）对所有 k， a =0;（4）a 和 b 为零，当 k 0 kk为偶数时。解：（1）当 a =0 时，在后半个周期上，只要画出 f(t) 的负波形与横轴（ t 轴）0所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解 122 图中的（b） ，（c）图均满足此条件。题 12-2 图（a） （b）（c）题解 12-2 图（2）对所有 k,b =0,f(t)应为偶函数，即有 f(t)=f(-t),波形如题解 122 图（a）所k示，波形对称于纵轴。（3）对所有 k,a =0,f
3、(t) 应为奇函数，即 f(t)= -f(-t), 波形如图（b）所示，波k形对称于原点。（4） a 和 b 为零，当 k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 a 和 b 只kk kk出现在 k 为奇数时，函数 f(t) 满足镜对称性质，即有 f(t)= -f(t+ ) , 波形如图2T（c）所示。注：121 和 122 题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数
4、计算。123 一个 RLC 串联电路。其 R=11 ,L=0.015H ,C=70 F , 外加电压为u(t) = 11+141.4cos(1000t) 35.4sin(2000t)V试求电路中的电流 i(t) 和电路消耗的功率。解： RLC 串联电路如题解 123 图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式 )1() CkLjRUZIkk 其中 , L =15 , =14.286 . 电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：（1） 直流 =11V 作用时，电感 L 为短路，电容 C 为开路，故， I =0 , =0 0U
5、 00P。（2） 基波 (k=1)作用时，令 =100 V.0Z = R+j( L ) =（11+j0.714） =11.023)1(C1071.3故 = = =9.072 A.I)1(U07.32.071.3P = I R = 905.28 W)(2)(（3）二次谐波 (k=2) 作用时，令 = =25.032 V)2(U094.3509Z =R +j(2 L ) =11 +j(30 14.286) =25.366)2(C21103.64故 = = = 0.987 A)2(I)(U03.64.5907.25P =I R =(0.98) 11 = 10.716 W)2()(2所以，电路中的电流
6、 i (t) 为i (t) = 0 + 9.072 cos (1000t 3.71 ) + 0.987 cos(2000t + 0225.7 )0= 12.83 cos (1000t - 3.71 ) 1.396 sin (2000t 64.3 ) A0 0电路消耗的功率P = + + = 905.28 +10.716 = 916 W0)1()2124 电路如图所示，电源电压为(t) = 50 + 100 sin ( 314t ) 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + Su20 )V0试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。解：设电流 i (
7、t) 第 k 次谐波的向量为 (采用复振幅相量)。 （1）当 k = 0 kmI，直流分量 U = 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有 Z =R +R = 60 ，0 0故I = = = A0Z65P = U I = 50 = 41.667 W0s0（2）当 k=1 ，即 = =314 , 基波向量 = 100 V 作用时，1srad)1(smU09有Z = 10 + j3.14 + = 71.267 )1( 4.315017.jj03.故= = = 1.403 A)1(mI)1(ZUs031.9267.069.7P = )1(s2 0)( 31.cos4.2)cosmsI=66
8、.2 W（3）当 k=2 ，即 , 二次谐波向量 V 作用srad62810)2(4smU时，有Z 0)2( 5.4.8.6250134.8.610jjj故AZUIsm 00)2()( 48.1259.52.48. )2()2(1smsP WI 915cos.1).cos 0)( （4）当 k=3，即 ，三次谐波相量 作用时，srad94231VUSM73.有 19.52.0.9450471.2.9103 jjjZ故 WIUP AZImSMSSm 526.19.cos487.012)9.5cos(21 .071333.3. 所以，电流 i（t）为 Atttti )19.742sin(8.0)5
9、2.468cos(941.0)3.14sin(03.18. 电源发出的平均功率 为sP WPSSS 3.1267.3210 电源电压有效值 VUUSMSSMS 378.912042105223210 电源电流有效值 AI 497.128.0941.203.165125 有效值为 100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I=10A ，当电压中有3 次谐波分量，而有效值仍为 100 V 时，得电流 I=8A 。试求这一电压的基波和 3 次谐波电压的有效值。解：根据题意，可求得基波时的感抗为 1LZ10故，三次谐波时的感抗为 303LZ所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列
10、关系式23212318LLZU代入参数值并整理得 90649231解之，得 VU64.31.70822321126 以知 RLC 串联电路的端口电压和电流为 Atttiu)942cos(75.1)34cos(10)( 003试求：（1）R,L,C 的值；（2） 的值；（3）电路消耗的功率。解：RLC 串联电路如图 126 图所示，电路中的电压 和电流 均为)(tu)(ti已知，分别含有基波和三次谐波分量。(1)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波频率下发生串联谐振。故有101mIUR且 1XcL即 )34(1sradC而三次谐波的阻抗为 11113 380)3(03XjXjjL
11、jRZ 的模值为3 49.2875.10)8(1032123 mIUXZ解得 为104.169)04.28(21X故FXCmHL34.180.314611（2）三次谐波时， 的阻抗角为Z013 45.698.2arctn08arctn而3033iu则 030345.9（3） 电路消耗的功率 P 为 W4.51.6cos7.12120127 图示电路各电源的电压为VtuVttttuVU)sin(210)5cos(210co8 33)s(5)cs(c1065 1412 13u（1） 试求 ;,afeadcabU（2） 如将 换为电流源 ，试求电压 （ 等0 )7cos(21tis ageadcU,
12、b为对应电压的有效值） 。解：本题各电源电压含有的各次谐波分量为：恒定分量和 4 个奇次（ ）117,53,谐波分量，各电压的有效值计算如下：（1） VUVafeadcab 261.84)02()50()8310(6 .174.2578130509.22 222 (2)设电压 参考方向如图中所示，当将 换为电流源 （其方向设为从 c 点R Usi指向 d 点） 时，有 VtiusR)7cos(201各电压有效值分别为 VuUVRagcadc206.83201)8( 16.5935.5122注：本题在求解各电压有效值中，需要先将不同电源电压的相同频率的时域响应相加，再进行各次谐波有效值的计算，最
13、后求出所要求解的非正弦电压的有效值。128 图示为滤波电路，需要负载中不含基波分量，但 的谐波分量能全部传送至14负载。如 求 和 ,1,10FCsrad1L2解：欲使负载中不含基波分量，既在此时负载中的电流需为零，则有 和 C 在 1L处发生并联谐振，由谐振条件得1sradCL01故 H1016221 若要求 4 次（ ）谐波分量能全部传送至负载端，需要此电路在 处发生串联谐1 14振，因 22102 LXL而 与 C 并联的电抗为 3801641421 CLL串联谐振时，有即 mHLLjXjCL67.1540380)3840()(2 212 129 图示电路中 为非正弦周期电压，其中含有
14、及 的谐波分量。如)(tuS 1317果要求在输出电压 中不含这两个谐波分量，问 L,C 应为多少？解：根据图示结构知，欲使输出电压 u(t) 中不含 和 的谐波分量，就要11求该电路在这两个频率时，输出电压 u(t) 中的 3 次谐波分量和 7 次谐波分量分别为零。若在 处 1H 电感与电容 C 发生串联谐振，输出电压的 3 次谐波 13 03U，由谐振条件，得212119,3LC若在 处 1F 电容与电感 L 发生并联谐振，则电路中 7 次谐波的电流7，电压 ，07I07U由谐振条件，得 211211 49,CL也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下，即在 处，使 L 与 C 发生13
15、1并联谐振，而在 处，使 与 C 发生串联谐振，则得171L219L2149C1210 图示电路中 。求图中交流电表HMLAttis 5.0,2,)603sin(5)0cos(5 1的读数和 。2u解： 由图示电路可知，电流表读数为电流 的有效值si即 AA354.921052而电压 为)(tu VttdtiMts )603cos(75)201in(5)(2 电压表读数为电压 的有效值，有2uVV738.650221211 图示电路中 ，电流源 。求 Vtus )902sin(5.1Atis)5.1in(2及 发出的功率。Ru1s解：电路各响应的求解，可以看作是电压源 的各频率分量和电流源 单
16、独作用1su2si时，所得各响应分量的叠加，具体计算如下（1）直流 单独作用时，电感短路，电容开路，电路如题解 1211 图 VUs5.1)0(a) 所示，根据 KVL，有 )0()0()(0132RRs UU故 VsR5.3)0(1)0(AI)()(WIUPss 7.0.)0(1)0(1 （2） 的电压分量单独作用时，电路如题解图(b)所)2(92in51)( sradts示，令 。根据 KVL ，有 4,)(0)1( jLjjXVLs )1()1()1()()1()( 3RRs UIUIU 且 )()1(R解之，得 VsRjU00)1()1( 13.53.543 WIPAIss 6co0)
17、1()1( （3）电流源 单独作用时，电路如题解图（c） 所示。令 )52sradis .1,3,90902 2)2(2)( jCjjXLjjXAI CLs 对独立结点 a，列出结点电压方程 )2(2)()2(1RsaLUIjX)()(3RaU代入参数值并消去 ，有)2(aU)()(31( RsRIjVjIUsR 002)( 45191所以，电压 为utttuR )45.1cos(2)3.52cos(5.0)( 00电压源 发出的功率为 1s WPss 75.3.0)()0(1 *12-12 对称三相星形连接的发电机的 A 相电压为 ，在基波频率下负载阻抗为VtttuA )5cos(210)3
18、cos(20)cos(215 11 ，中线阻抗 。试求各相电流，中线电流及负载消耗的功率。)36(jZjZN如不接中线，在求各相电流及负载消耗的功率；这时中点电压 为多少？NU解：图示电路中，对称三相电压源的基波构成正序对称三相电压，5 次谐波构成负序对称三相电压，而 3 次谐波构成零序对称组。由于此电路是对称三相四线制连接，对正，负序电压分量而言，可以归结为一相（A 相）电路的计算且此时中线电流为零。令 , ，而VAU0)1(25 VUA0)5(1则可得正序和负序对称组电流,)156(,)36()5)1 jZjZA00)1()( 7.2.32jUIA根据对称性可以写出 AIajZUI AaI
19、IACBACB0)5()5(2 00)5()()1()1( 022.186.0.6.439.57.1对图示电路中的零序对称组电压（既三次谐波） ，令 VUBCA0)3()()3( ，而 ，则中性点 与 N 之间的电压 )6(,)9()3)3 jZjZN )3(N为 VjZUZUNAAN 00)3()(3)3()(3)( 968.23.1279)6(1 故，零序对称组电流为 AjII NACBA 000)3()()3()()3( 57.14.968.23.1 中线电流 为)3(NAIA0)()3(. 57.162.所以，各相电流为 Attti ttticBA )2.185cos(26.0)57.
20、13cos(2054.1)3.9cos(205.376 .6. 01 010101 而中线电流 为NiAtiN)7.cs(6. 01负载消耗的功率为 WRIIPAA 18576)2.054.1.32()(325()3(2)1 若不接中线，正序和负序对称组的各相电流均未改变而零序对称组电流为零（因为 ） ，所以，最后各相电流中均无零序组电流。即上述各相电流表达式中)3()( ANU不含 3 次谐波分量。此时，负载消耗的功率为 WRIPA 184976)2.05.3()(25()1 而中点电压 中只有零序组电压即NUVN0)3( *12-13 如果将上题中三相电源连接成三角形并计及每相电源的阻抗。
21、 （1）试求测各相电压的电压表读数，及题图中 的读数，但三角形电源没有插入电压表 ；（2）1 V打开三角形电源接入电压表 ，如图示，试求此时两个电压表的读数。2V解：图示电路，是将上题中的对称三相电源连接成三角形电源，并考虑每相电源的阻抗，则（1） 当三角形电源中未插入电压表 时，三角形电源构成闭合回路，其2V端线电压中将不含零序对称组，而只含正序和负序对称组，故电压表 的读数为1VV23.150252（2） 当打开三角形电源插入电压表 时，由于此时三角形电源回路处2于开路，电路中无 3 次谐波的环流，且正序和负序对称组电压之和分别为零，电压表 的读数为每相电压中 3 次谐波电压有效值的2V3 倍，即VUVA903231.2715211214 求图示波形的傅里叶级数的指数形式的系数。题 12-14 图解：图示波形 在一个周期（ ）的表达式为)(tf 21TmmmAAtf00)( 21111Ttatat展开为傅立叶级数的指数形式为)(tfktjkectf1由于 为偶函数，且具有镜对称性质，所以，有 和 。)(tf 0C02k而kaAdteAdteAdteATdtetfTC maaTajkmjkmjkmjkk sin2)()(1)(11 1 111112 22 ,.)531(k
