1、1走进“复数”及复数高考试题复数是中学数学中最后一次数系扩张。复数是实数的扩充，即实数集 是复数集 的RC真子集（ ） 。复数这一章内容的核心是理解复数的有关概念，掌握复数的代数形式CR及复数的运算。复数问题常常转化成代数、解析几何问题解决，而解析几何、代数问题也常常转化为复数问题解决。因而学习“复数”时，一定要注意转化思想、数形结合等数学思想方法的运用。由于复数知识概念性强、知识灵活，又易于和方程、数列、函数和三角等知识建立联系，所以在高考中也占有重要的地位。二期课改中提出的具体要求及活动建议如下：1了解数的产生和发展简史，知道数集扩展的意义和扩展的基本原则；理解复数及有关概念。进一步树立辩
2、证唯物主义观念。2建立复平面，用复平面上的点表示复数、复数的模、共轭复数等概念。发展数形结合思想，进一步提高数学符号变换的能力；会用复数关系描述复平面上简单的集合图形（如：用复数方程表示平面区域、线段的垂直平分线、圆、椭圆和双曲线等） ，并用来解决简单的问题，加强数与形的结合。3掌握复数的四则运算及其运算性质，但不出现繁难的计算。理解复数加减法几何意义。4会解决复数开平方的问题，通过用比较的方法讨论在复数集内解实系数一元二次方程的问题，完整掌握实系数一元二次方程的解，完善实系数一元二次方程的基本理论。5理解共轭复数的四则运算性质，通过讨论实系数一元二次方程的根的情况，导出并了解共轭虚根定理。6
3、区分各种命题在“实数范围”与“复数范围”内的“成立性”.复数试题具有相对的独立性，也具有一定的综合性。在近几年的高考中，以中、低档题为多，常以概念运算考查为主，溶代数、三角知识为一体。2000 年上海秋季高考卷第 22题把对复数的考查作为了压轴题。在学习复数知识时，要深刻理解复数的有关概念，理解复数问题转化为实数问题的思想和方法。在复数运算上，要善于选择运算法则，提高运用数形结合思想的能力。复数与实数既有区别又有联系。一般来说，要解好复数问题，主要把握好以下两点：（1）复数的概念要清晰；（2）要善于将复数问题实数化。【考题回放】：1 （2007 年上海理科卷）（9）对于非零实数 ，以下四个命题
4、都成立： ab、 ； ；若 ，则 ；若 ，则 .0a22()b|ab2ab那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 .、（12）已知 ，且 （ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 bR、 ai， i的两个根，那么 的值分别是 20xpqpq、（ ）A. B. C. D.45， 43， 45pq， 4 3pq，22 （2007 年上海文科卷）（10）对于非零实数 ，以下四个命题都成立： ab、 ； ；若 ，则 ；若 ，则 .10a22()|ab2ab那么，对于非零复数 ，仍然成立的命题的所有序号是 .、（12）已知 ，且 （ 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个 bR、 3aib，
5、i根，那么 的值分别是 （ a、）A. B. C. D.32b， 3 2ab， 3 2ab， 3 2ab，3 （2006 年上海卷）（文科、5）若复数 为纯虚数（ 为虚数单位） ，其中 ，则imz)1()(i Rm.4.(理科、5)若复数 同时满足 ， （ 为虚数单位） ，则 ziz2izz5 （2005、上海、春季） （本题满分 12 分）已知 是复数， 、 均为实数（ 为虚数单位） ，且复数 在复平ziz2izi 2aiz面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围。 答案：（2，6）a（本题主要考查复数的加法、除法、乘法、乘方运算以及复平面上复数对应的点的位置的确定和解一元二次不等式）6
6、（2005 年上海卷）在复数范围内解方程 （ 为虚数单位） 答案：iz23)(2 iz23137 （2004、上海高考第 17 题）已知复数 满足 ， ，其中 为虚数单位， ，1zizi51iaz2iRa若 ，求 的取值范围。 （本题考查复数的基本概念及其运算）2a答案： 718 （2003、上海高考第 17 题）已知复数 ， ，求 的最大值和最小值。 答案：izcos1 izsn2 |21z23和（本题考查复数的运算、复数模的概念，以及三角恒等变形、函数值域等。 ）9 （2002、上海高考第 1 题）若 ，且 （ 为虚数单位） ，则 。Cz3iziz（本题主要考查复数的运算 ， 答案： ）i
7、z310 （2001、上海第 20 题、满分 14 分）对任意一个非零复数 ，定义集合 。zNnzwMZ,|12（1） 设 是方程 的一个根，试用列举法表示集合 。若在 中21x M任取两个数，求其和为零的概率 ；P（2） 设复数 ，求证：ZZ【出题背景】：本题涉及的知识点是集合的表示、解一元二次方程（在复数范围内） 、 的i次方的运算、概率、子集的证明，但在能力要求上是重点考查考生学习新知识的能力及n数学证明能力，这里新的数学知识是一个新的集合符号 ，考生需要在有限的时间里对ZM新的符号进行学习、理解，然后能运用证明第（2）题。显然本题能力要求要高于数学知识要求。411 （2000、上海市高
8、考第 22 题） ，本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分。已知复数 ， 和 ，其中 均)0(1miz yixziyxw,yx为实数， 为虚数单位，且对任意复数 ，有 ， 。i z |2|z（1） 试求 的值，并分别写出 和 用 、 表示的关系式；xyxy（2） 将 作为点 的坐标， 作为点 的坐标，上述关系式可以看作是坐yx,P,Q标平面上点的一个变换：它将平面上的点 变到这一平面上的点 。PQ（理科）当点 在直线 上移动时，试求点 经该变换后得到的点 的轨迹方程；1xy（文科）已知点 经该变换后得到的点 的坐标为 ，试求点 的坐标；PQ2,3P（3） （理科）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。（文科）若直线 上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求 的kxy k值。【出题背景】：本题以复数、解析几何有关知识为背景，重点考查考生学习新知识、探索问题的能力，是高考数学命题从“知识立意”转向“能力立意”的本质所在。
