1、第一章 实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格 测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及 其它学科中有直接的应用。第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数1第六节 勒贝格积分第一节 集合及其运算1） A A A, A A A;2） A A, A ；3）若 A B ，则 A B B, A B A, A B ；4) 设 X 为基本集，则A AC X , A AC , ( AC )C A, A B A BC又若 A B ，则 A C B
2、C 。集合的运算法则：2交换律 A B B A, A B B A ；结合律 ( A B) C A (B C) A B C ；( A B) C A (B C) A B C ；分配律 ( A B) C ( A C) (B C) ；( A B) C ( A C) (B C) ；( A B) C ( A C) (B C) .定理 1.1 设 X 为基本集， A为任意集组，则1) ( U A )C I ( A )C (1.6)I I2) ( I A )C U ( A )C (1.7)I IA ( A B) A I B3第二节 实数的完备性2.1 有理数的稠密性2.2 实数的完备性定理定义 2.1 (闭区
3、间套)设a n ,bn (n 1,2,L, ) 是一列闭区间， a n bn ，如果它满足两个条件：1）渐缩性，即a 1 ,b1 a2 ,b2 L an ,bn L;2) 区间长度数列 bn an 趋于零，即 lim(b n an ) 0n4定理 2.1 (区间套定理)设a n ,bn 为实数轴上的任一闭区间套，其中 a n 与 b n 都是实数，那么存在唯一的一个实数 属于一切闭区间a n ,bn (n 1,2,L) ， 即 an ,bn ，并且n1lim an lim bn n n利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。我们先介绍一
4、个有关的概念。命题 2.1 设xn 是一个数列，则 lim xn a 的充分必要条件是：nxn 的每一个子列都收敛而且有相同的极限值 a .5定理 2.2 （列紧性定理）任何有界数列必有收敛子列定义 2.3 设x n 是一个数列，如果当 m, n 时，有 xm xn 0 ，那么就说x n 是一个基本数列或柯西数列。定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理 ( 完备性定理) 数列x n 收敛的充分必要条件是，它是一个 基本数列。定理 2.4 (单调收敛定理)单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛定义 2.4 ( 确界 ) 设 A 是一个数集， M 是 A 的一个上（下）界
5、。如果对任意的 0 ，必存在6A 中的数 x ，使得 x M (x M ) ，那么就称 M 为数集 A 的上（下）确界。 定理 2.5 确界存在定理 (不讲)由上（下）界的数集必有上（下）确界。定义 2.5 (覆盖) 设 a , b 是一个闭区间， a | a I是一个区间族，其中区间 a 可以是开的，闭的或者半开半闭的， 而指标集 I 可以是有限集，也可以是无限集。如果 a , b 中的每一点必含于区间族 的某一区间 a 之中，那么就称 覆盖区间 a , b ，或者区间 a , b 被 覆盖。定理 2.6 （有限覆盖定理）(不讲)若闭区间 a , b 被区间族 覆盖，则能从 中选出有限个开区
6、间覆盖 a , b 。7上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1 (区间套定理) 出发，推出定理 2.2 （列紧性定理），又从定理 2.2 推出定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理 ( 完备性定理 )，又从定理 2.3 推出定理 2.4 ( 单调收敛定理)，又从定理 2.4 推出定理 2.5 确界存在定理)，最后，从定理 2.5 推出定理 2.6 （有限覆盖定理）第三节 可数集与不可数集3.1 映射定义 3.1 设 A 与 B 是两个非空集合，如果按照一定的法则 f ，对于 A 中的每个元8x ，都存在 B 中的一个确定的元 y 与 x 相对应，
7、那么我们称 f 为定义 A 上取值于 B 中的一个映射，记作 y f (x) 。 y 称为 x 在映射 f 下的象，对于固定的 y ， A 中适合关系式y f (x) 的 x 的全体称为 y 的原象。集 A 称为映射 f 的定义域， f ( A) f (x) | x A 称为映射 f 的值域，一般 f ( A) B 。为方便起见，今后常将把从集 A 到 f ( A) B 的映射写成f : A B特别，若 B 是一个数集，此时映射 f 称为泛函；若 A 与 B 都是数集， f 就是通常的函数。93.2 可数集与不可数集，集合的势定理 3.1 有理数集是可数集。定理 3.3 可数个可数集的并是可数
8、集。定理 3.4 区间0, 1 中的点是不可数的。第四节 直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性质，然后，在此基础上研究4.1 开集、闭集及其性质104.2 开集的构造4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性4.4 函数列的一致收敛性4.1 开集、闭集及其性质定义 4.1 设 E 是直线 R 上的任一点集， a 是直线上的任意一点，我们把直线上包 含 a 的任一区间 ( , ) 称为点 a 的邻域；设 a 是 E 中的点，如果存在着 a 的一个邻域( , ) 整个包含于 E 内，则称 a 是 E 的内点；如果点集 E 的每一点都是它的内点，则称E 是一个开集。定理 4.1 开集
9、具有下列的性质：1） 空集 与直线 R 的本身都是开集；112） 任意多个开集的并是开集；3） 有限多个开集的交是开集.定义 4.2 设 E 是直线 R 上的任一点集， a 是直线上的任意一点(不一定属于 E )。如 果 a 的任一邻域 ( , ) 中含有 E 中不同于 a 的点，则称 a 为 E 的极限点（或聚点）。定理 4.2 点 a 是集 E 的极限点的充要条件是存在 E 中的点列a n (an a) ，使lim an an定义 4.3 设 E 为直线上的点集，由 E 的所有极限点构成的集称为 E 的导集，记作 E ，称集 E U E 为 E 的闭包, 记作 E 。若集 E 的余集 E
10、C R E 为开集，则称 E 为闭集.定理 4.3 非空集 E 是闭集的充要条件是 E E定理 4.4 集合 E 为闭集的充要条件是 E E 。12定理 4.5 闭集具有下列基本性质1） 空集 与全直线 R 是闭集；2） 任意多个闭集的交是闭集；3） 有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造定义 4.4 设 G 是直线 R 上的一个有界开集，如果开区间 ( , ) 满足条件：1) (,) G2) G, G则称 ( , ) 为开集 G 的一个构成区间。定理 4.6 （开集的构造原理） 设 G 为直线上的任意非空有界开集，则G 可以表13示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即G U ( k ,
11、 k )kI其中 I 为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。定义 4.5 设 E 是直线 R 上的点集 ， f (x) 是定义在 E 上的一个函数( 即映射f : E R )， x 0 是 E 中的任意一点。如果对于 E 中任何收敛于 x 0 的点列x n ，都有lim f (xn ) f (x0 )xn x0那么称函数 f (x ) 在点 x 0 连续。如果 f (x) 在 E 中每点都连续，那么称 f (x) 在集 E 上连续。 定理 4.7 设 F 是直线 R 上的有界闭集， f (x) 是定
12、义在 F 上的连续函数，则14(1) f (x) 在集 F 上必有界，(2) 并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界）。定义 4.6 设 f (x) 定义在点集 E R 上，如果对于任意的 0 ，都能找到 ( ) 0（注意 ( ) 与点 x 无关），使得对于 E 中的任意两点 x1 与 x2 ，只要 x1 x2 ，就有f (x1 ) f (x2 ) （ 1.13）成立，则称函数 f (x) 在集 E 上一致连续。定理 4.8 设 f (x) 在有界闭集 F R 上连续，那么 f (x) 在 F 上必一致连续。4.4 函数列的一致收敛性定义 4.7 设 f n (x) 是定义在点集 E
13、R 上的函数列。如果存在 E 上的函数 f (x) ，15对于任意给定的 0 ，都能找到正整数 N ( ) ，使得当 n N ( ) 时，不等式fn (x) f (x) 对于所有 x E 的成立，那么就称 f n (x) 在集 E 上的一致收敛于 f (x) 。定理 4.9 定义在点集 E R 上的函数列 f n (x) 一致收敛于 f (x) 的充要条件是：对于任给的 0 ，存在正整数 N ( ) ，使得当 m, n N ( ) 时，不等式fm (x) fn (x) （ 1.17）对于所有 x E 的成立.定理 4.10 设 fn (x) 是 E 上的一个连续函数列，如果在 E 上它一致收敛
14、于函数 f (x) ，那么极限函数 f (x) 也在集 E 上连续。定理 4.11 设 fn (x) 是区间a,b 上的连续函数列，若 fn (x) 在a,b 上一致收敛于 f (x) ，则极限函数 f ( x) 在a,b 上可积，并且16b f (x)dx lim b fn (x)dx (1.18)a n a或写成b ba limn fn (x)dxlimn a fn (x)dx第五节 点集的勒贝格测度与可测函数本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度17命题5.
15、1 如果 f (x) 在区间a,b 上连续，那么 f (x) 在a,b 上必R 可积。5.2 点集的勒贝格测度定义 5.1 设G 为直线上的有界开集，定义 G 的测度为它的一切构成区间的长度之和，也就是说，若 G U( k , k ) ，其中 ( , k ) 是 G 的构成区间，则kmG ( k k ) （1.23）k定义 5.2 设 F 为直线上的有界闭集， F (a,b) ，则 G (a,b) F 是有界开集，定义F 的测度为18mF (b a) mG （ 1.24）定义 5.3 设 E 为直线上的任一有界点集，我们称所有包含 E 的开集的测度的下确界为集 E 的外测度，记作 m E ：m
16、 E infmG | G E,G为开集而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集 E 的内侧度，记作 m E ：m E supmF | F E, F为闭集定义 5.4 设 E 直线上的有界点集，若 m E m E ，则称 E 为勒贝格可测集，简称为 L 可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，简称为 L 测度，19记作 mEmE m E m E定理 5.1 设 X (a,b ) 为基本集， E , E1 与 E 2 为 X 的子集。1） 若 E 可测，则其余集 E C 也可测；2） 若 E 1 , E2 可测，则 E 1 U E2 , E1 I E2 , E1 E2 均可
17、测；又若 E1 I E2 ，则m(E1 U E2 ) mE1 mE2205.3 可测函数定义 5.5 设 E 为直线上的可测集（有界或无界）， f (x) 是定义在 E 上的实值函数，如果对于任何实数 ，集合E( f ) x | f (x) , x E都是勒贝格可测的，那么称 f ( x) 是 E 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理 5.4 函数 f (x) 在可测集上可测的充要条件是对于任何实数 与 ，集合E( f ) x | f (x) , x E是 L 可测的。21定理 5.5 函数 f (x) 在可测集 E 上的可测的充要条件是下列条件之一成立：1） E( f ) x | f (
18、x) , x E是可测集；2） E( f ) x | f (x) , x E 是可测集：3） E( f ) x | f (x) , x E 是可测集：4） 对于直线上的任何开集 G ，它的原象 f 1 (G) 是可测集，其中 是任意实数。22第二章 距离空间第一节 距离空间的基本概念定义 1.1 设 X 是任一集合。如果对于 X 中任意两个元素 x 与 y ，都对应一个实数(x, y) ，并且满足条件：1）非负性， (x, y) 0 且 (x, y) 0 当且仅当 x y ；2）对称性， (x, y) ( y, x) ；3）三角不等式，对任意的 x, y , z X ，有(x, y) (x,
19、z) (z, y)则称 (x, y) 为 x 与 y 之间的距离，而称 X 为以 (x, y) 为距离的距离空间或度量空间。23例 1.1 n 维欧氏空间 R n设 Rn 表示 n 维向量x x1 , x2 ,L, xn 的 全体所组成的集合， 其中 x i ,i 1,2,L, n 都是实数， 如果 x (x 1 , x2 ,L, xn ) ，y ( y1 , y2 ,L, yn ) R n ，定义1n2(x, y) (xi yi )2 (2.4)i1条件 1）与 2）显然成立。为了证明条件 3）成立，现证明重要的 Cauchy 不等式：n 2 n nai bi ai2 bi2 (2.5)i1
20、 i1 i1其中 a i ,bi ,i 1,2,L, n 都是实数。24例 1.2 连续函数空间 Ca,b令 Ca,b x(t) | x(t)为a,b连续函数在 Ca,b 上定义(x, y) max x(t) y(t) (2.6)ta,b现在我们来证明 (x, y) 是距离。例 1.3 有界数列空间 m 。设 m 表示所有的有界数列x (1 ,2 ,L,n ,L)（其中 i kx ,i 1,2,L， k x 是常数）所构成的集合。如果 x ( 1 ,2 ,L,n ) m ，y (1 ,2 ,L,n ) m ，定义25(x, y) sup i i (2.7)i类似于例 1.2，容易验证 (x,
21、y) 是距离，从而 m 按这个距离构成距离空间。例 1.4 离散距离空间。设 X 为任一非空集合，定义0, x y(x, y) (2.8)1, x y容易验证 (x, y) 满足距离的三个条件，于是 X 按照 (x, y) 成为距离空间。由于 X 中任 两个不同点间的距离均等于 1，因此常称 X 为离散距离空间。定义 1.2 设 X 是一个距离空间， xn , x X , (n 1,2,L) ，如果当 n 时， (xn , x) 0 ，则称点列x n 按距离 收敛于 x ，而 x 叫做点列x n 的极限，记作lim xn x 或 xn x, (n )n26定理 1.1 设 X 是距离空间1）
22、X 中任何收敛点列x n 的极限是唯一的；2） 若点列 x n x, (n ) ，则x n 的任何子列 xnk x, (k )定义 1.3 设 X 是距离空间1） 如果 x 0 X , r 0 ，则称集合S(x0 , r) x | x X , (x, x0 ) r是以 x 0 为中心， r 为半径的开球，或 x 0 的一个邻域；称集合S (x0 , r) x | x X , (x, x0 ) r是以 x 0 为中心， r 为半径的闭球。272） 设 A X ，如存在一个开球 S( x0 , r) ，使得A S(x0 , r)则称 A 是 X 中的有界集。定理 1.2 设 X 是距离空间，则 X 的任何收敛点列必是有界的。28
